ตัวกรองคาลมานสำหรับตำแหน่งและความเร็ว: แนะนำการประมาณความเร็ว

ขอบคุณทุกคนที่โพสต์ความเห็น / คำตอบคำถามของฉันเมื่อวานนี้ ( ใช้ตัวกรองคาลมานสำหรับตำแหน่ง, ความเร็ว, ความเร่ง ) ฉันได้รับการมองหาสิ่งที่ได้รับการแนะนำและโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการที่ทั้งสอง (ก) ตัวอย่างที่วิกิพีเดียในตำแหน่งมิติหนึ่งและความเร็วและยังเว็บไซต์อื่นที่จะพิจารณาสิ่งที่คล้ายกัน

อัปเดต 26 เม.ย. 2556 : คำถามเดิมที่นี่มีข้อผิดพลาดบางอย่างเกี่ยวข้องกับความจริงที่ว่าฉันไม่เข้าใจตัวอย่างวิกิพีเดียในตำแหน่งมิติและความเร็วอย่างเดียว ด้วยความเข้าใจที่ดีขึ้นของฉันเกี่ยวกับสิ่งที่เกิดขึ้นตอนนี้ฉันได้ร่างคำถามขึ้นใหม่และมุ่งเน้นไปที่มันแน่นขึ้น

ตัวอย่างทั้งสองที่ฉันอ้างถึงในย่อหน้าเบื้องต้นข้างต้นถือว่าเป็นตำแหน่งที่วัดได้เท่านั้น อย่างไรก็ตามไม่มีตัวอย่างใด ๆ ที่มีการคำนวณสำหรับความเร็ว ตัวอย่างเช่นตัวอย่างวิกิพีเดียระบุเมทริกซ์เป็นซึ่งหมายความว่าตำแหน่งเดียวคืออินพุต เพ่งความสนใจไปที่ตัวอย่างของ Wikipedia เวกเตอร์สถานะของตัวกรองคาลมานมีตำแหน่งและความเร็วคือ$(x_k-x_{k-1})/dt$${\bf H}$${\bf H} = [1\ \ \ 0]$${\bf x}_k$$x_k$$\dot{x}_{k}$

$$\begin{align*} \mathbf{x}_{k} & =\left(\begin{array}[c]{c}x_{k}\\ \dot{x}_{k}\end{array} \right) \end{align*}$$

Suppose the measurement of position at time $k$ is $\hat{x}_k$. Then if the position and speed at time $k-1$ were $x_{k-1}$ and $\dot{x}_{k-1}$, and if $a$ is a constant acceleration that applies in the time interval $k-1$ to $k$, from the measurement of $\hat{x}$ it's possible to deduce a value for $a$ using the formula

$$\hat{x}_k = x_{k-1} + \dot{x}_{k-1} dt + \frac{1}{2} a dt^2$$

This implies that at time $k$, a measurement $\hat{\dot{x}}_k$ of the speed is given by

$$\hat{\dot{x}}_k = \dot{x}_{k-1} + a dt = 2 \frac{\hat{x}_k - {x}_{k-1}}{dt} - \dot{x}_{k-1}$$

All the quantities on the right hand side of that equation (i.e. $\hat{x}_k$, $x_{k-1}$ and $\dot{x}_{k-1}$) are normally distributed random variables with known means and standard deviations, so the $\bf R$ matrix for the measurement vector

$$\begin{align*} \mathbf{\hat{x}}_{k} & =\left(\begin{array}[c]{c}\hat{x}_{k}\\ \hat{\dot{x}}_{k}\end{array} \right) \end{align*}$$

can be calculated. Is this a valid way of introducing speed estimates into the process?

Is this a valid way of introducing speed estimates into the process?

If you choose your state appropriately, then the speed estimates come "for free". See the derivation of the signal model below (for the simple 1-D case we've been looking at).

Signal Model, Take 2

So, we really need to agree on a signal model before we can move this forward. From your edit, it looks like your model of the position, $x_k$, is:

$$\begin{array} xx_{k+1} &=& x_{k} + \dot{x}_{k} \Delta t + \frac{1}{2} a (\Delta t)^2\\ \dot{x}_{k+1} &=& \dot{x}_{k} + a \Delta t \end{array}$$

If our state is as before:

$$\begin{align*} \mathbf{x}_{k} & =\left(\begin{array}[c]{c}x_{k}\\ \dot{x}_{k}\end{array} \right) \end{align*}$$ then the state update equation is just: $$\mathbf{x}_{k+1} = \left(\begin{array}[c]{c} 1\ \ \Delta t\\ 0\ \ 1\end{array} \right) \mathbf{x}_{k} + \left(\begin{array}[c]{c} \frac{(\Delta t)^2}{2} \\ \Delta t \end{array} \right) a_k$$ where now our $a_k$ is the normally distributed acceleration.

That gives different $\mathbf{G}$ matrix from the previous version, but the $\mathbf{F}$ and $\mathbf{H}$ matrices should be the same.

---

If I implement this in scilab (sorry, no access to matlab), it looks like:

// Signal Model
DeltaT = 0.1;
F = [1 DeltaT; 0 1];
G = [DeltaT^2/2; DeltaT];
H = [1 0];

x0 = [0;0];
sigma_a = 0.1;

Q = sigma_a^2;
R = 0.1;

N = 1000;

a = rand(1,N,"normal")*sigma_a;

x_truth(:,1) = x0;
for t=1:N,
    x_truth(:,t+1) = F*x_truth(:,t) + G*a(t);
    y(t) = H*x_truth(:,t) + rand(1,1,"normal")*sqrt(R);
end

Then, I can apply the Kalman filter equations to this $y$ (the noisy measurements).

// Kalman Filter
p0 = 100*eye(2,2);

xx(:,1) = x0;
pp = p0;
pp_norm(1) = norm(pp);
for t=1:N,
    [x1,p1,x,p] = kalm(y(t),xx(:,t),pp,F,G,H,Q,R);
    xx(:,t+1) = x1;
    pp = p1;
    pp_norm(t+1) = norm(pp);
end

So we have our noisy measurements $y$, and we've applied the Kalman filter to them and used the same signal model to generate $y$ as we do to apply the Kalman filter (a pretty big assumption, sometimes!).

Then following plots show the result.

Plot 1: $y$ and $x_k$ versus time.

Plot 2: A zoomed view of the first few samples:

Plot 3: Something you never get in real life, the true position vs the state estimate of the position.

Plot 4: Something you also never get in real life, the true velocity vs the state estimate of the velocity.

Plot 5: The norm of the state covariance matrix (something you should always monitor in real life!). Note that it very quickly goes from its initial very large value to something very small, so I've only shown the first few samples.

Plot 6: Plots of the error between the true position and velocity and their estimates.

If you study the case where the position measurements are exact, then you find that the Kalman udpate equations produce exact results for BOTH position and speed. Mathematically it's straightforward to see why. Using the same notation as the wikipedia article, exact measurements mean that $\mathbf{z}_{k+1}=x_{k+1}$. If you assume that the initial position and speed are known so that $\mathbf{P}_k=0$, then $\mathbf{P}_{k+1}^{-}=\mathbf{Q}$ and the Kalman gain matrix $\mathbf{K}_{k+1}$ is given by

$$\mathbf{K}_{k+1} = \left(\begin{array}[c]{c}1\\ 2/dt\end{array} \right)$$

This means that the Kalman update procedure produces

$$\begin{align*} \mathbf{\hat{x}}_{k+1} & = \mathbf{F}_{k+1}\mathbf{x}_k + \mathbf{K}_{k+1}\left(\mathbf{z}_{k+1} - \mathbf{H}_{k+1} \mathbf{F}_{k+1}\mathbf{x}_k\right)\\ & = \left(\begin{array}[c]{c}x_k + \dot{x}_k dt\\ \dot{x}_k\end{array} \right) + \left(\begin{array}[c]{c}1\\ 2/dt\end{array} \right) \left(x_{k+1} - \left( x_k + \dot{x}_k dt\right) \right)\\ & = \left(\begin{array}[c]{c}x_{k+1}\\ 2 \left(x_{k+1} - x_k \right) /dt - \dot{x}_k\end{array} \right) \end{align*}$$

As you can see, the value for the speed is given by exactly the formula you were proposing to use for the speed estimate. So although you couldn't see any kind of calculation $(x_k-x_{k-1})/dt$ for speed, in fact it is hidden in there after all.