ความถี่ตัดของตัวกรองเฉลี่ยเคลื่อนที่คืออะไร

ฉันต้องการออกแบบตัวกรองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ซึ่งมีความถี่การตัดที่ 7.8 Hz ฉันเคยใช้ตัวกรองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่มาก่อน แต่เท่าที่ฉันทราบพารามิเตอร์เดียวที่สามารถป้อนได้คือจำนวนคะแนนที่ต้องเฉลี่ย ... สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับความถี่ที่ถูกตัดออกได้อย่างไร

ค่าผกผันของ 7.8 Hz คือ ~ 130 ms และฉันกำลังทำงานกับข้อมูลที่เก็บตัวอย่างที่ 1000 Hz นี่หมายความว่าฉันควรใช้ขนาดตัวกรองเฉลี่ยเคลื่อนที่ของตัวอย่าง 130 ตัวอย่างหรือมีอย่างอื่นที่ฉันหายไปหรือไม่

ตัวกรองค่าเฉลี่ยเคลื่อนที่ (บางครั้งเรียกว่า colloquially เป็นตัวกรองแบบ boxcar ) มีการตอบสนองแบบแรงกระตุ้นเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า:

$$h[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} \delta[n-k]$$

หรือระบุไว้แตกต่างกัน:

$$h[n] = \begin{cases} \frac{1}{N}, && 0 \le n < N \\ 0, && \text{otherwise} \end{cases}$$

โปรดจำไว้ว่าการตอบสนองความถี่ของระบบไม่ต่อเนื่องเท่ากับการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องของการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของมันเราสามารถคำนวณได้ดังนี้:

$$\begin{align} H(\omega) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \end{align}$$

เพื่อทำให้สิ่งนี้ง่ายขึ้นเราสามารถใช้สูตรที่รู้จักสำหรับผลรวมของเงื่อนไขแรกของชุดเรขาคณิต$N$ :

$$\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} = \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}}$$

สิ่งที่เราสนใจมากที่สุดสำหรับกรณีของคุณคือการตอบสนองต่อขนาดของตัวกรอง. ด้วยการปรับแต่งอย่างง่าย ๆ สองสามข้อเราสามารถทำได้ในรูปแบบที่ง่ายต่อการเข้าใจ:$|H(\omega)|$

$$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{-j\omega n} \\ &= \frac{1}{N} \frac{1-e^{-j \omega N}}{1 - e^{-j\omega}} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{e^{j\omega N/2} - e^{-j\omega N/2}}{e^{j\omega /2} - e^{-j\omega /2}} \end{align}$$

สิ่งนี้อาจดูไม่เข้าใจง่ายกว่านี้ อย่างไรก็ตามเนื่องจากตัวตนของออยเลอร์จำได้ว่า:

$$\sin(\omega) = \frac{e^{j\omega} - e^{-j\omega}}{j2}$$

ดังนั้นเราสามารถเขียนข้างต้นเป็น:

$$\begin{align} H(\omega) &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{j2 \sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{j2 \sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \\ &= \frac{1}{N} \frac{e^{-j \omega N/2}}{e^{-j \omega/2}} \frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)} \end{align}$$

ดังที่ฉันได้กล่าวไปแล้วสิ่งที่คุณกังวลจริงๆคือขนาดของการตอบสนองความถี่ ดังนั้นเราสามารถหาขนาดของข้างบนเพื่อทำให้มันง่ายขึ้น:

$$|H(\omega)| = \frac{1}{N} \left|\frac{\sin\left(\frac{\omega N}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}\right|$$

$|e^{j\omega}| = 1$$\omega$$|xy| = |x||y|$$x$$y$

ฟังก์ชั่นที่เกิดในวงเล็บสำคัญคือรูปแบบของการเป็นDirichlet เคอร์เนล บางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันsinc เป็นครั้งคราวเพราะคล้ายกับฟังก์ชัน sincบ้างในลักษณะที่ปรากฏ แต่เป็นระยะแทน

อย่างไรก็ตามเนื่องจากคำจำกัดความของความถี่ cutoff ค่อนข้าง underspecified (-3 dB point? -6 dB point? sidelobe แรก? null) คุณสามารถใช้สมการข้างต้นเพื่อแก้ปัญหาที่คุณต้องการ โดยเฉพาะคุณสามารถทำสิ่งต่อไปนี้:

1. $|H(\omega)|$

2. $\omega$$\omega = 2\pi \frac{f}{f_s}$$f_s$

3. $N$

$N$$F_{co}$$N >= 2$$F=f/fs$

$F_{co} = \frac {0.442947} {\sqrt{N^2-1}}$

สิ่งที่ตรงกันข้ามกับสิ่งนี้คือ

$N = \frac {\sqrt{0.196202 + F_{co}^2}}{F_{co}}$

สูตรนี้ถูกต้องแบบไม่มีสัญญาณสำหรับ N ขนาดใหญ่และมีข้อผิดพลาดประมาณ 2% สำหรับ N = 2 และน้อยกว่า 0.5% สำหรับ N> = 4

$f=0$

$MA(\Omega) = \frac {Sin(\Omega∗N/2)}{Sin(\Omega/2)}$

$MA(\Omega) \approx 1+(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

$MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}$$\Omega$

$\alpha=0.95264$

$MA(\Omega) \approx 1+0.907523(\frac{1}{24}-\frac{N^2}{24})\Omega^2$

$MA(\Omega)-\frac{\sqrt2}{2}=0$$2\pi F_{co}=\Omega_{co}$

ทั้งหมดข้างต้นเกี่ยวข้องกับ -3dB ตัดความถี่เรื่องของการโพสต์นี้

บางครั้งมันเป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะได้รับข้อมูลการลดทอนใน stop-band ซึ่งเทียบได้กับลำดับที่ 1 ของ IIR Low Pass Filter (ขั้วเดี่ยว LPF) ที่ได้รับความถี่ตัด -3dB (เช่น LPF นั้นเรียกว่า integrator แบบรั่ว) มีเสาไม่ตรง DC แต่ใกล้กับมัน)

$F=k/N$$1/f$$1/f$

$H_{IIR} = \frac{1-Exp(-\Omega_{co})}{1-Exp(-\Omega_{co})*Exp(j \Omega)}$

หากต้องการได้รับตัวกรอง MA ที่มีความสามารถในการกรองสัญญาณรบกวนที่คล้ายกันกับตัวกรอง IIR นี้และตรงกับ 3dB ที่ตัดความถี่ให้เท่ากันเมื่อเปรียบเทียบสเปกตรัมทั้งสองเขาจะตระหนักได้ว่าแถบหยุดคลื่นของตัวกรอง MA สิ้นสุดลง ~ 3dB ด้านล่างของตัวกรอง IIR

เพื่อที่จะได้ระลอกคลื่นวงหยุดเดียวกัน (เช่นการลดทอนสัญญาณรบกวนเสียงเดียวกัน) เป็นตัวกรอง IIR สูตรสามารถแก้ไขได้ดังต่อไปนี้:

$F_{co,IIR} = \frac {0.32} {\sqrt{N^2-1}}$

$N = \frac {\sqrt{0.1024 + F_{co,IIR}^2}}{F_{co,IIR}}$