ทำไมการเพิ่มสัญญาณรุ่นที่ล่าช้าไปยังตัวมันเองจึงสร้างสัญญาณที่ถูกกรอง?

9

ฉันถูกถามคำถามนี้และไม่สามารถหาคำตอบในจุดที่ไม่เกี่ยวข้องกับโดเมนความถี่ได้ (โดยทั่วไปแล้วว่าประสิทธิภาพร่วมของลำดับการหน่วงเวลาเป็นการตอบสนองแบบแรงกระตุ้นของตัวกรอง FIR)

ใครบ้างมีความเข้าใจซึ่งทำให้กระบวนการนี้ 'ชัดเจน'?

filters

— Tom Kealy
แหล่งที่มา

9

เมื่อคุณหน่วงสัญญาณ $T$ วินาทีและเพิ่มลงในสัญญาณเองคุณกำลังยกเลิกหรือลบล้างองค์ประกอบสัญญาณที่ความถี่ $\frac{1}{2T}$ เฮิร์ตซ์เนื่องจากส่วนประกอบสัญญาณนั้นจะมีการเปลี่ยนแปลงเฟสโดยแน่นอน $\pi$ :

\begin{aligned} \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} (t - T) + θ) & = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ - π) \\ = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) \cos (π) \\ - \cos (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) \sin (π) \\ = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - 0 \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}(t-T) + \theta\right) &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta - \pi\right)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) +\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\cos(\pi)\\ &\ \hspace{0.2in}-\cos\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\sin(\pi)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) -\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)-0\\ &= 0. \end{align}$ สิ่งที่คล้ายกันเกิดขึ้นที่ทวีคูณของคี่

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$ เฮิร์ตซ์ยัง สำหรับความถี่ใกล้เคียงการยกเลิกนั้นไม่สมบูรณ์และแน่นอนที่ทวีคูณของ

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$ เฮิร์ตซ์องค์ประกอบสัญญาณจะเพิ่มเป็นสองเท่าในค่าแทนที่จะถูกยกเลิก ในทำนองเดียวกันถ้าสัญญาณล่าช้าลดลงในแอมพลิจูดการยกเลิกจะไม่สมบูรณ์ที่

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$ เฮิร์ตและอื่น ๆ

เพื่อสรุปสัญญาณจะถูกกรองเพราะความถี่ที่แตกต่างกันจะถูกส่งผ่านด้วยกำไรที่แตกต่างกัน

หากคุณต้องการคำอธิบายโดเมนความถี่ฟังก์ชั่นการถ่ายโอน $H(f)$ ของระบบคือการแปลงฟูริเยร์ในสิ่งที่คำตอบของแมตต์ให้ไว้เป็นการตอบสนองแบบอิมพัลส์

F [δ (t) + δ (t - T)] = 1 + \exp (- j 2 π f T)

$\mathcal F\left[\delta(t) + \delta(t-T)\right] = 1+\exp(-j2\pi fT)$ ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่ไม่แน่นอนของ

f

$f$ (ในความเป็นจริง,

| H (f) |

$|H(f)|$ แตกต่างกันไปจาก sinusoidally สูงสุด

2

$2$ อย่างน้อยที่สุด

0

$0$ ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น) และอื่น ๆ

Y (f) = H (f) X (f)

$Y(f)=H(f)X(f)$ ไม่ใช่สเกลาร์หลายอันของ

X (f)

$X(f)$ . กรอง!

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

ขออภัยสำหรับความล่าช้า - ฉันจะไปจากที่นี่ได้อย่างไร (การกรองนั้นเป็นสัญญาณรบกวน) ต่อความจำเป็นที่การกรองเป็นการโน้มน้าวใจของสัญญาณทั้งสอง ฉันเห็นได้ (พีชคณิต) จากผลรวมของสูตรโคไซน์สองสูตร แต่ฉันไม่สามารถรู้เหตุผลได้ว่าทำไม

— Tom Kealy

โปรดอธิบายสิ่งที่คุณหมายถึงโดย"การกรองเป็นการรบกวน" ฉันไม่เข้าใจความคิดนี้เลย

— ดิลลิป Sarwate

เราเพิ่งสร้าง (หรือมีเรา?) ว่าการเพิ่มสัญญาณสองสัญญาณพร้อมกับเฟสที่ต่างกันนั้นเทียบเท่ากับการกรองด้วยการหน่วงเวลาเนื่องจากคลื่นรบกวน ฉันจะไป (ในโดเมนเวลา) จากที่นั่นไปสู่การโน้มน้าวใจได้อย่างไร

— Tom Kealy

ฉันยังไม่เข้าใจคำถาม

x (t) + x (t - T) = y (t)

$x(t)+x(t-T) = y(t)$ คือเอาต์พุตของตัวกรองที่มีการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น

h (t) = δ (t) + δ (t - T)

$h(t) = \delta(t)+\delta(t-T)$ ซึ่งอินพุตเกิดขึ้นเป็น

x (t)

$x(t)$ ตามที่ระบุไว้ในคำตอบของ Matt หากคุณต้องการที่จะเขียนผลลัพธ์ที่เป็น convolution คุณสามารถเขียน

y (t) = x ⋆ h = \int_{- \infty}^{\infty} x (t - u) h (u) d u = \int_{- \infty}^{\infty} x (t - u) [δ (u) + δ (u - T)] d u

$y(t) = x\star h = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)h(u)\,du = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)[\delta(u)+\delta(u-T)]\,du$ เมื่อคุณประเมินอินทิกรัลโดยใช้คุณสมบัติการกรองของแรงกระตุ้นคุณจะได้รับ

x (t) + x (t - T)

$x(t)+x(t-T)$ ที่คุณรู้แล้ว

— Dilip Sarwate

6

หากคุณกำหนดการกรองแบบเชิงเส้น (เชิงเส้นไม่แปรปรวน) ในรูปแบบ Convolution คำตอบนั้นชัดเจน: ผลรวมของสัญญาณและเวอร์ชันที่ล่าช้าของมันสามารถเขียนเป็นรูปแบบที่มีการตอบสนองแบบอิมพัลส์ได้ $h(t)$ :

h (t) = δ (t) + δ (t - T)

$h(t) = \delta(t) + \delta(t-T)$ ที่ไหน

T

$T$ คือความล่าช้าระหว่างสัญญาณทั้งสองรุ่น

— แมตต์แอล
แหล่งที่มา

4

หากการหน่วงเวลาของสัญญาณที่เพิ่มล่าช้าเป็นหนึ่งรอบแน่นอนของเนื้อหาตามระยะเวลาใด ๆ เอาต์พุตจะเพิ่มขึ้นอย่างมาก หากความล่าช้านั้นเป็นครึ่งหนึ่งของช่วงเวลาขององค์ประกอบไซน์ใด ๆ จากนั้นองค์ประกอบนั้นจะถูกรบกวนอย่างทำลายล้าง หากการหน่วงเวลาเป็นศูนย์สัญญาณจะเพิ่มเป็นสองเท่า สำหรับการรวมความถี่ / เฟสที่อยู่ระหว่างการรบกวนการทำลายที่สมบูรณ์หรือการเติมที่สมบูรณ์ผลลัพธ์การเติมจะอยู่ในระหว่าง

การเพิ่มและลดเอาท์พุทขึ้นอยู่กับเนื้อหาความถี่ของอินพุตเป็นการกรองทั่วไป

— hotpaw2
แหล่งที่มา