เหตุใดจึงใช้ตัวเลขทศนิยมในวิทยาศาสตร์ / วิศวกรรม

33

ในขณะที่ตรวจสอบความถูกต้องของตัวเลขจำนวนจุดลอยตัวฉันเคยเห็นข้อความคล้าย ๆ

" โฟลตและดับเบิลคือ ( ออกแบบมาสำหรับ / ใช้บ่อยใน ) วิศวกรรมและการคำนวณทางวิทยาศาสตร์ "

จากความเข้าใจของฉันความแข็งแกร่งของการลอยตัวและการเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าคือจำนวนหน่วยความจำที่ใช้สำหรับความแม่นยำ (ดี แต่ไม่สมบูรณ์แบบ)

ฉันรู้สึกว่าฉันเกือบจะได้รับความเข้าใจจากคำตอบนี้

"ตัวเลขจุดลอยตัวช่วยให้คุณจำลองปริมาณอย่างต่อเนื่อง"

ฉันยังไม่มั่นใจว่าฉันเข้าใจ วิศวกรรมและวิทยาศาสตร์ทั้งสองดูเหมือนสนามที่คุณต้องการผลลัพธ์ที่แม่นยำจากการคำนวณของคุณซึ่งจากความเข้าใจของฉันจุดลอยตัวไม่ได้ให้ ฉันยังไม่แน่ใจว่าฉันทำตามสิ่งที่ "ปริมาณต่อเนื่อง" คืออะไรกันแน่

ใครบางคนสามารถขยายคำอธิบายนี้และอาจยกตัวอย่าง?

floating-point numeric-precision

— DoubleDouble
แหล่งที่มา

2

ดูfloating-point-gui.de

— Basile Starynkevitch

47

Engineering and Science both sound like fields where you would want precise results from your calculations, which, from my understanding, floating points do not give.

ทั้งในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมคุณสนใจเฉพาะความแม่นยำจนถึงจุดหนึ่ง การใช้ความแม่นยำไม่สิ้นสุดสำหรับการคำนวณทุกครั้งมักมีราคาแพงโดยไม่จำเป็น สิ่งที่กำหนดจุดลอยตัวนอกเหนือจากจุดคงที่คือคุณไม่จำเป็นต้องกำหนดจำนวนทศนิยม - คุณสามารถมีปริมาณน้อยมากที่มีทศนิยมจำนวนมากหรือจำนวนมากที่มีความแม่นยำ จำกัด

— Doval

24

เพื่อเพิ่มไปยังจุดที่กล่าวถึงข้างต้นคุณไม่เพียง แต่ไม่สนใจความแม่นยำเกินกว่าจุดที่กำหนดคุณไม่สามารถได้รับผลลัพธ์ที่แม่นยำโดยพลการเนื่องจากอินพุตของคุณจำนวนมากเป็นปริมาณที่วัดได้ซึ่งมีข้อผิดพลาดบางประการ

2

นอกจากนี้ยังโกรธแค้นชี้ให้เห็นว่ามันไม่ได้ระบุว่าข้อผิดพลาดในการปัดเศษจะสะสมต่อไปเช่นกัน ขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณทำและวิธีที่คุณทำ มีฟิลด์ทั้งหมดที่อุทิศให้กับสิ่งนั้น

— Doval

10

จุดลอยไม่ใช่ "ความแม่นยำแบบสุ่ม" ข้อผิดพลาดสำหรับการดำเนินการต่าง ๆ สามารถคาดเดาได้และเป็นที่รู้จักและข้อผิดพลาดสำหรับอัลกอริทึมสามารถทำได้ หากพวกเขาอยู่ในระดับต่ำพอ (และโดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าข้อผิดพลาดไปข้างหลังของคุณมีขนาดเล็กกว่าความไม่แน่นอนในตัวแปรอินพุตของคุณ) คุณสามารถมั่นใจได้ว่าผลลัพธ์ของคุณดี (หรืออย่างน้อยก็ว่าปัญหาใด ๆ ข้อผิดพลาดจุด)

— ฮอบส์

77

การคำนวณในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมต้องการการแลกเปลี่ยนในความแม่นยำช่วงและความเร็ว เลขคณิตของจุดคงที่ให้ความแม่นยำและความเร็วที่เหมาะสม แต่มันเสียสละช่วง BigNum ห้องสมุดที่มีความแม่นยำตามอำเภอใจชนะในระยะและความแม่นยำ แต่เสียความเร็ว

ประเด็นสำคัญของเรื่องนี้ก็คือการคำนวณทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมส่วนใหญ่ต้องการความเร็วสูงและมีขนาดใหญ่ แต่มีความต้องการความแม่นยำในระดับปานกลาง ค่าคงที่ทางกายภาพที่กำหนดอย่างดีที่สุดเป็นที่รู้จักกันเพียงประมาณ 13 หลักและค่าจำนวนมากเป็นที่รู้จักกันด้วยความมั่นใจน้อยกว่ามาก การมีความแม่นยำมากกว่า 13 หลักในคอมพิวเตอร์จะไม่ช่วย แมลงวันในครีมคือลำดับของการดำเนินการจุดลอยตัวสามารถค่อยๆสูญเสียความแม่นยำ ขนมปังและเนยของการวิเคราะห์เชิงตัวเลขคือการหาว่าปัญหาใดที่มีความอ่อนไหวต่อสิ่งนี้เป็นพิเศษและการหาวิธีที่ชาญฉลาดในการจัดลำดับของการดำเนินการใหม่เพื่อลดปัญหา

ข้อยกเว้นสำหรับเรื่องนี้คือทฤษฎีตัวเลขในวิชาคณิตศาสตร์ที่ต้องการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลขที่มีหลักล้าน แต่มีความแม่นยำแน่นอน นักทฤษฎีจำนวนมากมักใช้ห้องสมุด BigNum และพวกเขาใช้เวลาในการคำนวณนาน

— Charles E. Grant
แหล่งที่มา

2

คำตอบที่ดี. ในขณะที่ฟังก์ชั่นพื้นฐานอาจต่อเนื่องกันอย่างสมบูรณ์แบบซึ่งจะต้องใช้ความแม่นยำที่สมบูรณ์แบบในแบบจำลอง แต่ความจริงก็คือทุกอย่างในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมเป็นการประมาณ เราควรจะมีการประมาณค่าที่ดีมีประโยชน์และบรรลุผลมากกว่าความแม่นยำที่ไม่สิ้นสุดซึ่งเราจะรอตลอดไปเพื่อให้การดำเนินการหลายอย่างเสร็จสิ้น

— Jonathan Eunice

4

@JonathanEunice คุณไม่สามารถสร้างแบบจำลองความเป็นจริงได้ อินพุตสำหรับโมเดลมาจากการวัดและคุณอาจไม่สามารถวัดสิ่งต่าง ๆ ได้อย่างแม่นยำจนจำนวนจริงดั้งเดิมในคอมพิวเตอร์ / ซอฟต์แวร์สมัยใหม่ (ในเวลานั้น) จะ จำกัด มัน กล่าวอีกนัยหนึ่งคุณสามารถมีโมเดลซอฟต์แวร์หรือคณิตศาสตร์ที่สมบูรณ์แบบได้ เช่นคำนวณปริมาตรของกล่อง a*b*cสิ่งง่าย ๆ แต่คุณต้องวัดขนาดที่คุณไม่สามารถทำได้ด้วยความแน่นอนอย่างสมบูรณ์ดังนั้นคุณไม่จำเป็นต้องมีความแม่นยำอย่างไม่มีที่สิ้นสุดในการคำนวณอย่างไรก็ตามก็เพียงพอที่จะมีข้อผิดพลาดในการวัด

— luk32

2

@ luk32 เราเห็นด้วยอย่างรุนแรงเกี่ยวกับประเด็นเหล่านั้นส่วนใหญ่ เราสามารถสร้างแบบจำลองบางสิ่งอย่างแน่นอน (ปริมาตรของทรงกลมเช่น) แต่ไม่สามารถวัดได้อย่างแน่นอน และความจริงก็ไม่เหมาะกับโมเดลที่สมบูรณ์แบบ ดีกว่าที่จะได้รับค่า / โมเดลที่ไม่เป็นประโยชน์เล็กน้อยกว่ารอการวัดหรือการคำนวณที่สมบูรณ์แบบ - สิ่งที่จะอยู่ห่างออกไปหนึ่งก้าว

— Jonathan Eunice

2

“ ประเด็นสำคัญของเรื่องนี้ก็คือการคำนวณทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมส่วนใหญ่ต้องการความเร็วสูงและช่วงกว้างมาก” ถ้าฉันให้เวลานานคุณคงไม่สามารถคำนวณได้อย่างแน่นอนเพราะอัลกอริทึมในการคำนวณนั้นไม่เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวาง ประการแรกเราไม่สามารถแสดงตัวเลขได้อย่างแน่นอน นี่เป็นเพียงปัญหาที่เราไม่ทราบวิธีการแก้ไขไม่ได้อย่างรวดเร็วหรือช้า

— Michael Le Barbier Grünewald

@ MichaelGrünewaldเราไม่สามารถแสดงจำนวนจริงได้อย่างแน่นอน แต่เราสามารถแก้ปัญหาให้ใกล้พอที่เราจะสร้างโครงสร้างสูงสองพันฟุตระบุยีนใน DNA และพบดาวเทียมด้วยดาวหางหลังจากสองปี ในที่ว่าง. ในการถอดความแรนดี้นิวแมนนั้นอาจไม่แน่นอน แต่ก็ไม่เป็นไร ในความเป็นจริงเราสามารถเป็นตัวแทนปันส่วนอย่างแน่นอนโดยใช้ไลบรารีที่มีความแม่นยำตามอำเภอใจ (ขึ้นอยู่กับข้อ จำกัด ของหน่วยความจำ)

— Charles E. Grant

30

สิ่งที่ทางเลือกที่คุณนำเสนอ?

ปริมาณต่อเนื่องจะแสดงโดยใช้ตัวเลขจริงในวิชาคณิตศาสตร์ ไม่มีชนิดข้อมูลที่สามารถเข้ารหัสได้ทุกอย่างจำนวนจริงที่ (เพราะจำนวนเรียลนั้นนับไม่ได้) ดังนั้นนั่นหมายความว่าเราสามารถเลือกเซตย่อยของตัวเลขจริงที่เราสนใจมากที่สุดเท่านั้น

คุณสามารถเลือก reals ที่คำนวณได้ทั้งหมดซึ่งคล้ายกับระบบพีชคณิตของคอมพิวเตอร์ (CAS) ปัญหาคือมันไม่สามารถทำได้อย่างรวดเร็วเมื่อต้นไม้นิพจน์ของคุณขยายใหญ่ขึ้นเรื่อย ๆ มันช้ามาก: ลองแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์ขนาดใหญ่ในสัญลักษณ์ Mathematica และเปรียบเทียบกับการนำไปใช้แบบอิงดัชนีอื่น ๆ และคุณจะเห็นความแตกต่างของความเร็วอย่างมาก นอกจากนี้ในขณะที่Jörg W Mittag และ kasperd ได้ชี้ให้เห็น: คุณไม่มีการดำเนินงานที่เท่าเทียมกัน / เปรียบเทียบได้
คุณสามารถใช้จำนวนตรรกยะที่แน่นอน แต่มันไม่ได้ผลกับแอพพลิเคชั่นมากมายเพราะคุณจำเป็นต้องคำนวณสแควร์รูทหรือโคไซน์หรือลอการิทึมเป็นต้นนอกจากนี้ยังมีแนวโน้มที่การปันส่วนจะซับซ้อนมากขึ้นและต้องการพื้นที่มากขึ้นในการจัดเก็บ และเวลาในการประมวลผลเมื่อคุณทำการคำนวณมากขึ้นเรื่อย ๆ
คุณสามารถใช้ทศนิยมที่มีความแม่นยำโดยพลการ แต่ก็ยังมีบางสิ่งที่เรียบง่ายที่การหารไม่ได้ผลเพราะคุณได้รับตัวเลขที่ไม่ซ้ำกัน คุณยังสามารถพบเจอกับปัญหาของการเพิ่มความซับซ้อนในขณะที่คุณดำเนินการคล้ายกับจำนวนตรรกยะมากขึ้นแม้ว่าจะน้อยกว่าก็ตาม

ดังนั้นคุณจะถูกบังคับให้ใช้การประมาณในบางกรณีซึ่งเป็นสิ่งที่ตัวเลขจุดลอยตัวทำได้ดีที่สุด จำนวนจุดลอยตัวก็มีความกว้างคงที่ (ซึ่งแตกต่างจาก 3 ประเภทข้อมูลอื่น ๆ ที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้) ซึ่งป้องกันความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้นเมื่อคุณทำการคำนวณมากขึ้น

— Rufflewind
แหล่งที่มา

1

หนึ่งในคำตอบที่ดีที่สุดฉันมองข้ามมันก่อนที่จะเขียนของฉัน

— Michael Le Barbier Grünewald

8

นอกจากนี้ยังมีข้อเท็จจริงที่ไม่สะดวกเล็กน้อยที่คุณไม่สามารถบอกได้ว่าทั้งสอง reals ที่คำนวณได้มีค่าเท่ากันหรือไม่

— Jörg W Mittag

1

การใช้ reals ที่คำนวณได้ทั้งหมดจะไม่ประสบปัญหากับการเปรียบเทียบหรือไม่ ฉันค่อนข้างมั่นใจว่าคุณไม่สามารถเปรียบเทียบ reals ที่คำนวณได้เองโดยไม่ต้องแก้ปัญหาการหยุดชะงัก

— kasperd

@kasperd: ฉันคิดว่าจะขึ้นอยู่กับการวัดว่าการดำเนินงานแบบใดที่อนุญาตให้ใช้ในการคำนวณถึงแม้ว่าฉันไม่แน่ใจว่าชุดการคำนวณประเภทใดที่มีมากมายและยังรับประกันได้ว่าผลลัพธ์ใด ๆ ผลิตในจำนวน จำกัด ของการดำเนินการสามารถเปรียบเทียบในเวลา จำกัด ประเภทพีชคณิตเกือบจะเป็นไปตามเกณฑ์แน่นอน แต่ฉันไม่รู้ว่าสามารถเพิ่มฟังก์ชัน ln (x) และ exp (x) ได้หรือไม่และยังคงเป็นไปตามนั้น

— supercat

คุณสามารถรองรับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่มีความแม่นยำตามอำเภอใจ (เพิ่มคูณลบหาร) irrationals (เช่น ,2), transcendentals ที่รู้จักกันดี (เช่น Pi และ e) ฟังก์ชันตรีโกณฯ ฯลฯ โดยใช้เศษส่วนต่อเนื่อง ดูอัลกอริทึมของ Gosper ใน HAKMEM เมื่อเสร็จแล้วคุณสามารถทำการประเมินผลแบบขี้เกียจเพื่อรับค่าประมาณจุดลอยตัวกับความแม่นยำที่ต้องการ

— Paul Chernoch

14

ข้อเสนอของคุณเกี่ยวกับวิทยาศาสตร์ผิดวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์อื่น ๆ จากนั้นคณิตศาสตร์ไม่ทำงานกับผลลัพธ์ที่แม่นยำแน่นอน มันทำงานร่วมกับปัจจัยความแม่นยำที่สร้างขึ้นในจำนวนหลักที่คุณแสดง

คำสำคัญที่คุณต้องเข้าใจที่นี่คือ: ตัวเลขที่สำคัญตัวเลขที่สำคัญตัวเลขที่มีนัยสำคัญของตัวเลขคือตัวเลขเหล่านั้นที่มีความหมายซึ่งนำไปสู่ความแม่นยำ

ซึ่งโดยทั่วไปหมายความว่าหากฉันระบุว่ามีความยาว 12 เซนติเมตรมันอาจอยู่ระหว่าง 11,5 ถึง 12,5 เซนติเมตร หากฉันระบุว่ามีบางสิ่งบางอย่างยาว 12,00 เซนติเมตรมันอาจอยู่ระหว่าง 11,995 ถึง 12,005 เซนติเมตร

เช่นเดียวกับภาพประกอบถ้าคุณใช้เทปวัดและวัดห้องนั่งเล่นของคุณ แม้ว่าคุณจะพบว่ามันกว้าง 6 เมตร 25 เซนติเมตร แต่คุณรู้ว่าการวัดเทปของคุณไม่แม่นยำพอที่จะบอกอะไรเกี่ยวกับความแม่นยำของมิลลิเมตรและนาโนเมตร

— ปีเตอร์บี
แหล่งที่มา

@leftaroundabout คุณหมายถึงคณิตศาสตร์ (ในคณิตศาสตร์) ไม่ใช่วิทยาศาสตร์? ในหนังสือของฉันมันเป็น

— Pieter B

2

@PieterB: คณิตศาสตร์ไม่ใช่วิทยาศาสตร์ มันเป็นปรัชญา วิทยาศาสตร์มันเป็นการกระทำที่ก่อให้เกิดความเข้าใจในโลกทางกายภาพของเรา ปรัชญาคือการทำความเข้าใจว่าแนวคิดทำงานอย่างไรในโลกอุดมคติ

— slebetman

ฉันคิดว่าวิทยาศาสตร์มักชอบทำงานกับช่วงความมั่นใจอย่างชัดเจนมากกว่าตัวเลขที่สำคัญ

— Taemyr

@slebetman นอกจากนั้นมันไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับประเด็นของฉันในการโพสต์ของฉันถ้าคณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์หรือไม่ฉันไม่สามารถช่วยลดการพูด: ธรรมชาติเป็นคณิตศาสตร์โดยกำเนิดและเธอพูดกับเราในวิชาคณิตศาสตร์ เราแค่ต้องฟัง เนื่องจากธรรมชาติเป็นคณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์ใด ๆ ที่ตั้งใจจะอธิบายธรรมชาติขึ้นอยู่กับคณิตศาสตร์อย่างสมบูรณ์ เป็นไปไม่ได้ที่จะเน้นย้ำจุดนี้มากเกินไปและเป็นสาเหตุที่ Carl Friedrich Gauss เรียกคณิตศาสตร์ว่า "ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์"

— Pieter B

ที่อ้างเป็นจากที่นี่ การอ่านที่ดีและมีมากมายที่จะพูดคุยเกี่ยวกับ แต่ไม่ได้มาที่นี่เพราะมันไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับโพสต์ของคุณหรือคำถามนี้

— leftaroundabout

7

โปรดทราบว่าจำนวนจุดลอยตัวนั้นเป็นแบบเดียวกับเครื่องหมายทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมซึ่งเป็นวิธีมาตรฐานสำหรับมนุษย์ในการเขียนตัวเลขในวิชาคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ ในสาขาเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องมีความแม่นยำสูง แต่มักมีช่วงขนาดใหญ่

ในการเลือกตัวอย่างแบบสุ่มจากการบ้านฟิสิกส์ของฉันเมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันต้องทำงานกับมวลของอิเล็กตรอนซึ่งมีค่าประมาณ 9.11 * 10 ^ -31 กิโลกรัม ฉันไม่สนใจความแม่นยำมากนัก มันอาจเป็น 9.12 สำหรับทุกสิ่งที่ฉันสนใจ แต่ฉันสนใจเลขชี้กำลังและไม่ต้องการเขียน 0.0000 ... 911 กิโลกรัมดังนั้นฉันจึงใช้สัญลักษณ์ทางวิทยาศาสตร์

การใช้เหตุผลที่คล้ายคลึงกันในการคำนวณทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม: มีหลากหลายขนาดใหญ่ แต่เราไม่ต้องการจัดเก็บและทำงานกับตัวเลขจำนวนมากดังนั้นเราจึงเก็บค่าปกติและเลขชี้กำลังซึ่งมีขนาดเล็กลงและเร็วกว่าที่จะทำงานด้วย

— raptortech97
แหล่งที่มา

6

จำนวนจุดลอยตัวยังมีคุณสมบัติหลายอย่างที่ให้ผลดีในการคำนวณผลลัพธ์ทางวิทยาศาสตร์บางประเภท ที่แม่นยำที่สุดคือความแม่นยำแปรผกผันกับขนาดเช่นเดียวกับสัญกรณ์ทางวิทยาศาสตร์ดังนั้นคุณสามารถแสดงความแตกต่างเล็ก ๆ ทั้งใกล้กับศูนย์และความแตกต่างที่ใหญ่กว่าไกลออกไป

กระดาษของ Goldbergน่าจะเป็นการวิเคราะห์ที่มีชื่อเสียงที่สุดของคุณสมบัติของตัวเลข floating-point (และควรจะต้องอ่านถ้าคุณสนใจเรื่องแบบนี้) แต่เอกสารของ Kahanผมคิดว่าจะอธิบายเหตุผลได้ดีกว่าเบื้องหลังหลาย ๆ อย่าง ปัญหาการออกแบบ

โดยเฉพาะอย่างยิ่งการวิจารณ์ของ Kahan เกี่ยวกับการดำเนินการของ Java ของจุดลอยตัวในขณะที่การอักเสบค่อนข้างทำให้หลายจุดที่ดีว่าทำไมความหมายของ IEEE-754 จึงมีประโยชน์และMuch Ado About Nothing บิตสำรวจเหตุผลในการลงนาม

— Daniel Pryden
แหล่งที่มา

ฉันยังไม่ได้อ่านบทความทั้งหมดของ Kahan แต่เขาดูสุภาพกว่าที่ฉันจะเป็น Java อาจมีตัวเลขซึ่งมีประโยชน์มากกว่าและทำงานได้เร็วกว่าที่เป็นจริงหากมีการเพิ่มrealประเภทที่ต้องใช้รายการสแต็กสามรายการเพื่อจัดเก็บและจะแสดงถึงความแม่นยำในการคำนวณตามธรรมชาติของเครื่อง ค่าสามารถเก็บไว้เป็น 80-bit float + 16 bits padding 64-bit float + 32 บิต padding หรือ 64 บิต mantissa 64 บิตเลขชี้กำลัง 16 บิตและ 16 บิตสำหรับเครื่องหมายและธง [สำหรับการใช้งานที่ไม่ใช่ FPU]

— supercat

ระบุว่าfloatและdoubleมีรูปแบบการจัดเก็บและrealเป็นรูปแบบการคำนวณ ในหลาย ๆ ระบบที่ไม่มี FPU การทำงานกับ mantissa, exponent และค่าสถานะที่อยู่บนขอบเขตของคำและครึ่งคำจะเร็วกว่าการแกะและบรรจุใหม่ทุกครั้ง

— supercat

2

TL; DR เราไม่ทราบวิธีการคำนวณฟังก์ชั่นส่วนใหญ่ด้วยความแม่นยำที่สมบูรณ์แบบดังนั้นจึงไม่มีจุดแทนตัวเลขที่มีความแม่นยำสมบูรณ์แบบ

คำตอบทั้งหมดพลาดจุดสำคัญที่สุด: เราไม่สามารถคำนวณค่าที่แน่นอนของตัวเลขส่วนใหญ่ได้ ในกรณีพิเศษที่สำคัญเราไม่สามารถคำนวณค่าที่แน่นอนของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง - เพื่ออ้างอิงเฉพาะฟังก์ชันที่ไม่มีเหตุผลที่สำคัญที่สุด

ไร้เดียงสาตอบคำถามไร้เดียงสา

ดูเหมือนว่าคำถามของคุณค่อนข้าง“ มีห้องสมุดทางคณิตศาสตร์ที่แน่นอนทำไมเราไม่ใช้พวกเขาในสถานที่ของเลขคณิตจุดลอยตัว?” คำตอบคือคณิตศาสตร์ที่แน่นอนทำงานกับตัวเลขที่มีเหตุผลและ:

หมายเลขอาร์คิมีดี - ชื่ออุกอาจของπ - ไม่สมเหตุสมผล
ค่าคงที่สำคัญอื่น ๆ จำนวนมากไม่สมเหตุสมผล
ค่าคงที่สำคัญอื่น ๆ จำนวนมากยังไม่ทราบว่ามีเหตุผลหรือไม่
สำหรับจำนวนตรรกยะที่ไม่เป็นศูนย์xจำนวนexp (x)เป็นจำนวนอตรรกยะ
ข้อความที่คล้ายกันมีไว้สำหรับอนุมูลลอการิทึมและความมั่งคั่งของหน้าที่สำคัญต่อนักวิทยาศาสตร์ (การกระจายของ Gauss, CDF, ฟังก์ชัน Bessel, ฟังก์ชันออยเลอร์, ... )

จำนวนตรรกยะเป็นอุบัติเหตุที่โชคดี ตัวเลขส่วนใหญ่ไม่ใช่เหตุผล (ดูทฤษฎีบทของ Baire) ดังนั้นการคำนวณตัวเลขจะนำเราออกจากโลกที่มีเหตุผลเสมอ

การคำนวณและการแทนตัวเลขคืออะไร

เราอาจตอบโต้ด้วยการพูดว่า“ ตกลงปัญหาคือว่าตัวเลขที่มีเหตุผลไม่ใช่ตัวเลือกที่ยอดเยี่ยมในการเป็นตัวแทนของจำนวนจริง” จากนั้นเราก็รวมกลุ่มทาสเดเบียนและคิดค้นระบบตัวแทนใหม่สำหรับตัวเลขจริง

ถ้าเราต้องการคำนวณตัวเลขเราต้องเลือกระบบการแทนสำหรับตัวเลขจริงและอธิบายการดำเนินการที่สำคัญในนั้น - เช่นกำหนดสิ่งที่คำนวณหมายถึงอะไร เนื่องจากเรามีความสนใจในการคำนวณทางวิทยาศาสตร์เราต้องการที่จะแสดงตัวเลขทศนิยมทั้งหมด (มาตรการของเรา), ผลหารของพวกเขา (จำนวนตรรกยะ), ค่าของฟังก์ชันเลขชี้กำลังและค่าคงที่ตลกบางอย่างเช่นหมายเลขอาร์คิมีดี

ปัญหาคือวิธีเดียวที่จะแสดงตัวเลขในระบบได้อย่างสมบูรณ์คือใช้รูปแบบสัญลักษณ์นั่นคือไม่ต้องคำนวณอะไรเลยและทำงานกับนิพจน์เชิงพีชคณิต นี่เป็นการแทนตัวเลขจริงที่พิการเนื่องจากเราไม่สามารถเปรียบเทียบตัวเลขสองตัวได้อย่างน่าเชื่อถือ (อันไหนที่มากกว่า) เราไม่สามารถตอบคำถามได้ง่าย ๆ “ ตัวเลขที่ให้มาเท่ากับ 0 หรือไม่”

หากคุณมองหาความหมายและปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำยิ่งขึ้นให้มองหาจำนวนตรรกยะจำนวนยอดเยี่ยมการประมาณที่ดีที่สุดและทฤษฎีบทของ Baire เป็นต้น

— Michael Le Barbier Grünewald
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่านี่เป็นคำตอบที่ดีไม่ใช่แค่คำถามนี้ตราบเท่าที่ฉันไม่มั่นใจว่าผู้ถามจะเข้าใจประเด็นที่คุณกำลังทำอยู่ สิ่งนั้นและคุณค่อนข้างคล่องแคล่วกับการแสดงตัวเลขที่ไม่แน่นอนของ \ Real หรือ \ Complex โดยการแสดงแบบดิจิตอลที่มีขอบเขต จำกัด (ไม่ว่าจะมีความกว้างบิตแบบไดนามิกหรือแบบคงที่) นั่นเป็นความจริงทั้งหมด แต่ข้างประเด็น ความรุ่งโรจน์ที่ไม่ได้อ้างถึงหุ่นยนต์พันธมิตร Goldberg :) และทฤษฎีบทของ Baire ไม่ได้เป็นส่วนหนึ่งของวาทศาสตร์ทั่วไปที่พบในโปรแกรมเมอร์หรือ StackOverflow

— mctylr

0

เพราะ

1) ผู้เขียนตั้งสมมติฐานว่า "การคำนวณทางวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์" วัดปริมาณทางกายภาพในโลกแห่งความเป็นจริง

2) ปริมาณทางกายภาพนั้นต่อเนื่องและตามที่คุณระบุ "หมายเลขจุดลอยตัวช่วยให้คุณจำลองปริมาณอย่างต่อเนื่อง"

.. และคำตอบที่เหลือของฉันถูกสรุปโดย Rufflewindดังนั้นฉันจะไม่พูดซ้ำอีก

— ม.ค. Doggen
แหล่งที่มา

0

ตัวเลขจุดลอยตัวให้ความแม่นยำสัมพัทธ์: พวกเขาสามารถแสดงตัวเลขที่น้อยที่สุดเปอร์เซ็นต์ (ถ้าคุณต้องการเรียกบางอย่างเช่น 0.0000000000001% เปอร์เซ็นต์) จากจำนวนที่ถูกต้องในช่วงกว้างของตัวเลข พวกเขาแบ่งปันคุณลักษณะนี้ด้วยกฎสไลด์แม้ว่าส่วนหลังจะไม่ได้รับอะไรที่ดีกว่าอย่างเช่นความแม่นยำ 3 หลัก ถึงกระนั้นมันก็ค่อนข้างเพียงพอสำหรับการหากองกำลังคงที่และพลวัตของโครงสร้างขนาดใหญ่ก่อนที่คอมพิวเตอร์ดิจิทัลจะกลายเป็นเรื่องธรรมดาสำหรับสิ่งนั้นและนั่นเป็นเพราะค่าคงที่ของวัสดุยังแสดงการเปลี่ยนแปลงบางอย่างและการเลือกโครงสร้างที่เหมาะสม เพื่อให้โหลดสูงสุดและจุดอ่อนระบุได้อย่างสมเหตุสมผล

ตอนนี้ "ความแม่นยำ" เป็นคุณสมบัติที่มีประโยชน์สำหรับตัวเลขจำนวนมากที่แสดงถึงการวัดและ / หรือขนาดของคุณสมบัติทางกายภาพ

ไม่ใช่ทุกอย่างในวิทยาศาสตร์ / วิศวกรรมที่อยู่ในประเภทนั้น ตัวอย่างเช่นถ้าคุณใช้การแปลงเชิงทฤษฎีเชิงตัวเลขสำหรับการคูณจำนวนมากหรือฟิลด์ Galois สำหรับจัดการกับการแก้ไขคำผิดพหุนามไม่มีสิ่งใดที่เป็นข้อผิดพลาดเล็กน้อย: ข้อผิดพลาดบิตเดียวระหว่างการประมวลผลจะนำไปสู่ผลลัพธ์ที่ค่อนข้างแตกต่างจากการสุ่มอย่างสมบูรณ์ สัญญาณรบกวน

แม้แต่ในพื้นที่เหล่านั้นเราสามารถทำงานกับตัวเลขจุดลอยตัว (เช่นการใช้ FFT ที่ซับซ้อนสำหรับการทำข้อตกลง) หากมีการติดตามการสะสมของข้อผิดพลาดและทำให้แน่ใจว่าข้อผิดพลาดของจุดลอยตัวนั้นไม่ได้รับการสะสมมากพอ เอนทิตีที่แท้จริงซึ่งเป็นค่าประมาณ สำหรับการประมาณดังกล่าวการประมวลผลจุดคงที่น่าจะเหมาะสมกว่า แต่หน่วยจุดลอยตัวในสนามมีแนวโน้มที่จะให้การทำงานที่รวดเร็วขึ้นและบิตที่ใช้งานได้จำนวนมากขึ้น

การเขียนโปรแกรมภาษาเช่น C หรือ Fortran ทำให้ยากต่อการเข้าถึงการดำเนินงานพื้นฐานเช่นการคูณความแม่นยำแบบผสมและการหารหรือบิตการดำเนินการสำหรับการบวก / การลบและเป็นพื้นฐานสำหรับการสร้างเกินจำนวนความแม่นยำที่ จำกัด

ดังนั้นหากคุณสามารถแมปการดำเนินงานกับหมายเลขจุดลอยตัวคุณมักจะมีฮาร์ดแวร์ที่มีประสิทธิภาพพอสมควรในวันนี้และคุณสามารถระบุอัลกอริทึมของคุณได้ดีในภาษาโปรแกรมทั่วไป

— user153796
แหล่งที่มา

0

ฉันคิดว่าสิ่งนี้สามารถตอบได้โดยระบุว่าแอปพลิเคชันfloat/ doubleประเภทข้อมูลใดที่ไม่เหมาะสม

เมื่อคุณต้องการตรวจสอบให้แน่ใจว่าคุณสามารถแสดงตัวเลขได้อย่างถูกต้องด้วยจำนวนตัวเลขที่เฉพาะเจาะจงจากนั้นตัวเลขจุดลอยตัวนั้นไม่เหมาะสมเนื่องจากตัวเลขเหล่านี้แสดงถึงจำนวนเป็นกำลัง 2 แทนกำลัง 10 เช่นเดียวกับที่เราแสดงตัวเลขใน โลกแห่งความจริง.

ดังนั้นหนึ่งโดเมนที่ไม่ควรใช้ชนิดข้อมูลจุดลอยตัวคือด้านการเงิน * สำหรับระบบหลักเช่นธนาคารมันจะไม่สามารถยอมรับได้อย่างสมบูรณ์หากจำนวนเงินที่ควรได้รับ $ 100000.01 ก็กลายเป็น $ 100000.00 หรือ $ 100000.02

ปัญหาดังกล่าวอาจเกิดขึ้นได้ง่ายเมื่อใช้การลอยตัวโดยเฉพาะอย่างยิ่งหากจำนวนนั้นเป็นผลมาจากการคำนวณอย่างน้อยหนึ่งรายการเช่นการคำนวณผลรวมของการทำธุรกรรมทั้งหมดในบัญชี

การคำนวณทางวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์เป็นโดเมนที่ยอมรับข้อผิดพลาดในการปัดเศษที่ค่อนข้างเล็ก โดยทั่วไปผู้ใช้จะทราบว่าตัวเลขทั้งหมดมีความแม่นยำ จำกัด และมักใช้กับตัวเลขจำนวนมากเลขนัยสำคัญแต่ที่สำคัญที่สุดคือพวกเขามีความแม่นยำสัมพัทธ์ที่กำหนดไว้อย่างดีนั่นคือพวกเขาได้ให้เลขนัยสำคัญจำนวนเท่ากันทั้งที่เป็นจำนวนมากและสำหรับจำนวนน้อยมาก

* ฉันเคยทำงานเกี่ยวกับแอปพลิเคชันทางการเงินที่floatมีการใช้ s แทนค่าและด้วยเหตุนี้จึงมีการแนะนำข้อผิดพลาดในการปัดเศษ โชคดีที่ข้อผิดพลาดเฉพาะนี้ไม่สำคัญเลยผู้ใช้บ่นเกี่ยวกับข้อผิดพลาดในการคำนวณในโปรแกรม และสิ่งนี้นำไปสู่ความแตกต่างที่แย่กว่านั้นคือเอฟเฟกต์: ผู้ใช้เริ่มหมดศรัทธาในระบบ

— พีท
แหล่งที่มา