ความแปรปรวนของเสียงเกาส์เซียนสีขาว

ดูเหมือนจะเป็นคำถามง่าย ๆ และไม่ต้องสงสัยเลยว่ามี แต่ฉันพยายามคำนวณความแปรปรวนของเสียงเกาส์เซียนสีขาวโดยไม่มีผลลัพธ์ใด ๆ

ความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงาน (PSD) ของเสียงรบกวนแบบเกาส์เซียนสีขาว (AWGN) คือในขณะที่ autocorrelation คือดังนั้นความแปรปรวนจึงไม่มีที่สิ้นสุด? $\frac{N_0}{2}$ $\frac{N_0}{2}\delta(\tau)$

noise power-spectral-density random-process

— Mazzy
แหล่งที่มา

เสียงรบกวนนั้นไม่แปรปรวนของแรงดันเสียงหรือไม่? เราสามารถถามเกี่ยวกับความแปรปรวน (หรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน) ของพลังงานที่วัดได้ในช่วงเวลาหนึ่ง ฉันคิดว่าทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางจะอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างระยะเวลาเวลาการวัดกับความแปรปรวนของผลลัพธ์

คำตอบ:

เสียงรบกวนแบบเกาส์สีขาวในกรณีต่อเนื่องไม่ใช่สิ่งที่เรียกว่ากระบวนการลำดับที่สอง (หมายถึงมี จำกัด ) และดังนั้นใช่ความแปรปรวนไม่มีที่สิ้นสุด โชคดีที่เราไม่สามารถสังเกตเห็นกระบวนการเสียงสีขาว (ไม่ว่าแบบเกาส์เซียนหรือไม่) ในธรรมชาติ มันสามารถตรวจสอบได้ผ่านอุปกรณ์บางชนิดเท่านั้นเช่นตัวกรองเชิงเส้น (BIBO-เสถียร) พร้อมฟังก์ชันถ่ายโอนซึ่งในกรณีที่คุณได้รับคือกระบวนการแบบเกาส์ที่อยู่กับที่ซึ่งมีความหนาแน่นของสเปกตรัมพลังงานและผลต่าง จำกัด $E[X^2(t)]$ $H(f)$ $\frac{N_0}{2}|H(f)|^2$

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{N_{0}}{2} | H (f) |^{2} d f .

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty \frac{N_0}{2}|H(f)|^2\,\mathrm df.$

มากกว่าสิ่งที่คุณอาจต้องการทราบเกี่ยวกับเสียงเกาส์เซียนขาวสามารถพบได้ในภาคผนวกของบันทึกการบรรยายนี้ ของฉัน

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

สิ่งที่อยากรู้เกี่ยวกับสิ่งนี้สำหรับฉันคือพารามิเตอร์ที่ใช้เป็น "ความแปรปรวน" ของการแจกแจงแบบเกาส์ของไม่ใช่ความแปรปรวนของลำดับ อย่างที่คุณพูดมันเป็นเพราะไม่มีที่สิ้นสุด ขอบคุณสำหรับคำอธิบายที่ชัดเจน!

σ^{2}

$\sigma^2$

x (t)

$x(t)$

E [x^{2} (t)]

$E[x^2(t)]$

— Peter K.

@PeterK มีความแตกต่างระหว่างความคิดของเสียงเกาส์เซียนสีขาวสำหรับเวลาไม่ต่อเนื่องและเวลาต่อเนื่อง หากกระบวนการไม่ต่อเนื่องถูกพิจารณาว่าเป็นตัวอย่างจากกระบวนการต่อเนื่องดังนั้นเมื่อพิจารณาว่าตัวอย่างเป็นอุปกรณ์ที่มีแบนด์วิดท์ จำกัด เราจะได้รับลำดับตัวแปรสุ่มแบบเกาส์ที่เป็นอิสระจากความแปรปรวนทั่วไปซึ่ง คือสิ่งที่คุณมีในคำตอบของคุณ หากคือโดยที่เป็น AWGN ของ OP แล้วไม่ใช่ตามที่คุณมี (ยกเว้นถ้า )

σ^{2}

$\sigma^2$

Y [n]

$Y[n]$

Y [n] = \int_{(n - 1) T}^{n T} X (t) d t

$Y[n]=\int_{(n-1)T}^{nT}X(t)\,\mathrm dt$

X (t)

$X(t)$

σ_{Y [n]}^{2} = \frac{N_{0}}{2} T

$\sigma_{Y[n]}^2=\frac{N_0}{2}T$

\frac{N_{0}}{2}

$\frac{N_0}{2}$

T = 1

$T=1$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate ฉันอ่านภาคผนวกที่น่าสนใจของคุณ แต่คุณบอกว่า "ไม่มีใครควรสรุปว่าตัวแปรสุ่มในกระบวนการ WGN เป็นตัวแปรสุ่มแบบเกาส์" ฉันไม่เข้าใจอย่างเต็มที่ หากตัวแปรสุ่มไม่ใช่ Gaussian (และดูเหมือนว่าสมเหตุสมผลสำหรับฉันเนื่องจากพวกเขามีความแปรปรวนไม่สิ้นสุด) ทำไมกระบวนการถึงชื่อ Gaussian?

— โต้คลื่นในฤดูใบไม้ร่วง

@Surferonthefall ลองเขียนลงหนาแน่นเป็นฟังก์ชัน ของที่ถูกกล่าวหาตัวแปรสุ่มเสียนในกระบวนการเสียงรบกวนแบบเกาส์สีขาว\} ฟังก์ชั่นความหนาแน่นของมีค่าสำหรับทุกxวิธีการสามารถถูกมองว่าเป็นตัวแปรสุ่มแบบเกาส์? ที่ผมกล่าวซ้ำ ๆ ในเอกสารที่คุณอ่านไม่ควรมองอย่างใกล้ชิดเกินไปในตัวแปรสุ่มในกระบวนการเสียงสีขาว\} กระบวนการนี้เป็นสิ่งที่เป็นตำนานและมันถูกกำหนดโดยสิ่งที่มันผลิตที่ผลลัพธ์ของตัวกรองเชิงเส้นไม่ใช่อย่างอื่น

f_{X (t)} (x)

$f_{X(t)}(x)$

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$

0

$0$

x

$x$

X (t)

$X(t)$

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$

— Dilip Sarwate

ขออภัยที่ควรได้อ่าน ".... ใช้วงเงินเป็น " ไม่เป็น0

σ \to \infty

$\sigma \to \infty$

σ \to 0

$\sigma \to 0$

— Dilip Sarwate

สมมติว่าเรามีความต่อเนื่องทางเวลาลำดับซึ่งเป็นนิ่งศูนย์หมายถึงเสียงสีขาวที่มีความแปรปรวน 2 จากนั้นความสัมพันธ์ของคือ: โดยที่คือ Kronecker delta $x[t]$ $\sigma^2$ $x$

\begin{matrix} R_{x x} [τ] & = & E [x [เสื้อ] x [เสื้อ + τ]] \\ = & {\begin{matrix} E [x [เสื้อ]^{2}], ผม ฉ τ = 0 \\ 0, โอ เสื้อ ชั่วโมง อี R W ผม s อี \end{matrix} \\ = & σ^{2} δ [τ] \end{matrix}

$\begin{array} RR_{xx}[\tau] &=& E\left[ x[t] x[t+\tau] \right]\\ &=& \left \{ \begin{array} EE \left[ x[t]^2 \right], {\rm if\ }\tau=0 \\ 0, {\rm otherwise} \end{array} \right. \\ &=& \sigma^2 \delta[\tau] \end{array}$

δ [τ]

$\delta[\tau]$

ดังนั้นที่หมายความว่า{2} $\sigma^2 = \frac{N_0}{2}$

— ปีเตอร์เค
แหล่งที่มา

ใช่มันคือ: เว้นแต่คุณจะคำนึงถึงพลังที่ไม่มีที่สิ้นสุดที่จะเกิดขึ้นได้ยากในการโพสต์ครั้งใหญ่เหล่านี้ ที่จริงแล้วกระบวนการเสียงสีขาวทั้งหมดสิ้นสุดลงในการใช้งานทางกายภาพที่มีความจุและทำให้ จำกัด แบนด์วิดท์ที่มีประสิทธิภาพ พิจารณาข้อโต้แย้ง (สมเหตุสมผล) ที่นำไปสู่เสียงของจอห์นสันอาร์: พวกมันจะสร้างพลังงานไม่ จำกัด ยกเว้นว่ามีข้อ จำกัด แบนด์วิดท์เสมอในการใช้งาน สถานการณ์ที่คล้ายกันจะใช้ที่ปลายตรงข้าม: เสียงรบกวน 1 / F ใช่กระบวนการบางอย่างเหมาะสมกับเสียง 1 / f มากในเวลานาน ฉันวัดได้แล้ว แต่ในที่สุดคุณจะถูก จำกัด ด้วยกฏหมายทางกายภาพ

— rrogers
แหล่งที่มา