การใช้ข้อต่อเนื่องของการแปลงเวฟเล็ตในแอพพลิเคชั่นดิจิตอล


14

ฉันคุ้นเคยกับพื้นหลังทางคณิตศาสตร์มากมายหลังเวฟเล็ต อย่างไรก็ตามเมื่อใช้อัลกอริทึมบนคอมพิวเตอร์ที่มีเวฟเล็ตฉันไม่ค่อยแน่ใจว่าควรจะใช้เวฟเล็ตแบบต่อเนื่องหรือไม่ต่อเนื่อง ในความเป็นจริงทุกอย่างทุกอย่างในคอมพิวเตอร์นั้นไม่ต่อเนื่องดังนั้นจึงเห็นได้ชัดว่าเวฟเล็ตไม่ต่อเนื่องเป็นตัวเลือกที่เหมาะสมสำหรับการประมวลผลสัญญาณดิจิตอล อย่างไรก็ตามตามวิกิพีเดียมันเป็นการแปลงเวฟเล็ตอย่างต่อเนื่องที่ใช้เป็นหลักในการบีบอัดภาพ (ดิจิตอล) เช่นเดียวกับกิจกรรมการประมวลผลข้อมูลดิจิตอลอื่น ๆ จำนวนมาก อะไรคือข้อดีและข้อเสียที่ต้องพิจารณาเมื่อตัดสินใจว่าจะใช้การแปลงเวฟเล็ตต่อเนื่อง (โดยประมาณ) แทนการแปลงเวฟเล็ตแบบไม่ต่อเนื่อง (แน่นอน) สำหรับภาพดิจิทัลหรือการประมวลผลสัญญาณ?

PS (ตรวจสอบสมมติฐานที่นี่) ฉันกำลังสมมติว่าการแปลงเวฟเล็ตต่อเนื่องถูกนำมาใช้ในการประมวลผลดิจิตอลโดยเพียงแค่รับค่าของเวฟต่อเนื่องที่จุดเว้นระยะเท่ากันและใช้ลำดับผลลัพธ์สำหรับการคำนวณเวฟเล็ต ถูกต้องหรือไม่

PPS โดยปกติวิกิพีเดียนั้นค่อนข้างแม่นยำเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ดังนั้นฉันจึงสมมติว่าแอปพลิเคชันในบทความเกี่ยวกับการแปลงเวฟเล็ตแบบต่อเนื่องเป็นแอพพลิเคชั่นของการแปลงเวฟเล็ตแบบต่อเนื่อง แน่นอนมันกล่าวถึงบางอย่างที่เป็น CWT โดยเฉพาะดังนั้นจึงมีการใช้ CWT ในแอปพลิเคชันดิจิตอลอย่างชัดเจน

คำตอบ:


10

ดังที่โมฮัมหมัดระบุไว้แล้วว่าเงื่อนไขการแปลงเวฟเล็ตอย่างต่อเนื่อง (CWT) และการแปลงเวฟเล็ตโดยสิ้นเชิง (DWT) เป็นการทำให้เข้าใจผิดเล็กน้อย พวกเขาเกี่ยวข้องโดยประมาณว่า (ต่อเนื่อง) การแปลงฟูริเยร์ (การแปลงเชิงคณิตศาสตร์.) ไปยัง DFT (การแปลงฟูริเยร์ต่อเนื่อง)

เพื่อที่จะเข้าใจรายละเอียดมันเป็นการดีที่ได้เห็นบริบททางประวัติศาสตร์ การแปลงเวฟเล็ตถูกนำมาใช้ในงานธรณีฟิสิกส์โดย Morlet และโดยทั่วไปเป็นการแปลง Gabor ด้วยหน้าต่างที่เติบโตและหดตัวพร้อมกับสเกล / ความถี่ที่เลือก ต่อมา Daubchies (นักฟิสิกส์ - ett จากเบลเยี่ยม) ได้ตระหนักว่าการเลือกเวฟแบบฉากพิเศษนั้นทำให้ CWT ซ้ำซ้อนมากมายสามารถสุ่มตัวอย่างช่วงวิกฤตบนตาราง dyadic จากผลของ DWT คุณสามารถรับ CWT ที่สอดคล้องกันได้เต็มรูปแบบโดยการแปลง DWT ด้วยเคอร์เนลที่ทำซ้ำของเวฟเล็ตนั้น ๆ เคอร์เนลที่ทำซ้ำคือ CWT ของเวฟเล็ตตัวเอง

การค้นพบของ Daubchies ช่วยส่งเสริมทฤษฎีเวฟเล็ตในช่วงต้นทศวรรษที่ 80 ผลใหญ่ถัดไปคือ DWT สามารถคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพมาก (บางครั้งเรียกว่า FWT [เร็ว WT] ด้วย) โดยใช้เทคนิคจากทฤษฎีของ filterbanks คือ quadrature mirror filters (QMF) ร่วมกับ downsampling filterbanks ด้วยการสร้าง QMF พิเศษนั้น DWT ที่เกี่ยวข้องสามารถคำนวณได้ผ่านการกรองและการสุ่มตัวอย่างซึ่งเป็นอัลกอริธึมที่ทันสมัยที่สุดในการคำนวณ DWT ในวันนี้ คุณไม่จำเป็นต้องใช้ฟังก์ชั่นการปรับขนาดเพื่อคำนวณ DWT มันเป็นเพียงรายละเอียดการใช้งานที่กระบวนการ FWT

เกี่ยวกับการใช้งาน CWT เป็นตัวเลือกที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการวิเคราะห์สัญญาณหรืออนุกรมเวลาเนื่องจากมีความละเอียดที่ละเอียดยิ่งขึ้นและมักจะถูกเลือกในงานส่วนใหญ่ (เช่นการตรวจจับเอกพจน์) DWT เป็นที่สนใจมากกว่าในบริบทของการแปลงที่รวดเร็วและไม่ซ้ำซ้อน DWT มีการบีบอัดพลังงานที่ดีมากและเป็นตัวเลือกที่ดีสำหรับการบีบอัดและการส่งสัญญาณ


หวังว่าสิ่งที่ชัดเจน


ขอบคุณ Andre สำหรับมุมมองทางประวัติศาสตร์และความกระจ่างเกี่ยวกับการตั้งชื่อ ฉันพยายามอย่างหนักเพราะความสับสนที่เกิดจากชื่อเหล่านี้!
Yanshuai Cao

สวัสดีคุณสามารถลิงค์ไปยังเอกสารที่แสดงสิ่งที่คุณอธิบายได้หรือไม่? ฉันสนใจเป็นพิเศษในย่อหน้าที่ 2 ของคุณนั่นคือวิธีที่ Daubechies แสดงให้เห็นว่า DWT นั้นเสร็จสมบูรณ์บนตารางแบบ dyadic และสามารถสร้าง CWT ขึ้นมาใหม่โดยใช้เคอร์เนลที่ทำซ้ำได้
yannick

6

ความคิดผิด ๆ ที่พบได้ทั่วไป แต่โชคไม่ดีในแวดวงเวฟเล็ตเกี่ยวข้องกับคำศัพท์ที่ไม่ดีของ "การแปลงเวฟเล็ตอย่างต่อเนื่อง"

สิ่งแรกคือ: การแปลงเวฟเล็ตอย่างต่อเนื่อง (CWT) และการแปลงเวฟเล็ตแบบไม่ต่อเนื่อง (DWT) ทั้งสองแบบจุดต่อจุดการแปลงแบบดิจิทัลที่สามารถนำไปใช้กับคอมพิวเตอร์ได้อย่างง่ายดาย

ความแตกต่างระหว่างการแปลง "ต่อเนื่อง" และการแปลง "ไม่ต่อเนื่อง" ในบริบทของเวฟเล็ตมาจาก:

1) จำนวนตัวอย่างที่ข้ามเมื่อคุณเชื่อมโยงสัญญาณกับเวฟเล็ตของคุณ

2) จำนวนตัวอย่างที่ข้ามเมื่อคุณขยายเวฟเล็ตของคุณ

3) CWT ใช้เพียงเวฟเล็ตในขณะที่ DWT ใช้ทั้งเวฟเล็ตและสเกลให้ (ไม่สำคัญสำหรับการสนทนานี้ แต่ที่นี่เพื่อความสมบูรณ์)

แต่อย่าทำผิดพลาด - CWT เช่นเดียวกับ DWT คือการดำเนินการที่ไม่ต่อเนื่องและเป็นดิจิตอล

ให้ตัวอย่างนี้อธิบายสิ่งนี้: พิจารณา Haar Wavelet, [1 -1] ให้เราบอกว่าเราต้องการทำ DWT กับ Haar Wavelet ดังนั้นคุณจึงสังเกตุสัญญาณของคุณด้วยเวฟแม่ Haar [1 -1] แต่จะมีความล่าช้าแบบไดโอดิคเท่านั้น ตัวอย่างเช่นให้เราบอกว่าสัญญาณของคุณเป็นเวกเตอร์ต่อไปนี้:

x=[1 2 3 4 5 6 7 8]

ผลลัพธ์แรกของการสนทนาด้วย DWT กับ Haar Wavelet ของคุณคือ:

1(1)+2(1)

ผลลัพธ์ถัดไปคือ:

3(1)+4(1)

ถัดไปคือ:

5(1)+6(1)

และในที่สุดคนสุดท้ายคือ:

7(1)+8(1)

มีบางสิ่งที่ทำให้คุณประหลาดหรือไม่? ฉันบอกว่าใช้การแปลงสัญญาณของคุณด้วยเวฟเล็ต - ทำไมฉันถึงลงเอยด้วยค่าสี่ค่า? นี่เป็นเพราะฉันข้ามตัวอย่างเมื่อฉันโน้มน้าวใจใน DWT ครั้งแรกที่ฉันรับ [1 2] ทำผลิตภัณฑ์ดอทแล้วก็หยิบ [3 4] เกิดอะไรขึ้นกับ [2 3] ฉันข้ามไป

คุณไม่ข้ามเมื่อไหร่? เมื่อคุณทำ CWT ถ้าคุณทำ CWT มันจะเป็นการแปลงสัญญาณดิจิตอลแบบ 'ปกติ' ด้วยเวฟ Haar


สิ่งที่สองคือวิธีที่คุณขยายเวฟเล็ตของคุณ ในตัวอย่างด้านบน Haar Wavelet คือ [1 -1] สำหรับการสลายตัวระดับแรก ในระดับที่สอง DWT Haar Wavelet จะกลายเป็น [1 1 -1 -1] อย่างไรก็ตามใน CWT เวฟ Haar ระดับที่สองคือ [1 0 -1] อีกครั้งใน DWT ฉันไม่ได้ขยายจุดสำหรับจุด - ฉันไม่เคยมีเวฟเล็ตสามความยาว อย่างไรก็ตามใน CWT ฉันไปจากความยาว 2 ถึงความยาว 3 ใน DWT ฉันไปตรงจากความยาว 2 ถึงความยาว 4

นี่คือยาวและสั้นของมันหวังว่าสิ่งนี้จะช่วย


1
ในขณะที่มันเป็นความจริงว่าในการทำให้ DSP ของการแปลงเวฟเล็ต (CWT หรือ DWT) มีความเป็นไปได้ที่จะทำแบบจุดต่อจุดคูณด้วยฟังก์ชันเวฟเล็ตต่อเนื่อง (คล้ายกับสูตร DFT) นิยามทางคณิตศาสตร์ของ CWT นั้นต่อเนื่อง มีรุ่นของ DWT ที่ได้รับการพัฒนาขึ้นมาสำหรับข้อมูลที่ไม่ต่อเนื่องดังนั้นการใช้งานของ DWT บางอย่างจึงเป็นไปตามคำจำกัดความ การนำไปปฏิบัติของ CWT เป็นการประมาณที่มาถึงโดยการแปลงการดำเนินการต่อเนื่อง (การรวม) ด้วยฟังก์ชันเวฟเล็ตต่อเนื่องเป็นการดำเนินการที่ไม่ต่อเนื่อง
2718

@ BruceZenone แน่นอนและคำจำกัดความนั้นมาจากบริบท นักคณิตศาสตร์สองคนกำลังพูดถึง "CWT" จะหมายถึงเวอร์ชันต่อเนื่องกับอินทิกรัลในขณะที่วิศวกรสองคนที่พูดถึงการนำไปปฏิบัติจะพูดว่า "CWT" และหมายถึงเวอร์ชั่นที่แยกจากกัน (นั่นไม่เหมือนกับ DWT) ดังนั้นแหล่งที่มาของ ความสับสนของ OP
Spacey

จริงเพียงพอ ฉันต้องการดูการใช้ CWT (พูด Morlet) สำหรับ DSP เพื่อดูรายละเอียดว่าการดำเนินงาน / ฟังก์ชั่นอย่างต่อเนื่องถูกแปลสู่โลกของการประมวลผลแบบแยกกันอย่างไร โปรดทราบว่าการแปลง DFT และฟูริเยร์เป็นสัตว์ที่แตกต่างกันมากในการพูดทางคณิตศาสตร์
2718
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.