การกระจายตัวเล็กน้อยของเส้นทแยงมุมของเมทริกซ์ Wishart แบบกระจาย

สมมติว่า ) ฉันสนใจในการกระจายร่อแร่ขององค์ประกอบในแนวทแยงวินิจฉัย( X ) = ( x 11 , ... , x พีพี ) มีผลลัพธ์ง่าย ๆ สองสามข้อเกี่ยวกับการกระจายตัวของเมทริกซ์ย่อยของX (อย่างน้อยก็บางอันอยู่ในวิกิพีเดีย) จากนี้ฉันสามารถคิดได้ว่าการกระจายตัวขององค์ประกอบเดี่ยวใด ๆ ในแนวทแยงเป็นแกมมาผกผัน แต่ฉันไม่สามารถอนุมานการกระจายข้อต่อได้$X\sim \operatorname{InvWishart}(\nu, \Sigma_0)$$\operatorname{diag}(X) = (x_{11}, \dots, x_{pp})$$X$

ฉันคิดว่าบางทีมันอาจจะมาจากองค์ประกอบเช่น:

$$p(x_{11} | x_{ii}, i\gt 1)p(x_{22}|x_{ii}, i>2)\dots p(x_{(p-1)(p-1)}|x_{pp})p(x_{pp}),$$

แต่ฉันไม่เคยไปไหนมาไหนด้วยและสงสัยว่าต่อไปฉันจะทำอะไรง่าย ๆ ; ดูเหมือนว่า "ควร" เป็นที่รู้จัก แต่ฉันไม่สามารถค้นหา / แสดงได้

$$\Sigma = \text{diag}(\Sigma) \ Q \ \text{diag}(\Sigma)^\top = D\ Q \ D^\top$$ $Q$$q_{ii} = 1$$\Sigma$$D = [D]_{ii} = [\Sigma]_{ii}$$d_{ij} = 0, \ i \ne j$

$d$$\Sigma$

$$\Sigma \sim \mathcal{IW}(\nu +d -1, 2\nu \Lambda), \quad \nu > d-1$$

$\sigma_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

$$\sigma_{ii} \sim \text{inv-$\chi^2$}\left(\nu+d-1,\frac{\lambda_{ii}}{\nu -d + 1}\right)$$

การอ้างอิงที่ดีกับความหลากหลายของนักบวชสำหรับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมที่สลายตัวเป็นการแจกแจงความสัมพันธ์แปรปรวนที่แตกต่างกันจะได้รับที่นี่