การตอบสนองของเฟสและขนาดของสัญญาณรบกวนสีขาวคืออะไร?

ฉันต้องการสร้างเสียงรบกวนสีขาวในโดเมนความถี่แล้วแปลงเป็นโดเมนเวลาโดยใช้ python เพื่อทำความเข้าใจกับปัญหาฉันเพียงแค่สร้างเสียงรบกวนสีขาวในโดเมนเวลาและเปลี่ยนเป็นโดเมนความถี่:

import scipy.signal as sg
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

e = np.random.normal(0,1,1e3)
E = sg.fft(e)

plt.figure("Bode plot")
plt.subplot(211)
plt.title("Magitude")
plt.plot(abs(E))
plt.subplot(212)
plt.title("Phase")
plt.plot(np.angle(E))
plt.show()

ฉันไม่ได้ดูอย่างที่คาด: พล็อตเรื่องของเสียงสีขาว คำถาม:

เสียงสีขาวไม่ควรที่จะตอบสนองขนาดแบนหรือไม่? (จำนวนเท่ากันสำหรับทุกความถี่)
อะไรคือความสัมพันธ์ระหว่างค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (1 ในตัวอย่างของฉัน) และขนาดและเฟส

ขอบคุณล่วงหน้า!

fft noise python

— Uffe
แหล่งที่มา

เสียงสีขาวไม่ควรที่จะตอบสนองขนาดแบนหรือไม่? (จำนวนเท่ากันสำหรับทุกความถี่)

การตอบสนองต่อขนาดที่คาดหวังของสัญญาณรบกวนสีขาวนั้นคงที่ (นี่คือสิ่งที่ JasonR เรียกว่าความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงาน) อินสแตนซ์เฉพาะของลำดับเสียงสีขาวจะไม่มีการตอบสนองแบบราบเรียบ (นี่คือสิ่งที่ความคิดเห็นของ JasonR อ้างถึงเป็นสเปกตรัมพลังงาน)

ในความเป็นจริงการแปลงฟูริเยร์ของเสียงสีขาวคือ ... เสียงสีขาว!

อะไรคือความสัมพันธ์ระหว่างค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (1 ในตัวอย่างของฉัน) และขนาดและเฟส

$n(t)$ $\sigma$

R_{n n} (τ) = E [n (t) n (t + τ)] = σ^{2} δ (τ)

$R_{nn}(\tau) = E[n(t)n(t+\tau)] = \sigma^2\delta(\tau)$

$\sigma^2$

คำถามจากความคิดเห็น:

เมื่อคุณพูดว่าการแปลงฟูริเยร์เป็นเสียงสีขาวฉันจะวัด std-dev ได้อย่างไรเมื่อการแปลงซับซ้อน จริงส่วนจินตภาพหรือการรวมกันบ้าง?

$n[m]$ $\sigma^2$

\begin{array}{rcl} ยังไม่มีข้อความ [k] & = & Σ_{ม. = 0}^{M - 1} n [ม.] {อี}^{- J 2 π ม. k / M} \\ = & Σ_{ม. = 0}^{M - 1} n [ม.] \cos (2 π ม. k / M) + J n [ม.] บาป (2 π ม. k / M) \end{array}

$\begin{eqnarray} N[k] &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) + j n[m] \sin(2\pi mk/M) \end{eqnarray}$

และค่าที่คาดหวังคือ:

\begin{array}{rcl} E [ยังไม่มีข้อความ [k]] & = & E [Σ_{ม. = 0}^{M - 1} n [ม.] {อี}^{- J 2 π ม. k / M}] \\ = & Σ_{ม. = 0}^{M - 1} E [n [ม.]] {อี}^{- J 2 π ม. k / M} \\ = & 0 \end{array}

$\begin{eqnarray} E\left[N[k]\right] &=& E\left[\sum_{m=0}^{M-1} n[m] e^{-j2\pi mk/M} \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[n[m]\right] e^{-j2\pi mk/M} \\ &=& 0 \end{eqnarray}$

ความแปรปรวนของส่วนจริงได้รับจาก:

\begin{array}{rcl} E [(ℜ N [k])^{2}] & = & E [\sum_{m = 0}^{M - 1} n [m] \cos (2 π m k / M) \cdot \sum_{p = 0}^{M - 1} n [p] \cos (2 π p k / M)] \\ = & E [\sum_{m = 0}^{M - 1} \sum_{p = 0}^{M - 1} n [m] n [p] δ [n - p] \cos (2 π m k / M) \cos (2 π p k / M)] \\ = & \sum_{m = 0}^{M - 1} E [n [m]^{2}] \cos^{2} (2 π m k / M) \\ = & σ^{2} \sum_{m = 0}^{M - 1} \cos^{2} (2 π m k / M) \\ = & σ^{2} (\frac{M}{2} + \frac{\cos (M + 1) 2 π k / M \sin (2 π M k / M)}{2 \sin (2 π k / M)}) \\ = & \frac{σ^{2} M}{2} \end{array}

$\begin{eqnarray} E\left[ (\Re N[k])^2 \right] &=& E \left [ \sum_{m=0}^{M-1} n[m] \cos(2\pi mk/M) \cdot \sum_{p=0}^{M-1} n[p] \cos(2\pi pk/M) \right ]\\ &=& E\left[ \sum_{m=0}^{M-1} \sum_{p=0}^{M-1} n[m]n[p] \delta[n-p] \cos(2\pi mk/M)\cos(2\pi pk/M) \right]\\ &=& \sum_{m=0}^{M-1} E\left[ n[m]^2 \right]\cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2\sum_{m=0}^{M-1} \cos^2(2\pi mk/M)\\ &=& \sigma^2 \left( \frac{M}{2} + \frac{\cos(M+1) 2\pi k/M \sin(2\pi Mk/M) }{ 2 \sin (2\pi k/M) } \ \ \ \right)\\ &=& \frac{\sigma^2 M}{2} \end{eqnarray}$

ฉันเชื่อว่าส่วนจินตภาพจะทำงานในลักษณะเดียวกัน

คุณช่วยบอกฉันทีว่าระยะเวลาของสัญญาณเกี่ยวข้องกับความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงานได้อย่างไร (สำหรับสถานการณ์ที่ไม่ต่อเนื่อง)

ฉันเชื่อว่า (ขึ้นอยู่กับแหล่งที่มาข้างต้น) ความหนาแน่นสเปกตรัมพลังงาน (ค่าที่คาดหวังของกำลังสองของ DFT) จะปรับตามระยะเวลาเป็นเส้นตรง

หากเฟสไม่ได้รับผลกระทบจาก std-dev สิ่งที่จะกำหนดแอมพลิจูด 3 องศาและประเภทของการกระจาย (ดูเหมือนจะเหมือนกันมากกว่าปกติ)

ลองดูตารางในหน้า 2 ของไฟล์ PDFนี้ มันบอกว่าอาร์กิวเมนต์ (เฟส) ของสัมประสิทธิ์จะกระจายอย่างสม่ำเสมอตามที่คุณระบุ สกรีนช็อตของตารางรวมอยู่ด้านล่าง

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

— ปีเตอร์เค
แหล่งที่มา

โดยเฉพาะแนวคิดสองประการที่ OP สับสนคือความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงานของสัญญาณรบกวนสีขาวและสเปกตรัมกำลังของการรับรู้หนึ่งโดยเฉพาะของกระบวนการสุ่มเสียงสีขาว

— Jason R

ขอบคุณ! ฉันมีคำถามติดตาม 1: เมื่อคุณบอกว่าการแปลงฟูริเยร์เป็นเสียงสีขาวฉันจะวัด std-dev ได้อย่างไรเมื่อการแปลงซับซ้อน จริงส่วนจินตภาพหรือการรวมกันบ้าง? 2: คุณช่วยสอนฉันได้ไหมว่าระยะเวลาของสัญญาณเกี่ยวข้องกับความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงาน (สำหรับสถานการณ์ที่ไม่ต่อเนื่องเวลา) 3: ถ้าเฟสไม่ได้รับผลกระทบจาก std-dev สิ่งที่กำหนดแอมพลิจูด 3 องศาและประเภทของ การแจกแจง (ดูเหมือนจะเหมือนกันมากกว่าปกติ)

— Uffe

π

$\pi$

\frac{σ^{2} M}{2}

$\frac{\sigma^2 M}{2}$

นี่คือลิงก์ปัจจุบันไปยังเอกสาร PDF ที่อ้างถึงด้านบน ( radarsp.weebly.com/uploads/2/1/4/7/21471216/dft_of_noise.pdf ) ซึ่งเสีย

— แขกที่เข้าพักเมื่อ

@ บุคคลทั่วไปขอบคุณ! ในอนาคตลองแก้ไขคำตอบด้วยลิงค์ใหม่ มันจะไม่ไปโดยตรงเพราะจะต้องได้รับการตรวจสอบโดยผู้ใช้ระดับสูงกว่า แต่จะไปถึงที่นั่น (และรับ +2 ตัวแทนในกระบวนการ)

— ปีเตอร์เค