ทำไม FRACTRAN ถึงสมบูรณ์

ฉันพยายาม google เพื่อขอคำอธิบาย แต่ลิงก์ส่วนใหญ่พูดเพียงสิ่งเดียวเช่น "FRACTRAN กำลังทำให้สมบูรณ์ตัวอย่างเช่นลองดูที่การคูณ"

ฉันจำได้ว่าเห็นโพสต์ฟอรัม xkcd บอกว่าFRACTRANช่วยให้โปสเตอร์เข้าใจทัวริงครบถ้วน ฉันกำลังมองหาคำอธิบายที่เข้าใจง่ายว่าเหตุใด esolang นี้จึงทัวริงสมบูรณ์เพราะมันไม่ชัดเจนมากนักในการดูกลศาสตร์ภาษา

เพื่อให้ภาษาทัวริงสมบูรณ์มีความจำเป็นต้องมี:

1. วนรอบเงื่อนไข
2. จำนวนตัวแปรโดยพลการ

FRACTRAN เป็นภาษาที่ประกอบด้วยชุดของเศษส่วนที่เก็บข้อมูลไว้ในเลขยกกำลังของจำนวนเฉพาะ

ให้บอกว่าคุณต้องการเพิ่มตัวเลขสองตัว: 2 ^a 3 ^bกลายเป็น 5 ^ab

455 11 1 3 11 1
---, -, -, -, -, -
 33 13 11 7 2 3

นั่นเป็นโปรแกรม FRACTRAN สำหรับการเปลี่ยนแปลงข้างต้น

คุณเริ่มด้วยตัวเลขเช่น 72 (2 ³ 3 ² ) โปรแกรมจะ 'ไปข้างหน้า' จนกว่าจะพบจำนวนที่เมื่อคูณด้วยคำสั่งเป็นจำนวนเต็มอื่น (ไม่เหลือส่วนที่เหลือ)

7211/2จะวิ่งไปข้างหน้าจนกว่าจะได้รับการ จากนั้นจะหารจำนวนด้วย2และคูณด้วย11(กำลังใน 11 คือตัวแปร) 396นี้จะช่วยให้ 396หารด้วย 33 (ลดกำลัง 3 และ 11) และคูณด้วย 455 (เพิ่มตัวแปร 5, 7 และ 13) และอื่น ๆ คำอธิบายแบบเต็มของโปรแกรมนี้และตารางสถานะของมันสามารถอ่านได้ที่หน้าFRACTRANวิกิพีเดียรวมถึงภาพเคลื่อนไหว gif ที่ดีจริงๆของโปรแกรมข้างต้น

วัสดุ FRACTRAN อื่น ๆ ในการแลกเปลี่ยนแบบสแต็คที่สัมผัสกับความสมบูรณ์แบบของทัวริงสามารถดูได้ที่: แปลง Fractran เป็น Brainfuck (ตกลงนั่นเป็นการใช้เวลาที่มีประสิทธิผลจริงๆ )

เหตุผลที่ Fractran นั้นเป็นทัวริงสมบูรณ์เพราะมันจำลองเครื่องลงทะเบียน การแยกตัวประกอบเฉพาะของจำนวนเก็บเนื้อหาของรีจิสเตอร์ในขณะที่การหารและการคูณเป็นวิธีการบวกและลบจากรีจิสเตอร์แบบมีเงื่อนไข

ส่วนหนึ่งของกลอุบายที่นี่ (และสิ่งนี้เริ่มหลงทางในทางทฤษฎี) คือเบื้องหลังเครื่องนี้เป็นเครื่องลงทะเบียน Minskyที่พิสูจน์ว่าเทป (โปรแกรม) บางเครื่องเป็นเครื่องทัวริงหากเทปถูกแสดงเป็นหมายเลขGödelซึ่งเป็น หมายเลข FRACTRAN คืออะไร (จากหน้าวิกิพีเดียที่เชื่อมโยง):

Gödelใช้ระบบตามการแยกตัวประกอบเฉพาะ ครั้งแรกที่เขาได้รับมอบหมายจำนวนธรรมชาติที่ไม่ซ้ำกันให้กับแต่ละสัญลักษณ์พื้นฐานในภาษาทางการของเลขคณิตซึ่งเขากำลังเผชิญอยู่

ดังนั้นเราจึงมีลูปแบบมีเงื่อนไขตัวแปรที่เก็บไว้เป็นตัวเลขGödelเรามีเครื่องทัวริง

การอ่านสนุก ๆ ที่สัมผัสกับ Collatz เหมือนธรรมชาติของ FRACTRAN สามารถอ่านได้ที่Can't Decide? มัว! ที่เกี่ยวข้องกับการคาดคะเน Collatz กับ FRACTRAN และปัญหาการหยุดทำงาน

FRACTRAN เป็นเรื่องยากที่จะเอาหัวไปรอบ ๆ

พิจารณาโปรแกรมที่ชอบ:

LABEL: start
    block1
    block2
    block3
    ...
END

ในนี้แต่ละบล็อกมีรูปแบบ:

IF(registers X >= a, Y >= b)  # or any combination of registers
THEN
    X -= a
    Y -= b

    I += n
    J += m

    goto start

ประโยคแรกจากโปรแกรมการคูณด้านบน:

455
---
 33

จะเขียนในรูปแบบนี้เป็น:

IF(register `3` >= 1 && `11` >= 1)
THEN
     `3` -= 1
    `11` -= 1

     `5` += 1
     `7` += 1
    `13` += 1

    goto start

และด้วยเหตุนี้คุณสามารถเห็นการจัดเก็บข้อมูลและโครงสร้างลูปที่จำเป็นสำหรับทัวริงครบถ้วน มันเป็นพื้นฐาน แต่มันมีอยู่และทำงานเป็นเครื่องลงทะเบียนง่าย ๆ - แต่นั่นคือทั้งหมดที่คุณต้องทำ

ยังไม่มั่นใจใช่ไหม

ส่วนใหญ่ยืมมาจากการบรรยายโดย Dimitri Hendricks ในแบบจำลองการคำนวณ

โปรแกรมนี้ใช้โปรแกรมที่ง่ายมาก(2/3)ซึ่งเป็นแอดเดอร์ (2 ^a 3 ^b -> 3 ^{a + b} ) แต่มันก็เป็นการทำลายล้าง - ค่าใน 2 จะถูกล้างออกเป็นส่วนหนึ่งของกระบวนการ

ให้เขียน FRACTRAN ในระดับที่สูงขึ้นซึ่งทำให้ง่ายต่อการไม่ทำลายดังกล่าว

โปรแกรมต้นฉบับสามารถคิดเป็น:

   2
α: - →α
   3

ใน F ₂เราสามารถระบุ 'ฟังก์ชัน' ของการเรียงลำดับ

   10 1
α: - →α, - →β
    3 1

   3
β: - →β
   5 

ในการแปลงโปรแกรม F ₂ (P) เป็นโปรแกรม FRACTRAN มาตรฐานโปรแกรมหนึ่งทำ:

1. ล้าง P ของลูปของความยาว 1
2. แทนที่ตัวอักษรกรีก (ฟังก์ชั่น) ด้วยตัวเลขสดใหม่
3. แทนที่การเปลี่ยน:

   คนเก่ง
p: - → q, - → r, - -> s, ...
   bdf

กลายเป็น:

aq cr es
-, -, -, ...
bp dp fp

สิ่งนี้ได้ทำคือใช้ primes, q, r และ s เพื่อเก็บสถานะของโปรแกรม

แล้วเราก็มีเครื่องลงทะเบียน ... มันมีจำนวนทะเบียนที่เก็บจำนวนมากโดยพลการและคำแนะนำสองวิธี:

• inc (x _i , m) - เพิ่มการลงทะเบียน i และไปที่บรรทัด m
• jzdec (x _i , m ₁ , m ₂ ) - ถ้า register i คือ 0 ไปที่ line m, ลดลง i อื่นและไปที่ line m2

เครื่องลงทะเบียนนี้แสดงว่าทัวริงสมบูรณ์

จากนั้นจะแสดงกระบวนการผ่านการรวบรวมหลายโปรแกรมในเครื่องลงทะเบียนเป็นโปรแกรม FRACTRAN ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของกระบวนการเชิงกล

โดยทั่วไป:

                       P (i)
inc (x (i), m) = ---- → m
                        1

                        1 1
jzdec (x (i), m1, m2) = ---- → m2, - → m1
                       p (i) 1

และเนื่องจากความเท่าเทียมกันระหว่างคอมพิวเตอร์ทั้งสองรุ่น FRACTRAN จึงได้รับการทำให้สมบูรณ์

Btw ถ้าคุณอยากจะปลิวไปอ่านCode Golf: Fractranที่บางคนเขียนโปรแกรม FRACTRAN เพื่อเรียกใช้โปรแกรม FRACTRAN อีกโปรแกรมหนึ่ง