Bernoulli matrix ไม่สมมาตรเป็นไปตาม RIP หรือไม่

กำหนด $n\times N$ sensing matrix $A$ โดยกับความน่าจะและกับความน่าจะเป็น1-Pไม่ตอบสนองที่ถูก จำกัด คุณสมบัติ isometry ? $A_{ij} = 0$ $p$ $A_{ij} = 1/\sqrt{n}$ $1-p$ $A$

สำหรับการอ้างอิงกรณีที่สมมาตรได้รับคำตอบในกระดาษต่อไปนี้:

RG Baraniuk, MA ดาเวนพอร์ท, RA DeVore, และ MB Wakin, "การพิสูจน์อย่างง่ายของคุณสมบัติไอโซโทปที่ จำกัด สำหรับเมทริกซ์แบบสุ่ม" การประมาณเชิงสร้างสรรค์, 28 (3) pp 253-263, ธันวาคม 2008 ( pdf )

compressive-sensing

— โอลิเวีย
แหล่งที่มา

นี่อาจเป็นตัวชี้: ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=5512379 (น่าเสียดายที่มันมีการจ่ายเงินและฉันไม่พบสำเนา OA ของมัน) ฉันไม่ทราบรายละเอียดของกระดาษ แต่สิ่งที่ฉันเห็นได้จากการดูอย่างรวดเร็วก็คือพวกเขาไม่พิจารณากรณีทั่วไปตามที่คุณขอ พวกเขาพิจารณา p = 1/2 นอกจากนี้ฉันไม่ทราบว่าพวกเขาเกี่ยวกับ RIP ของเมทริกซ์เหล่านี้อย่างละเอียดเพียงใด

— Thomas Arildsen

นี่อาจเป็นคำใบ้: rauhut.ins.uni-bonn.de/RauhutSlidesLinz.pdf (หน้า 98) น่าเสียดายที่ดูเหมือนว่าสิ่งที่เขาเรียกว่าตัวแปรสุ่มของ Bernoulli คือการสุ่ม +/- 1 - ไม่ใช่ 0/1 (ฉันจะเรียก Rademacher เหล่านี้)

— Thomas Arildsen

อนุญาตให้ฉันทำซ้ำส่วนสำคัญของความคิดเห็นที่ฉันทำไว้ในโพสต์เดียวกัน (ตอนนี้ถูกลบ) ในสถิติ SE : มันจะช่วยทำให้คำถามนี้แม่นยำยิ่งขึ้นและระบุสิ่งที่คุณสนใจและสิ่งที่คุณกำลังดิ้นรนเพื่อปรับตัว ความคิดเห็น @Thomas 'มีความเกี่ยวข้อง; เราไม่ทราบด้วยว่าคุณสนใจในระดับใด (เช่นคำสั่งซื้อ) แม้ว่าเราจะพิจารณาฟังก์ชั่นของ Rademacher คำตอบก็ชัดเจนว่าไม่มีในเครื่องแบบใด ๆ (ใน

p

$p$ ) ความรู้สึกสำหรับการปล่อย

p

$p$ เป็น

1

$1$ (หรือปิดพอ) เพื่อให้มี (ความน่าจะเป็นสูง) submatrix เป็นคนทั้งหมด (ต่อ)

— พระคาร์ดินัล

โดยเลือกลำดับ

p_{n} \in (0, 1)

$p_n \in (0,1)$ เป็นหน้าที่ของ

n

$n$ นี่จะเป็นจริงสำหรับบางคน

p

$p$ สำหรับเมทริกซ์ขนาดใดก็ได้ ในทางกลับกันสำหรับการแก้ไข

p

$p$ ถ้าเราปรับเปลี่ยนการก่อสร้างเพื่อให้

A_{i j} = (1 - p) / \sqrt{n}

$A_{ij} = (1-p)/\sqrt{n}$ ด้วยความน่าจะเป็น

p

$p$ และ

- p / \sqrt{n}

$-p/\sqrt{n}$ ด้วยความน่าจะเป็น

(1 - p)

$(1-p)$ แล้วคำตอบนั้นชัดเจนว่าใช่แล้วสำหรับเรื่องนี้จากทฤษฏีทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์แบบ subgaussian สุ่ม

— พระคาร์ดินัล

ขอบคุณ @cardinal เมทริกซ์

A

$A$ ไม่ได้เป็นค่าเฉลี่ยศูนย์ แต่ทฤษฎีของเมทริกซ์สุ่ม subgaussian จะตอบคำถามนี้ ฉันสงสัยว่าเ

A

$A$ สามารถสนอง RIP ได้เนื่องจากไม่รักษาบรรทัดฐาน แต่เห็นได้ชัดว่ามีการปรับขนาดที่เหมาะสม

A

$A$ นั่นทำ

— เวีย

ตามที่คนอื่นได้ระบุไว้ในความคิดเห็นคำตอบคือ "ไม่" เมทริกซ์ที่ไม่เป็นศูนย์ของเมทริกซ์บอกว่าเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ (พูดทุกอัน) จะได้รับผลตอบแทนสูงกว่าเวกเตอร์สุ่มที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์อย่างมาก (พูดอย่างสุ่ม + 1, -1)

พิจารณาค่ามาตรฐานกำลังสองของ A คูณเวกเตอร์คงที่ y คาดว่าจะเป็น n * (p * N) ^ 2 (ซ้ำของความคาดหวัง)

ค่ามาตรฐานกำลังสองของ A คูณเวกเตอร์ x ที่วาดอย่างสม่ำเสมอจาก (-1, + 1) คาดว่าจะเป็น n * (p * N) (คำนวณโดยผลรวมของความแปรปรวนของการแจกแจงแบบทวินาม)

บรรทัดฐานของ x และ y เหมือนกัน แต่ความคาดหวังของบรรทัดฐานที่เปลี่ยนไปนั้นแตกต่างกันไปตามปัจจัยของ p * N - การเบี่ยงเบนเมื่อขนาดขยายใหญ่ขึ้น

นี่คือรหัส matlab เพื่อช่วยสาธิต

n=2000;
N=1000;
p=.9;
A=double(rand(n,N)<p); 
x=sign(randn(N,1)); 
y=ones(N,1);
Ex_normSqAx = n*(N*p);  % E[ squared norm of A times random signs ]
Ex_normSqAy = n*(N*p)^2; % E[ squared norm of A times constant vector ]
normSqAx = norm(A*x)^2;
normSqAy = norm(A*y)^2;

— มาร์ค Borgerding
แหล่งที่มา