เมื่อการแปลงจากจำนวนเต็มเป็นโสดอาจสูญเสียความแม่นยำ

ฉันกำลังอ่านบทความจาก Microsoft เกี่ยวกับการขยับขยายการแปลงและตัวเลือกเข้มงวดเมื่อฉันไปถึงส่วน

การแปลงต่อไปนี้อาจสูญเสียความแม่นยำ:

• จำนวนเต็มเป็นโสด
• ยาวเป็นโสดหรือสองเท่า
• ทศนิยมเป็นเดี่ยวหรือคู่

อย่างไรก็ตามการแปลงเหล่านี้จะไม่สูญเสียข้อมูลหรือขนาด

.. แต่ตามบทความอื่นเกี่ยวกับชนิดข้อมูล ,

• ประเภทจำนวนเต็มสามารถจัดเก็บได้ตั้งแต่ -2.147.483.648 ถึง 2.147.483.647 และ

• ประเภทเดียวสามารถเก็บได้จาก

  • 1,401298E-45 ถึง 3,4028235E + 38 สำหรับตัวเลขบวก
  • และ -3,4028235E + 38 ถึง - 1,401298E-45 สำหรับจำนวนลบ

.. ดังนั้น Single สามารถเก็บตัวเลขได้มากกว่าจำนวนเต็ม ฉันไม่เข้าใจว่าสถานการณ์เช่นนี้จากการแปลงเป็นจำนวนเต็มอาจไม่แม่นยำ มีคนอธิบายได้ไหม

ซิงเกิลสามารถเก็บตัวเลขได้มากกว่าจำนวนเต็ม

ไม่มันไม่สามารถ ทั้งสองSingleและIntegerเป็น 32 บิตซึ่งหมายความว่าทั้งสองสามารถเก็บจำนวนที่แน่นอนจำนวนเดียวกันนั่นคือ 2 ³² = 4294967296 ตัวเลขที่แตกต่าง

เนื่องจากช่วงของSingleมีขนาดใหญ่กว่านั้นอย่างชัดเจนจึงเป็นที่ชัดเจนในทันที (เพราะหลักการของPigeonhole ) ที่ไม่สามารถแสดงตัวเลขทั้งหมดในช่วงนั้นได้

และตั้งแต่ช่วงของIntegerอยู่ตรงขนาดเดียวกับจำนวนเงินสูงสุดของตัวเลขที่ทั้งสองIntegerและSingleสามารถเป็นตัวแทน แต่ยังสามารถแสดงตัวเลขนอกช่วงนั้นก็เป็นที่ชัดเจนว่ามันไม่อาจเป็นตัวแทนของตัวเลขทั้งหมดภายในช่วงของSingleInteger

หากมีตัวเลขจำนวนหนึ่งIntegerที่ไม่สามารถแสดงได้SingleการแปลงจากIntegerเป็นSingle ต้องสามารถสูญเสียข้อมูลได้

ชนิดจุดลอยตัว (เช่น Single และ Double) แสดงด้วยหน่วยความจำด้วยเครื่องหมาย mantissa และเลขชี้กำลัง คิดว่ามันเป็นสัญลักษณ์ทางวิทยาศาสตร์:

Sign*Mantissa*Base^Exponent

พวกเขา - อย่างที่คุณคาดไว้ - ใช้ฐาน 2 มี tweaks อื่น ๆ ที่อนุญาตให้ใช้แทนอินฟินิตี้และ NaN และเลขชี้กำลังเป็นออฟเซ็ต (จะกลับมาที่) และชวเลขสำหรับแมนทิสซา . มองหามาตรฐาน IEEE 754 ซึ่งครอบคลุมการแสดงและการดำเนินงานเพื่อดูรายละเอียดเพิ่มเติม

สำหรับจุดประสงค์ของเราเราสามารถจินตนาการว่ามันเป็นเลขฐานสอง "mantissa" และ "เลขชี้กำลัง" ที่บอกให้คุณทราบว่าจะวางตัวคั่นทศนิยมไว้ที่ใด

ในกรณีของ Single เรามี 1 บิตสำหรับเขาเซ็น 8 สำหรับ exponent และ 23 สำหรับ mantissa

ทีนี้ก็คือเราจะเก็บ mantissa จากตัวเลขที่สำคัญที่สุด จำไว้ว่าเลขศูนย์ทั้งหมดทางด้านซ้ายนั้นไม่เกี่ยวข้องกัน และเมื่อเราทำงานด้วยระบบเลขฐานสองเรารู้ว่าตัวเลขที่สำคัญที่สุดคือ 1 ※ เนื่องจากเรารู้ว่าเราไม่ต้องเก็บมัน ขอบคุณที่จดชวเลขช่วง mantissa ที่มีประสิทธิภาพคือ 24 บิต

※: หากจำนวนที่เราจัดเก็บนั้นเป็นศูนย์ เพื่อที่เราจะได้ตั้งค่าบิตทั้งหมดเป็นศูนย์ อย่างไรก็ตามหากเราพยายามตีความว่าภายใต้คำอธิบายที่ฉันให้คุณคุณจะมี 2 ^ 24 (นัย 1) คูณด้วย 1 (2 ถึงพลังของเลขชี้กำลัง 0) ดังนั้นในการแก้ไขศูนย์เลขชี้กำลังเป็นค่าพิเศษ นอกจากนี้ยังมีค่าพิเศษในการจัดเก็บอินฟินิตี้และ NaN ในเลขยกกำลัง

ตามการชดเชยเลขชี้กำลัง - นอกเหนือจากการหลีกเลี่ยงค่าพิเศษ - การมีออฟเซ็ตอนุญาตให้วางจุดทศนิยมก่อนเริ่มต้นของ mantissa หรือหลังสิ้นสุดโดยไม่จำเป็นต้องมีสัญลักษณ์สำหรับเลขชี้กำลัง

ซึ่งหมายความว่าสำหรับตัวเลขขนาดใหญ่ชนิดจุดลอยจะใส่จุดทศนิยมเกินกว่าจุดสิ้นสุดของ mantissa

จำไว้ว่าแมนทิสซาเป็นตัวเลข 24 บิต มันจะไม่แสดงหมายเลข 25 บิต ... มันไม่มีบิตพิเศษนั้น ดังนั้นเดี่ยวไม่สามารถแยกความแตกต่างระหว่าง 2 ^ 24 และ 2 ^ 24 + 1 (นี่คือตัวเลข 25 บิตแรกและพวกเขาแตกต่างกันในบิตสุดท้ายซึ่งไม่ได้เป็นตัวแทนในเดียว)

ดังนั้นสำหรับจำนวนเต็มช่วงของเดี่ยวคือ -2 ^ 24 ถึง 2 ^ 24 และพยายามที่จะเพิ่ม 1 ถึง 2 ^ 24 จะส่งผลให้เป็น 2 ^ 24 (เพราะเท่าที่เกี่ยวข้องกับประเภท 2 ^ 24 และ 2 ^ 24 + 1 เป็นค่าเดียวกัน) ลองมันออนไลน์ นี่คือเหตุผลที่มีการสูญเสียข้อมูลเมื่อแปลงจากจำนวนเต็มเป็นโสด และนี่ก็เป็นเหตุผลว่าทำไมการวนซ้ำที่ใช้เพียงครั้งเดียวหรือสองครั้งจึงเป็นวงไม่สิ้นสุดโดยที่คุณไม่สังเกตเห็น

นี่คือตัวอย่างจริงเมื่อแปลงจากIntegerเป็นSingleอาจเสียความแม่นยำ:

Singleชนิดสามารถเก็บจำนวนเต็มทั้งหมดจาก -16777216 เพื่อ 16777216 (รวม) แต่มันก็ไม่สามารถเก็บจำนวนเต็มทั้งหมดนอกช่วงนี้ ยกตัวอย่างเช่นมันไม่สามารถเก็บหมายเลข 16777217. สำหรับเรื่องที่ไม่สามารถจัดเก็บใด ๆมากขึ้นเลขคี่กว่า 16,777,216

เราสามารถใช้ Windows PowerShell เพื่อดูว่าเกิดอะไรขึ้นหากเราแปลงIntegerเป็นSingleและย้อนกลับ:

PS C:\Users\tanne> [int][float]16777213
16777213
PS C:\Users\tanne> [int][float]16777214
16777214
PS C:\Users\tanne> [int][float]16777215
16777215
PS C:\Users\tanne> [int][float]16777216
16777216
PS C:\Users\tanne> [int][float]16777217
16777216
PS C:\Users\tanne> [int][float]16777218
16777218
PS C:\Users\tanne> [int][float]16777219
16777220

สังเกตว่า 16777217 มีการปัดเศษลงเป็น 16777216 และ 16777219 มีการปัดเศษเป็น 16777220

ประเภทจุดลอยตัวนั้นคล้ายกับ "สัญลักษณ์ทางวิทยาศาสตร์" ในฟิสิกส์ จำนวนถูกแบ่งออกเป็นบิตเครื่องหมายเลขชี้กำลัง (ตัวคูณ) และแมนทิสซา (เลขนัยสำคัญ) ดังนั้นเมื่อขนาดของค่าเพิ่มขึ้นขนาดของขั้นตอนก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน

จุดลอยตัวที่มีความแม่นยำเดี่ยวมี 23 mantissa บิต ​​แต่มี "นัย 1" ดังนั้น mantissa จึงมีประสิทธิภาพ 24 บิต ดังนั้นจำนวนเต็มทั้งหมดที่มีขนาดสูงถึง 2 ²⁴จึงสามารถแสดงได้อย่างแม่นยำในจุดลอยตัวที่มีความแม่นยำเดียว

เหนือกว่าตัวเลขที่สามารถแสดงได้อย่างต่อเนื่อง

• จาก 2 ²⁴ถึง 2 ²⁵เพียงสามารถแสดงตัวเลขได้
• จาก 2 ²⁵ถึง 2 ²⁶สามารถแสดงได้ทวีคูณของ 4 เท่านั้น
• จาก 2 ²⁶ถึง 2 ²⁷สามารถแสดงได้ทวีคูณของ 8 เท่านั้น
• จาก 2 ²⁷ถึง 2 ²⁸จะสามารถแสดงได้ทวีคูณของ 16 เท่านั้น
• จาก 2 ²⁸ถึง 2 ²⁹สามารถแสดงผลได้หลายเท่าเท่านั้น
• จาก 2 ²⁹ถึง 2 ³⁰สามารถคูณได้ 64 เท่านั้น
• จาก 2 ³⁰ถึง 2 ³¹สามารถคูณได้เพียง 128 รายการเท่านั้น

ดังนั้นในจำนวนเต็มที่เป็นไปได้2 ³² 32 บิตที่เป็นไปได้ 32 บิตเพียง 2 * (2 ²⁴ + 7 * 2 ²³ ) = 9 * 2 ²⁴สามารถแสดงในทศนิยมความแม่นยำเดียว นั่นคือ 3.515625% จากทั้งหมด

Float ความแม่นยำเดี่ยวมีความแม่นยำ 24 บิต สิ่งใดก็ตามที่ถูกปัดเศษเป็นจำนวน 24 บิตที่ใกล้ที่สุด มันอาจจะง่ายกว่าที่จะเข้าใจในเครื่องหมายทางวิทยาศาสตร์แบบทศนิยม แต่จำไว้ว่าโฟลตจริงใช้ไบนารี

สมมติว่าคุณมีหน่วยความจำ 5 หลัก คุณสามารถเลือกที่จะใช้สิ่งเหล่านี้เช่น int ที่ไม่ได้ลงนามแบบปกติอนุญาตให้คุณมีตัวเลขใด ๆ ระหว่าง 0 ถึง 99999 ถ้าคุณต้องการที่จะเป็นตัวแทนของตัวเลขที่มากขึ้นคุณสามารถใช้สัญกรณ์ทางวิทยาศาสตร์และจัดสรรเลขสองหลักเป็นเลขชี้กำลัง ตอนนี้คุณสามารถเป็นตัวแทนของอะไรระหว่าง 0 และ 9.99 x 10 99

อย่างไรก็ตามจำนวนที่มากที่สุดที่คุณสามารถเป็นตัวแทนได้ตอนนี้คือเพียง 999 ถ้าคุณพยายามที่จะเป็นตัวแทน 12345 คุณจะได้รับ 1.23 x 10 ⁴หรือ 1.24 x 10 ⁴แต่คุณไม่สามารถแสดงตัวเลขใด ๆ ในระหว่างเพราะคุณ มีตัวเลขไม่เพียงพอ