เงื่อนไขสำหรับเมทริกซ์ precoding เพื่อรักษาสมมาตรคอนจูเกตที่ซับซ้อนบนเวกเตอร์ DFT

สมมติว่ามีเวกเตอร์ DFT $\mathbf{X}$ ด้วยความยาว N ซึ่งนำเสนอสมมาตรคอนจูเกตที่ซับซ้อนรอบจุดกึ่งกลางนั่นคือ $X(1) = X(N-1)^*$, $X(2) = X(N - 2)^*$ และอื่น ๆ $X(0)$ และ $X(N/2)$คือความถี่ DC และ Nyquist ตามลำดับดังนั้นจึงเป็นจำนวนจริง องค์ประกอบที่เหลือมีความซับซ้อน

ทีนี้สมมติว่ามีเมทริกซ์ $\mathbf{T}$มีขนาด $N \times N$ซึ่งคูณเวกเตอร์ X

$$\begin{align} \mathbf{Y} = \mathbf{T}\mathbf{X} \end{align}$$

คำถามคือ:

ในเงื่อนไขใดสำหรับเมทริกซ์ $\mathbf{T}$สมมาตรเชิงซ้อนที่ซับซ้อนรอบจุดกึ่งกลางของเวกเตอร์ที่ได้ $\mathbf{Y}$ ถูกเก็บรักษาไว้?

แรงจูงใจสำหรับคำถามนี้กำลังพยายามหาเมทริกซ์ precoder $\mathbf{T}$ ซึ่งจะส่งผลให้เกิดสัญลักษณ์ที่กำหนดล่วงหน้าไว้ล่วงหน้า $\mathbf{Y}$ IFFT นั้นเป็นของจริง

แก้ไข:

ขอบคุณ @MattL และ @ Niaren ปัญหาเกี่ยวกับคำถามนี้คือการค้นหาเงื่อนไขที่จำเป็น คำตอบของ Matt นั้นเพียงพอแล้ว นอกจากนี้ยังเพียงพอที่จะทำการปรับเปลี่ยนต่อไปนี้:

แถวแรกและคอลัมน์แรกไม่จำเป็นต้องเป็นศูนย์ แต่พวกมันอาจไม่ใช่ศูนย์ตราบใดที่ค่าของมันมีสมมาตรคอนจูเกตที่ซับซ้อนรอบจุดกลางค่าแรกของมันคือจริงและ$(N/2+1)$ค่า -th เป็นจริงเช่นเดียวกับสัญลักษณ์ เดียวกันอาจระบุไว้สำหรับ$(N/2+1)$-th คอลัมน์, $(N/2+1)$แถวที่ห้าและเส้นทแยงมุมหลัก

ประการที่สองการติดต่อแบบเดียวกันระหว่างเมทริกซ์ในมุมซ้ายและมุมขวาล่างสามารถทำระหว่างมุมขวาบนและมุมล่างซ้ายนั่นคือเลือก $(N/2 -1)\times(N/2-1)$ เมทริกซ์เริ่มต้นจาก $t_{2,N/2 + 2}$ ถึง $t_{N/2,N}$พลิกจากซ้ายไปขวาพลิกคว่ำและใช้คอนจูเกตแล้ววางที่มุมซ้ายล่าง บน MATLAB นั่นคือ:

T(N/2+2:N,2:N/2) = conj(fliplr(flipud(Tisi(2:(N/2),N/2+2:N))))

โครงสร้างนี้คล้ายกับโครงสร้างของเมทริกซ์ DFT นั่นจะเป็นเงื่อนไขที่จำเป็นไหม?

แก้ไข (2):

รหัสต่อไปนี้ใช้ตัวดำเนินการที่ถูกต้องสำหรับมูลค่าจริง $N \times N$ มดลูก $\mathbf{A}$:

N = 8;  
A = rand(N,N); %must be real-valued  
w = exp(-1j*2*pi/N); % twiddle factor  
W = w.^(repmat(0:N-1,N,1).*repmat(0:N-1,N,1).'); % DFT matrix  
T = W*A*W'

แก้ไข (3):

นอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสนใจที่จะต้องทราบ $\mathbf{T}^{-1}$แสดงเงื่อนไขเพียงพอเช่นกัน นี่มาจากข้อเท็จจริงที่ว่า:

$$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \mathbf{\left(W A W^{H}\right)}^{-1}\\ &= \mathbf{\left(W^{H}\right)}^{-1} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W}^{-1} \end{align}$$ ที่ไหน $\mathbf{W}$ คือเมทริกซ์ DFT

ตั้งแต่ $\mathbf{W^{H}} = N\mathbf{W}^{-1}$. สมการนี้กลายเป็น:

$$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \left(N\mathbf{W}^{-1}\right)^{-1} \mathbf{A}^{-1} \frac{1}{N}\mathbf{W^{H}}\\ &= \mathbf{W} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W^{H}} \end{align}$$

ในที่สุดตั้งแต่ $\mathbf{A}^{-1}$ มีมูลค่าจริงโดยมีเงื่อนไขว่า $\mathbf{A}$ เต็มอันดับ$\mathbf{T}^{-1}$ เพียงพอแล้ว

ฉันคิดว่ารายการในเมทริกซ์ของคุณ $\bf{T}$ จะต้องเชื่อฟัง $a_{N-n+1,N-m+1} = a^*_{n,m}$. นี่คือการพูดว่ารายการในแถว$N-n+1$เหมือนกันกับค่าสัมประสิทธิ์ในแถว n แต่ค่าสัมประสิทธิ์เป็นคอนจูเกตและกลับด้าน รูปแบบใน$\bf{T}$ สำหรับ $N=4$ คือ

$T_4 = \left[ \begin{smallmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\ a^*_{24}&a^*_{23}&a^*_{22}&a^*_{21} \\ a^*_{14}&a^*_{13}&a^*_{12}&a^*_{11}\end{smallmatrix} \right]$

ฉันแน่ใจว่าบางคนจะได้คำตอบที่ดีและแม่นยำยิ่งขึ้น

ถ้าฉันไม่เข้าใจผิดทางออกเดียวสำหรับ $\mathbf{T}$ ซึ่งเป็นอิสระจากเวกเตอร์ $\mathbf{X}$ เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม (ซับซ้อน) ซึ่งเส้นทแยงมุมทำให้สมมาตรคอนจูเกตที่ซับซ้อน

แก้ไข:ตกลงฉันเข้าใจผิด เส้นทแยงมุมนั้นใช้ได้ แต่ก็ไม่จำเป็น เมทริกซ์$\mathbf{T}$ ต้องมีโครงสร้างทั่วไปดังต่อไปนี้: องค์ประกอบ $t_{11}$ และ $t_{N/2+1,N/2+1}$ต้องเป็นของมีค่าที่แท้จริง (สอดคล้องกับ DC และ Nyquist) นอกเหนือจาก$t_{11}$แถวและคอลัมน์แรกมีค่าศูนย์เท่านั้น สำหรับองค์ประกอบ$t_{22}$ ถึง $t_{N/2,N/2}$ เลือกอนุญาโตตุลาการ $(N/2-1)\times (N/2-1)$มดลูก จากนั้นใช้เมทริกซ์อาร์เรย์เรย์นี้เพื่อสร้างเมทริกซ์ใหม่โดยการสลับแถวทั้งหมด (แถวแรกกลายเป็นแถวสุดท้ายแถวที่สองกลายเป็นแถวสุดท้ายที่สองเป็นต้น) โดยพลิกแถวจากซ้ายไปขวาและโดยการรวมกัน จากนั้นวางซับเมทริกซ์นี้ที่มุมล่างขวาของเมทริกซ์ทั้งหมด$\mathbf{T}$. องค์ประกอบอื่น ๆ ทั้งหมดของ$\mathbf{T}$ต้องเป็นศูนย์ ฉันรู้ว่านี่เป็นเรื่องยากที่จะเข้าใจโดยไม่ต้องสร้างภาพข้อมูลดังนั้นฉันจะเพิ่มอีกครั้งในภายหลังเมื่อฉันมีเวลามากขึ้น