ความเข้าใจผิดเกี่ยวกับการประมาณการ Monte Carlo Pi

ฉันค่อนข้างแน่ใจว่าฉันเข้าใจการทำงานร่วมกันของ Monte Carlo แต่ฉันไม่เข้าใจการกำหนดวิธีการใช้ Pi เพื่อประเมิน ฉันกำลังทำตามขั้นตอนที่ระบุไว้ในสไลด์ที่ 5 ของงานนำเสนอนี้http://homepages.inf.ed.ac.uk/imurray2/teaching/09mlss/slides.pdf

ฉันเข้าใจขั้นตอนเบื้องต้น Pi เท่ากับ 4 คูณพื้นที่ของหนึ่งในสี่ของวงกลมหน่วย และพื้นที่ของไตรมาสบนขวาของหน่วยวงกลมตรงกลางที่ (0,0) เท่ากับอินทิกรัลของส่วนโค้งที่เป็นไตรมาสบนขวาของวงกลมหน่วยในและ . $0<x<1$$0<y<1$

สิ่งที่ฉันไม่เข้าใจก็คืออินทิกรัลนี้คืออะไร

$\iint I((x^2+y^2)<1)P(x,y)dxdy$

โดยที่$P(x,y)$มีการกระจายอย่างสม่ำเสมอในหน่วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสรอบวงกลมไตรมาส (นั่นคือเท่ากับ 1 เสมอถ้า$0<x<1$และ$0<y<1$และ 0 เป็นอย่างอื่น) นี่ก็หมายความว่า $I((x^2+y^2)<1)P(x,y)$
คือฟังก์ชั่นที่เป็นจตุภาคบนขวาของวงกลมหน่วยที่$0<x<1$และ$0<y<1$แต่ฉันไม่เข้าใจว่าสิ่งนี้เป็นจริงได้อย่างไรเนื่องจากฟังก์ชันตัวบ่งชี้สามารถเป็น 1 หรือ 0 เท่านั้นฉันเข้าใจว่ามันอาจจะเขียนด้วยวิธีนี้เพื่อให้การสุ่มตัวอย่าง Monte Carlo ง่าย (นั่นคือความคาดหวังดังนั้นเพียงแค่ตัวอย่างจาก$P(x,y)$และรับค่าเฉลี่ยของตัวอย่างที่ใช้กับ$I((x^2+y^2)<1)$) แต่มันไม่สมเหตุสมผลเลยสำหรับฉันว่าทำไมอินทิกรัลนั้นแทนพื้นที่ใต้เส้นโค้งนั้น

ใครบางคนสามารถให้คำอธิบายที่เข้าใจง่ายเกี่ยวกับเรื่องนี้ อาจแสดงให้เห็นว่าอินทิกรัลนั้นได้มาในแบบทีละขั้นตอนหรือไม่?

แก้ไข:

ฉันสามารถรับความเข้าใจที่ดีขึ้นโดยเชื่อมโยงความคาดหวังกับพื้นที่ ฉันจะอธิบายที่นี่ในกรณีที่มันช่วยทุกคน เริ่มแรกด้วยการเกี่ยวข้องกับ Pi ไปยังพื้นที่ของควอดเร้นท์ด้านขวาของวงกลมหน่วย

$\pi=4\times A_{tr}$

จากนั้นเราวางจตุภาคบนขวาลงในหน่วยสี่เหลี่ยม และภายใต้การกระจายตัวที่สม่ำเสมอบนหน่วยสี่เหลี่ยมพื้นที่ของจตุภาควงกลมนั้นมีสัดส่วนตามความน่าจะเป็นที่จะได้รับตัวอย่างจากมัน มันเป็นไปตามที่ความเสมอภาคต่อไปนี้ถือ

$P(x^2+y^2<1)=\frac{A_{tr}}{A_{square}}$

และ$A_{square}=1$ดังนั้น

$P(x^2+y^2<1)=A_{tr}$

และแทนที่ลงในสมการดั้งเดิม

$\pi=4\times P(x^2+y^2<1)$

และมันก็เป็นความจริงที่ซึ่งเท่ากับอินทิกรัลสองเท่าต้นฉบับ$P(x^2+y^2<1)=E[I(x^2+y^2<1)]$

ดังนั้นฉันจึงเข้าใจโดยการเชื่อมโยงพื้นที่กับความน่าจะเป็นแล้วเกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นกับความคาดหวังที่เทียบเท่ากับอินทิกรัล แจ้งให้เราทราบหากฉันทำผิดพลาดใด ๆ

พื้นที่ของรูปวงกลมของรัศมีเท่ากับ 2ก็หมายความว่าหนึ่งในสี่ของวงกลมมีพื้นที่ 4 ซึ่งหมายความว่าตารางกับด้านรัศมีของวงกลมเป็น 2$l$$\pi l^2$$l^2\pi/4$$area=l^2$

ซึ่งหมายความว่าอัตราส่วนระหว่างพื้นที่ของหนึ่งในสี่ของวงกลมและพื้นที่ของตารางเป็น 4 $\pi/4$

จุด อยู่ในตารางถ้า<1 และมันก็เป็นในไตรมาสของวงกลมถ้า <1 $(x,y)$$0<x<1, 0<y<1$$0<x<1, 0<y<1 ,x^2+y^2<1$

อินทิกรัลของคุณคือนั่นคือพื้นที่ที่อธิบายโดยหนึ่งในสี่ของวงกลม$∬I((x^2+y^2)<1)P(x,y)= ∬I((x^2+y^2)<1) I(0<x<1)I(0<y<1)$

คำอธิบายที่ใช้งานง่ายง่ายต้องอาศัยการทำความเข้าใจว่า(A) ดังนั้น<1) เมื่อคุณตระหนักถึง integal คู่เป็นเพียงความน่าจะเป็นก็ควรให้ความรู้สึกที่ใช้งานง่ายที่คุณสามารถลิ้มลองและจากหน่วยตารางและคำนวณสัดส่วนของการดึงที่<1 $E(I(A)) = P(A)$$\int \int I(x^2+y^2 < 1)dxdy = P(x^2 + y^2 < 1)$$x$$y$$x^2 + y^2 <1$

บางทีสัญชาตญาณอีกชิ้นที่ขาดหายไปจากความเข้าใจของคุณก็คือการเชื่อมต่อระหว่างพื้นที่และความน่าจะเป็น เนื่องจากพื้นที่ของหน่วยตารางทั้งหมดคือ 1 และจุดมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอภายในตารางพื้นที่ของพื้นที่ใด ๆภายในหน่วยตารางจะสอดคล้องกับความน่าจะเป็นที่จุดสุ่มเลือกจะเป็นภายใน$(x,y)$$A$$A$

ฉันลงจอดที่ CV การโต้คลื่นนี้และฉันเห็นว่าโค้ดของ Monte Carlo อยู่ในระดับแปดเสียง ฉันบังเอิญมีการจำลองใน R ที่ทำให้ความคิดของการได้มาของหมายเลขเป็นชุดกระจาย bivariate ในเครื่องบินภายใต้ข้อ จำกัด ของอินทิกรัลใน OP ที่ใช้งานง่ายมาก:$\pi$$[0,1]$

ระบุว่าไตรมาสของวงกลมล้อมรอบในตารางที่ 1 หน่วยพื้นที่เป็น 4 ดังนั้นการสร้างจุดกระจายอย่างสม่ำเสมอในตารางจะสิ้นสุดการปูพรมตารางทั้งหมดและการคำนวณเศษส่วนตอบสนองจะพอ ๆ กันกับการบูรณาการเนื่องจากเราเพิ่งเลือกเศษส่วน ของจุดภายในวงกลมที่สัมพันธ์กับหน่วยสี่เหลี่ยม:$\pi/4$$(x,y)$$1 < \sqrt{(x^2+y^2)}$$∬\textbf{1}((x^2+y^2)<1) \,\textbf{1}(0<x<1)\,\textbf{1}(0<y<1)$

x <- runif(1e4); y <- runif(1e4)
radius <- sqrt(x^2 + y^2)
# Selecting those values within the circle is obtained with radius[radius < 1]:
(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4     =    3.1272

เราสามารถพล็อตค่าที่ตกภายในรัศมีระหว่างการจับ 10,000

และโดยธรรมชาติเราสามารถเข้าใกล้และใกล้เคียงมากขึ้นโดยการเลือกจุดมากขึ้น ด้วยคะแนน 1 ล้านเราจะได้รับ:

(pi = length(radius[radius < 1]) / length(radius)) * 4 [1] 3.141644

ผลลัพธ์โดยประมาณที่มาก นี่คือพล็อต: