IIR ใดที่กรองโดยประมาณกับตัวกรอง Gaussian

ดังนั้นเมื่อไม่นานมานี้เองที่ Bessel ฟิลเตอร์ถึงแม้ว่าจะมีการระบุไว้ในประเภททั่วไปอื่น ๆ มันเป็นลูกบอลที่แปลก ๆ ที่อยู่ใน "คลาส" ที่แตกต่างกันและฉันพยายามเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับมัน

การตอบสนองขนาดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าแสดงถึงการตอบสนองโดเมนความถี่ในอุดมคติสำหรับย่านความถี่เปลี่ยนเป็นศูนย์และตัวหยุดหยุดมีการลดทอนไม่สิ้นสุด ในอีกทางหนึ่งการตอบสนองแบบเกาส์แสดงให้เห็นถึงการตอบสนองโดเมนเวลาที่เหมาะในการที่ไม่มี overshoots เกิดขึ้นในการตอบสนองแรงกระตุ้นและการตอบสนองขั้นตอน การตอบสนองจำนวนมากที่เกิดขึ้นในทางปฏิบัติเป็นการประมาณค่ากับ^{แหล่งข้อมูล}อุดมคติเหล่านี้

ดังนั้น ตัวกรอง brickwallจึงสามารถสร้างด้วยฟังก์ชัน sinc และมีคุณสมบัติโดเมนความถี่เหล่านี้:

• passband แบน
• ศูนย์หยุด
• อัตราการหมุนไม่สิ้นสุด / ไม่มีแบนด์การเปลี่ยนแปลง

มันไม่ได้เป็นสาเหตุและไม่สามารถปรับเปลี่ยนได้เนื่องจากหางไม่มีที่สิ้นสุดในทั้งสองทิศทาง มันถูกประมาณโดยตัวกรอง IIR เหล่านี้พร้อมการปรับปรุงโดยประมาณเมื่อคำสั่งซื้อเพิ่มขึ้น:

• บัตเตอร์เวิร์ ธ (passband แบนสูงสุด)
• Chebyshev (อัตราการหมุนสูงสุดพร้อม Stopband หรือ passband ripple)
• รูปไข่ (อัตราการหมุนสูงสุดที่มีตัวหยุดและแถบระลอก passband)
• Legendre (อัตราการหมุนสูงสุดพร้อม passband แบบ monotonic)

เสียนกรองเป็นบิดที่มีฟังก์ชั่นเสียนและมีคุณสมบัติในโดเมนเวลาเหล่านี้:

• ไม่มีเลยเลยเลย
• เวลาขึ้นและตกที่น้อยที่สุด
• ความล่าช้าของกลุ่มน้อยที่สุด

มันไม่สามารถปรับเปลี่ยนได้ด้วยเหตุผลเดียวกับฟังก์ชั่น sinc และสามารถประมาณได้โดยตัวกรอง IIR เหล่านี้อย่างใกล้ชิดยิ่งขึ้นเมื่อมีการสั่งซื้อเพิ่มขึ้น:

• Bessel (การหน่วงกลุ่มสูงสุดแบน) ^{ตาม1และ2}

$e^{-{1 \over 2}(\pi \omega)^2}$

ดังนั้นคำถามของฉันคือ:

ทุกอย่างถูกต้องหรือไม่ ถ้าเป็นเช่นนั้นมีตัวกรอง IIR อื่น ๆ ที่ใกล้เคียงกับ Gaussian หรือไม่? สิ่งที่พวกเขาเหมาะสำหรับ อาจเป็นวิธีหนึ่งที่ลดการทำเกินขนาดหรือไม่

หากคุณค้นหา "IIR Gaussian" คุณสามารถค้นหาบางสิ่งได้ (Deriche? van Vliet?) แต่ฉันไม่รู้ว่าพวกมันเหมือนกับ Bessel จริงหรือไม่หากพวกเขาเพิ่มประสิทธิภาพสำหรับคุณสมบัติอื่น ๆ เป็นต้น

ตัวกรอง Dericheและvan Vlietคือการวิเคราะห์พฤติกรรม ในทั้งสองกรณีพวกเขาเลือกที่ตั้งของเสาและศูนย์เพื่อลดความแตกต่าง RMS หรือความแตกต่างสูงสุดของการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของตัวกรองจาก Gaussian

ตัวกรองทั้งสองเป็นคู่สาเหตุเชิงป้องกัน ดังนั้นฉันคิดว่าพวกเขาไม่มีข้อผิดพลาดของเฟสหรือความล่าช้าของกลุ่ม แต่คุณต้องสามารถเรียกใช้ข้อมูลย้อนหลังและต่อไปได้ สิ่งนี้ทำให้พวกเขาได้รับความนิยมในการประมวลผลภาพ แต่อาจ จำกัด การบังคับใช้ในที่อื่น

การที่พวกเขาเป็นฮิวริสติกนั้นเป็นหลักฐานจากความมั่งคั่งของเอกสารที่ปรับแต่งพวกเขา ตัวอย่างเช่นการค้นหาของ google (ในขณะที่ฉันกำลังมองหาลิงก์ไปยังกระดาษ Deriche) เปิดใช้งานสิ่งนี้ที่พยายามที่จะแก้ปัญหาที่ตัวกรอง Deriche ที่มาของ gaussian ไม่ได้มีการตอบสนอง 0 DC นอกจากนี้ยังมีบางประเด็นที่น่าสนใจเกี่ยวกับการเริ่มต้นเงื่อนไขขอบเขตได้อย่างถูกต้อง

ฉันได้พบภาพรวมต่อไปนี้เป็นแหล่งข้อมูลที่ดี: Dave Hale, Recursive Gaussian , lters , Colorado School of Mines Centre สำหรับ Wave Phenomena รายงาน CWP-546

ฉันคิดว่าคุณให้บทสรุปที่ดีเกี่ยวกับโซลูชันการวิเคราะห์ที่มีอยู่สำหรับตัวกรอง IIR แบบไม่ต่อเนื่อง แต่ฉันจะเพิ่มตัวกรอง Bessel ในรายการตัวกรองโดยประมาณลักษณะตัวกรองความถี่ที่เลือกในอุดมคติ การตอบสนองต่อขนาดของมันไม่ได้แสดงให้เห็นถึงการเปลี่ยนแปลงที่คมชัดเหมือนกับตัวกรองประเภทอื่น ๆ ของคำสั่งซื้อเดียวกัน แต่นี่คือราคาที่คุณจ่ายสำหรับเฟสเชิงเส้นเกือบใน passband ดังนั้นฟิลเตอร์ Bessel จึงเป็นการประนีประนอมระหว่างการตอบสนองต่อขนาดที่เลือกความถี่และการตอบสนองที่ดี

สำหรับการประมาณตัวกรอง Gaussian ด้วยตัวกรอง IIR ฉันไม่ทราบวิธีการวิเคราะห์ใด ๆ นอกเหนือจากตัวกรอง Bessel ที่คุณกล่าวถึง แต่โปรดทราบว่าตัวกรอง Bessel ไม่ได้หมายถึงตัวกรอง Gaussian โดยประมาณดังนั้นฉันไม่แน่ใจว่ามันดีเพียงใดในการประมาณตัวกรองดังกล่าว หากคุณต้องการตัวกรอง IIR สำหรับจุดประสงค์นี้ฉันขอแนะนำให้คุณใช้ตัวกรองแบบเกาส์ประมาณตัวเลข มีหลายวิธีให้เลือก

คุณสามารถลองประมาณตัวกรอง Gaussian ในโดเมนความถี่ ปัญหาคือคุณต้องตัดสินใจเกี่ยวกับการตอบสนองระยะที่ต้องการ การประมาณขนาดที่บริสุทธิ์ด้วยการตอบสนองเฟสต่ำสุดน่าจะส่งผลให้คุณสมบัติโดเมนเวลาต่ำมาก หากคุณระบุเฟสที่ต้องการเชิงเส้นคุณจะได้รับปัญหาการประมาณที่ซับซ้อน (เนื่องจากคุณประมาณการตอบสนองความถี่ที่ซับซ้อนด้วยขนาดและเฟส) แม้ว่าปัญหาการประมาณเช่นนี้จะแก้ไขได้ยาก แต่ก็มีวิธีการต่าง ๆ ในวรรณคดี

วิธีที่ง่ายและน่าจะดีกว่าคือการประมาณตัวกรอง Gaussian ในโดเมนเวลา วิธีการของ Prony จะเป็นจุดเริ่มต้นที่ดี

โปรดทราบว่าสิ่งเหล่านี้เป็นเพียงความคิดของฉันในหัวข้อ ฉันไม่ได้พยายามออกแบบตัวกรองเกาส์ IIR เอง จริง ๆ แล้วฉันจะไปสำหรับการใช้งาน FIR เว้นแต่จะมีเหตุผลที่ดีมากกับมัน

แก้ไข:ข้อสังเกตเพิ่มเติมอีกสองสามข้อเกี่ยวกับคำถามว่าตัวกรอง Bessel มีความใกล้เคียงกับแบบเกาส์หรือไม่ ฉันไม่ทราบเกณฑ์ข้อผิดพลาดที่มีความหมายใด ๆ ซึ่งตัวกรอง Bessel ย่อเล็กสุดในการประมาณตัวกรอง Gaussian ฉันยินดีที่จะเรียนรู้เกี่ยวกับมันแม้ว่า ผู้คนอาจอ้างว่าการตอบสนองแบบแรงกระตุ้นของตัวกรอง Bessel มีลักษณะคล้ายกับ Gaussian หรือว่าการตอบสนองความถี่คล้ายกับแบบเกาส์เซียน แต่ฉันยังไม่เคยเห็นหลักฐานใด ๆ ที่ Bessel ตัวกรองประมาณ Gaussian ในแง่ใด ๆ ศูนย์ขณะที่ลำดับตัวกรองเพิ่มขึ้น ฉันไม่ปฏิเสธว่ามันคล้ายกับ Gaussian มากกว่าตัวกรองมาตรฐานอื่น ๆ (Butterworth, Chebyshev ฯลฯ ) แต่สิ่งนี้ไม่สำคัญสำหรับคำถาม

ดูด้านล่างสี่แปลงของการตอบสนองแรงกระตุ้นของตัวกรอง Bessel (คำสั่ง 5, 10, 15, 20), ออกแบบใน Octave (ฟังก์ชั่น besself) อย่างที่คุณเห็นเสียงกริ่งในหางไม่ลดลงตามลำดับตัวกรองที่เพิ่มขึ้นและฉันไม่เห็นว่าตัวกรองเหล่านี้มีลักษณะใกล้เคียงแบบเกาส์เซียนอย่างไรและถ้าเป็นเช่นนั้น อย่างไรก็ตามถ้าใครสามารถสอนฉันเกี่ยวกับเรื่องนี้ฉันจะมีความสุขมากกว่า