วิธีการหาค่าประมาณที่ราบรื่นของอนุพันธ์และอนุพันธ์อันดับสองของสัญญาณ

10

ฉันมีตัวอย่างสัญญาณที่ $\Delta t$ : $f_i(t_i=i\Delta t)$ ที่ไหน $i = 0,\ldots,n-1$ . ฉันต้องการหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งและสองของสัญญาณ: $f'(t)$ และ $f''(t)$ .

ความคิดแรกของฉันคือการประเมินอนุพันธ์โดยความแตกต่างกลาง:

\begin{aligned} f^{'} (t_{i}) & = \frac{f (t_{i + 1}) - f (t_{i - 1})}{2 Δ t} \\ f^{″} (t_{i}) & = \frac{f (t_{i + 1}) - 2 f (t_{i}) + f (t_{i - 1})}{(Δ t)^{2}} \end{aligned}

$\begin{align} f'(t_{i})&=\frac{f(t_{i+1})-f(t_{i-1})}{2\Delta t}\\ f''(t_{i})&=\frac{f(t_{i+1})-2f(t_{i})+f(t_{i-1})}{(\Delta t)^2} \end{align}$

แต่สัญญาณอาจมีจำนวนมากของเสียงความถี่สูงที่อาจก่อให้เกิดความผันผวนอย่างรวดเร็วในและ'' $f'$ $f''$

สิ่งที่จะเป็นวิธีที่ดีที่สุดที่จะหา "เรียบ" ประมาณการของและ ? $f'$ $f''$

filters smoothing

— แอนดี้
แหล่งที่มา

6

มันอาจขึ้นอยู่กับข้อมูลของคุณ เพิ่งทราบว่าเนื่องจากความแตกต่างเป็นการดำเนินการเชิงเส้นหากคุณเลือกตัวกรองเชิงเส้นใด ๆ เพื่อให้เรียบ f 'และ f' 'มันก็เท่ากับการทำให้เรียบ f โดยใช้ตัวกรองเดียวกันนั้นแล้วใช้อนุพันธ์ของมัน

คุณสามารถโพสต์ภาพบางส่วนหรือข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับสัญญาณที่คุณต้องการแยกความแตกต่างได้หรือไม่? อาจเป็นสิ่งที่คุณกำลังมองหาคือตัวกรอง lowpass บางชนิดเพื่อให้สัญญาณราบรื่นขึ้น ตัวเลือกที่เรียบง่ายจริง ๆ สองสามอย่างรวมถึงตัวกรองแบบเรียกซ้ำขั้วเดียวเช่นหรือตัวกรองของฮัน สัญญาณด้วยหน้าต่าง Hann ตัวเลือกของตัวกรอง Hann นั้นดีเพราะมันเป็นเฟสเชิงเส้น หากคุณทราบช่วงความถี่ที่คุณสนใจคุณสามารถออกแบบตัวกรองความถี่ต่ำที่เหมาะสมในโดเมนความถี่ได้ $y(n) = a \cdot x(n) + (1-a) \cdot y(n-1)$

— schnarf
แหล่งที่มา

ขอบคุณ schnarf! ดังนั้นเนื่องจากการปรับให้เรียบตามด้วยความแตกต่างเท่ากับความแตกต่างตามด้วยการปรับให้เรียบ ฉันอาจทำให้สัญญาณดั้งเดิมราบรื่นขึ้นด้วยการสนทนากับหน้าต่างของ Hann หรือไม่? วิธีการเกี่ยวกับวิธีที่ง่ายกว่าในการใช้ความแตกต่างอัน จำกัด ในช่วงที่มีขนาดใหญ่กว่า: f '(t) ~ = [f (t + 10 * Dt) -f (t-10 * Dt)] / (20 * Dt) ให้การประมาณที่ค่อนข้างดีของอนุพันธ์ที่เรียบ?

— Andy

4

Savitzky-Golayกรองให้ประมาณการที่ราบรื่นของสัญญาณและไม่กี่อนุพันธ์แรก

การดำเนิน MATLAB สามารถพบได้ที่นี่

— eglaser
แหล่งที่มา