เหตุใดจึงไม่สามารถสรุปการทดสอบ Kolmogorov-Smirnov เป็น 2 มิติหรือมากกว่าได้

คำถามบอกว่ามันทั้งหมด ฉันได้อ่านทั้งสองอย่างที่ไม่สามารถสรุป KS ให้มีขนาดเท่ากันหรือใหญ่กว่าสองเท่าได้และการใช้งานที่มีชื่อเสียงเช่นนั้นในNumerical Recipesนั้นผิดปกติ คุณช่วยอธิบายได้ว่าทำไมถึงเป็นเช่นนั้น?

ฉันเชื่อว่าถูกต้องตามกฎหมายที่จะอ้างถึงส่วนที่เกี่ยวข้องของวรรคที่เป็นปัญหา:

3. การทดสอบ KS ไม่สามารถใช้ได้ในสองมิติขึ้นไป นักดาราศาสตร์มักจะมีชุดข้อมูลที่มีจุดกระจายอยู่ในระนาบหรือมีมิติที่สูงกว่าแทนที่จะเป็นแนวยาว เอกสารจำนวนมากในวรรณคดีดาราศาสตร์อ้างว่าจะนำเสนอการทดสอบ KS สองมิติและอีกฉบับหนึ่งถูกทำซ้ำในสูตรตัวเลขเชิงปริมาณที่มีชื่อเสียง อย่างไรก็ตามไม่สามารถใช้การทดสอบตาม EDF (รวมถึง KS, AD และการทดสอบที่เกี่ยวข้อง) ในสองมิติหรือสูงกว่าเนื่องจากไม่มีวิธีที่ไม่ซ้ำกันในการสั่งซื้อคะแนนเพื่อให้สามารถคำนวณระยะทางระหว่าง EDF ที่กำหนดไว้อย่างดี เราสามารถสร้างสถิติตามขั้นตอนการสั่งซื้อจากนั้นคำนวณระยะทางสูงสุดระหว่างสองชุดข้อมูล (หรือหนึ่งชุดข้อมูลและเส้นโค้ง) แต่คุณค่าที่สำคัญของสถิติที่ได้นั้นไม่ใช่การแจกฟรี

ตามที่ระบุไว้นี้ดูเหมือนจะแข็งแกร่งเกินไป

1) ฟังก์ชั่นการกระจายสองตัวแปรซึ่งเป็นคือแผนที่จากไป[0,1]นั่นคือฟังก์ชั่นใช้เวลาunivariateค่าจริงระหว่าง 0 และ 1 ค่าเหล่านั้น - เป็นความน่าจะเป็น - อย่างแน่นอน "สั่ง" แล้ว - และนี่ (ค่าของฟังก์ชั่น) เป็นสิ่งที่เราจำเป็นต้องทำการเปรียบเทียบสำหรับการทดสอบ ECDF ตาม . ในทำนองเดียวกัน ecdf,นั้นถูกนิยามไว้อย่างดีในกรณีที่มีการแปรสภาพ$F(x_1,x_2) = P(X_1\leq x_1,X_2\leq x_2)$$\mathbb{R}^2$$[0,1]$$\hat F$

ฉันไม่คิดว่าจำเป็นต้องลองเปลี่ยนเป็นฟังก์ชั่นบางอย่างของตัวแปรรวมแบบไม่แปรตามที่ข้อความแนะนำ คุณเพียงแค่คำนวณและในทุกชุดค่าผสมที่ต้องการและคำนวณความแตกต่าง$F$$\hat F$

2) อย่างไรก็ตามสำหรับคำถามที่ว่ามันปลอดการแจกจ่ายหรือไม่พวกเขามีประเด็น:

a) ชัดเจนสถิติการทดสอบดังกล่าวจะไม่เปลี่ยนแปลงโดยการเปลี่ยนแปลงการเปลี่ยนแปลงของระยะขอบซึ่งจะบอกว่าถ้าสร้างขึ้นเพื่อทดสอบเครื่องแบบอิสระ bivariateจากนั้นก็ทำงานอย่างเท่าเทียมกัน รวมถึงการทดสอบความเป็นอิสระที่(x_i) ในแง่นั้นมันไม่กระจาย (เราอาจพูดว่า 'ปลอดกำไร')$\mathbf{U}=(U_1,U_2)$$(X_1,X_2)$$U_i=F_i(X_i)$

b) อย่างไรก็ตามมีจุดที่พื้นฐานมากกว่าโดยทั่วไปในแง่ที่กว้างกว่าว่าสถิติไร้เดียงสาของ KS (เช่นที่ฉันเพิ่งอธิบาย) ไม่ได้แจกฟรีโดยทั่วไป เราไม่สามารถเพียงแค่เปลี่ยนพล{u})$U$$X^* = \mathbf{g}(\mathbf{U})$

ในรุ่นก่อนหน้าของคำตอบของฉันฉันพูดว่า:

ไม่มีปัญหาไม่มีปัญหา

มันผิด แน่นอนว่ามีปัญหาหากมีการเปลี่ยนแปลงไม่เพียง แต่จากระยะขอบจากเครื่องแบบอิสระ bivariate ดังที่ได้กล่าวไว้ อย่างไรก็ตามปัญหาเหล่านั้นได้รับการพิจารณาในหลาย ๆ ทางในเอกสารจำนวนหนึ่งที่ให้ผลสถิติ Kolmogorov-Smirnov รุ่น bivariate / multivariate หลายตัวแปรที่ไม่ประสบปัญหานั้น

ฉันอาจกลับมาและเพิ่มการอ้างอิงเหล่านั้นและอภิปรายว่าพวกเขาทำงานอย่างไรเมื่อเวลาเอื้ออำนวย