ตัวกรอง FIR ที่มีเฟสเชิงเส้น 4 ประเภท

ฉันรู้ว่ามีตัวกรอง FIR 4 ประเภทที่มีเฟสเชิงเส้นนั่นคือการหน่วงกลุ่มคงที่: (M = ความยาวของการตอบสนองต่อแรงกระตุ้น)

1. การตอบสนองแรงกระตุ้นสมมาตร M = คี่

2. ภูตผีปีศาจ รับผิดชอบ สมมาตร M = เท่ากัน

3. ภูตผีปีศาจ รับผิดชอบ แอนตี้ - สมมาตร, m = คี่

4. ภูตผีปีศาจ รับผิดชอบ แอนตี้ - สมมาตร, m = แม้ของ

แต่ละคนมีลักษณะของมัน ประเภทใดที่ใช้กันมากที่สุดในตัวกรอง FIR พร้อมการออกแบบเฟสเชิงเส้นและทำไม :)

เมื่อเลือกตัวกรองเฟสเชิงเส้นตัวใดตัวหนึ่งใน 4 ชนิดนี้มีสิ่งที่ต้องพิจารณาเป็นหลัก 3 ประการ:

1. ข้อ จำกัด ของค่าศูนย์ของที่z = 1และz = - $H(z)$$z=1$$z=-1$

2. ความล่าช้าของกลุ่มจำนวนเต็ม / ไม่ใช่กลุ่มจำนวนเต็ม

3. เปลี่ยนเฟส (นอกเหนือจากเฟสเชิงเส้น)

สำหรับตัวกรอง Type I (จำนวนค็อตที่เป็นเลขคี่แม้สมมาตร) จะไม่มีข้อ จำกัด ในศูนย์ที่และz = - 1การเลื่อนเฟสเป็นศูนย์ (นอกเหนือจากเฟสเชิงเส้น) และความล่าช้าของกลุ่มคือจำนวนเต็ม ราคา.$z=1$$z=-1$

ตัวกรอง Type II (จำนวนก๊อกแม้แต่สมมาตร) จะมีศูนย์ที่ (เช่นครึ่งความถี่การสุ่มตัวอย่าง) พวกเขามีการเปลี่ยนเฟสเป็นศูนย์และมีความล่าช้ากลุ่มที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม$z=-1$

ตัวกรอง Type III (จำนวนก๊อกที่ผิดปกติสมมาตรคี่) มีค่าศูนย์ที่และz = - 1 (เช่นที่f = 0และf = f s / 2 ) พวกมันมีการเลื่อนเฟส 90 องศาและจำนวนเต็ม ความล่าช้าของกลุ่ม$z=1$$z=-1$$f=0$$f=f_s/2$

ตัวกรอง Type IV (แม้จำนวนก๊อก, สมมาตรคี่) มักมีศูนย์ที่ , การเลื่อนเฟส 90 องศาและการหน่วงเวลากลุ่มที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม$z=1$

สิ่งนี้แสดงถึงสิ่งต่อไปนี้:

• ตัวกรอง Type I นั้นมีความเป็นสากล แต่ไม่สามารถใช้งานได้เมื่อจำเป็นต้องทำการเปลี่ยนเฟส 90 องศาเช่นสำหรับตัวสร้างความแตกต่างหรือตัวแปลงฮิลแบร์ต

• Type II ฟิลเตอร์ตามปกติจะไม่ถูกใช้เพื่อผ่านสูงหรือหยุดวงฟิลเตอร์เนื่องจากศูนย์ที่คือที่F = F s / 2 ไม่สามารถใช้กับแอปพลิเคชันที่จำเป็นต้องเลื่อนเฟส 90 องศา$z=-1$$f=f_s/2$

• ไม่สามารถใช้ตัวกรอง Type III สำหรับตัวกรองแบบเลือกความถี่มาตรฐานได้ในกรณีเหล่านี้การเลื่อนเฟส 90 องศามักไม่เป็นที่ต้องการ สำหรับหม้อแปลงฮิลแบร์ต, ฟิลเตอร์ชนิดที่สามมีประมาณขนาดค่อนข้างไม่ดีที่ความถี่ต่ำมากและสูงมากเนื่องจากศูนย์ที่และZ = - 1 ในทางกลับกันหม้อแปลง Type III Hilbert สามารถใช้งานได้อย่างมีประสิทธิภาพมากกว่าหม้อแปลง Type IV Hilbert เพราะในกรณีนี้การแตะทุกครั้งจะเป็นศูนย์$z=1$$z=-1$

• ไม่สามารถใช้ตัวกรอง Type IV สำหรับตัวกรองความถี่ที่เลือกได้ด้วยเหตุผลเดียวกับตัวกรอง Type III พวกเขามีความเหมาะสมดีสำหรับความแตกต่างและหม้อแปลงฮิลแบร์ตและประมาณขนาดของพวกเขามักจะดีกว่าเพราะเป็นซึ่งแตกต่างจากชนิดของฟิลเตอร์ที่สามพวกเขาไม่มีศูนย์ที่ 1$z=-1$

• ในบางแอปพลิเคชันการหน่วงเวลากลุ่มจำนวนเต็มเป็นที่ต้องการ ในกรณีเหล่านี้ต้องการตัวกรองประเภท I หรือ type III

ตัวกรองที่มีการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นแบบสมมาตรล้วนมีค่าเป็นศูนย์ที่ (เช่นความถี่ 0) ดังนั้นหากคุณจำเป็นต้องใช้ตัวกรอง High-Pass หรือตัวกรองที่คล้ายอนุพันธ์ (หรือแม้แต่ Band-Pass) คุณต้องไปหาประเภท 3 และ 4$z=1$

ในทำนองเดียวกันหากตัวกรองของคุณเป็นประเภท low-pass ประเภท 1 และ 2 จะถูกนำไปใช้

ดังนั้นขึ้นอยู่กับประเภทของตัวกรองที่คุณต้องการในการออกแบบและไม่ใช่ตัวกรองที่พบได้บ่อย

จากนั้นยังมีความแตกต่างระหว่างประเภท 1 และ 3 กับ 2 และ 4 ในแง่ของการตอบสนองเฟส จะมีระหว่างสองประเภทนี้ แม้ว่าคุณจะไม่สนใจเกี่ยวกับความล่าช้าที่เกิดขึ้นจริงนำความแตกต่างครึ่งตัวอย่างนี้จะมีความสำคัญในแง่ของการบรรจบกันในบางกรณีของตัวกรองสูงผ่าน (เฟสพิเศษสามารถทำให้การตอบสนองความถี่ของคุณอย่างต่อเนื่องที่θ = πจึงให้ การบรรจบกันที่เร็วขึ้นมากและจำเป็นต้องมีค่าสัมประสิทธิ์น้อยลง)$e^{j\theta/2}$$\theta = \pi$

ในแง่ของการดำเนินการทั้ง 4 ประเภทสามารถนำไปใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยไม่ต้องทำซ้ำค่าสัมประสิทธิ์ซ้ำสองครั้ง

แน่นอนว่าคุณต้องใช้สายหน่วงเวลาขนาด M ทั้งหมด แต่แทนที่จะคูณผลลัพธ์ของการแตะแต่ละครั้งด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของตัวเองคุณต้องเพิ่ม (หรือลบ) ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกันสองรายการก่อนแล้วจึงคูณด้วยสัมประสิทธิ์เพียงครั้งเดียว

$h[n] = a \delta[n] + b \delta[n-1] + a \delta[n-2]$$y[n] = a x[n] + b x[n-1] + a x[n-2]$$y[n] = a (x[n] + x[n-2]) + b x[n-1]$.

Since there already are two very nice answers, I will give some very basic examples from which the properties given in the other answers can be sanity checked against. Zero locations and phase responses are directly available.

symmetrical, M=odd

$H(z) = 1\pm2z^{-1}+z^{-2} = (1\pm z^{-1})^2 \\ H(e^{j\omega}) = (1\pm e^{-j\omega})^2 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2}))^2 = e^{-j\omega}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2})^2 = 4e^{-j\omega}\cos^2(\omega/2) \quad or \quad -4e^{-j\omega}\sin^2(\omega/2) = 4e^{-j(\omega-\pi)}\sin^2(\omega/2)$

$H(z) = 1+z^{-2} = (1 + jz^{-1})(1 - jz^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j2\omega}) = e^{-j\omega}(e^{j\omega} + e^{-j\omega}) = 2e^{-j\omega}\cos(\omega)$

symmetrical, M=even

$H(z) = 1 + z^{-1}\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}) = 2e^{-j\omega/2}\cos(\omega/2)$

$H(z) = 1 + z^{-3} \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j3\omega}) = e^{-j3\omega/2}(e^{j3\omega/2} + e^{-j3\omega/2}) = 2e^{-j3\omega/2}\cos(3\omega/2)$

$H(z) = 1 + 3z^{-1} + 3z^{-2} + z^{-3} = (1 + z^{-1})^3 = (1-e^{-2\pi/3}z^{-1})(1-e^{2\pi/3}z^{-1})(1+z^{-1})\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega})^3 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}))^3 = 8e^{-j3\omega/2}\cos(\omega/2)^3$

antisymmetrical, M=odd (according to [1], $h[N/2] = 0$ for this case)

$H(z) = 1 - z^{-2} = (1 + z^{-1})(1 - z^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = 1 - e^{-j2\omega} = e^{-j\omega}(e^{j\omega} - e^{-j\omega}) = 2je^{-j\omega}\sin(\omega)=2e^{-j(\omega-\pi/2)}\sin(\omega)$

antisymmetrical, M=even

$H(z) = 1 - z^{-1} \\ H(e^{j\omega}) = (1 - e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} - e^{-j\omega/2}) = 2je^{-j\omega/2}\sin(\omega/2)$

[1] a good reference mitrappt