ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบท Bayes ที่ผิดพลาด

คำถามชุมชนMath Overflowนี้ขอให้ "ตัวอย่างของการขัดแย้งที่ไม่ดีซึ่งเกี่ยวข้องกับการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ในบริบทที่ไม่ใช่คณิตศาสตร์" และผลิตรายการที่น่าสนใจของคณิตศาสตร์ประยุกต์ทางพยาธิวิทยา

ฉันสงสัยเกี่ยวกับตัวอย่างที่คล้ายคลึงกันของการใช้พยาธิวิทยาของการอนุมานแบบเบย์ มีใครพบบทความทางวิชาการโพสต์บล็อกประหลาดที่ใช้วิธีการแบบเบย์ในรูปแบบที่โหดร้าย

อ๋อ ฉันได้รับการว่าจ้างเป็นที่ปรึกษาทางสถิติเมื่อเร็ว ๆ นี้เพื่อกลั่นกรองบทความพิเศษที่น่ากลัวซึ่งผู้เขียนพยายามทำให้ตัวเองดูแย่ลงในจดหมายถึงบรรณาธิการโดยใช้ทฤษฎีบทของเบย์ พวกเขาเริ่มต้นด้วยค่าคาดการณ์เชิงบวกที่ผิดพลาดจากบทความของพวกเขา (PPV = 95% ตามที่คาดคะเน) พวกเขาไม่สนใจจดหมายที่สำคัญเกี่ยวกับเรื่องนี้โดย Ricci ^{₍₂₀₀₄₎}ที่พยายาม (และล้มเหลว) เพื่อบอกพวกเขาว่าพวกเขาควรคำนวณอย่างไร (เขาแนะนำ 82.3%) จากนั้นพวกเขาพบตำรา biostats ^{_{(Elston & Johnson, 1994)}}และ misquoted มัน เราซื้อหนังสือและตรวจสอบแล้ว แต่เมื่อมองย้อนกลับไปมันก็ไม่จำเป็นเท่าที่ฉันสงสัย รับระเบียบนี้ (จากจดหมายตอบกลับของ Barsness และคณะไปยังบรรณาธิการ):

ทฤษฎีบทของเบย์¹โดยทั่วไประบุว่าความชุกของโรคเฉพาะน้อย (NAT) เสริมสร้างความสามารถในการทำนายเชิงบวกของการทดสอบเชิงบวก (ซี่โครงหัก) เพื่อกำหนดสถานะของโรค (เหยื่อของ NAT) ... ตามทฤษฎีของเบย์ [ ^1]ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ถูกกำหนดโดยสมการต่อไปนี้: P คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จริง ( เหยื่อของ NAT), P (S / D ₁ ) คือความน่าจะเป็นของการทดสอบเชิงบวก (PPV ของกระดูกซี่โครงหักเพื่อทำนาย NAT) และ P (S / D ₂ ) คือความน่าจะเป็นหลังของการทดสอบในเชิงบวก (ความชุกของ NAT) . การแทนที่ข้อมูลของเราความน่าจะเป็นที่กระดูกซี่โครงหักเป็นเหตุการณ์จริง [p=95/(95+1.6)

$$\rm P=\frac{P(S/D_1)}{P(S/D_1)+P(S/D_2)}$$ $[p = 95/(95 + 1.6)]$ร้อยละ 98.3 เมื่อใช้การคำนวณ PPV ที่ต่ำกว่าดังกล่าวที่ 82.3 เปอร์เซ็นต์ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จริงคือ 98.1 เปอร์เซ็นต์

เห็นอะไรแปลก ๆ ที่เชื่อมโยงกันนี่? ฉันไม่แน่ใจ ...

1. นี่คือทฤษฎีบทของเบย์ขณะที่เอลสตันและจอห์นสัน^{₍₁₉₉₄₎}ใช้กับตัวอย่างของการถ่ายทอดทางพันธุกรรมของฮีโมฟีเลีย:

   $$\rm P(D_1|S)=\frac{P(D_1)P(S|D_1)}{P(D_1)P(S|D_1)+P(D_2)P(S|D_2)}$$

   ความแตกต่างพูดเพื่อตัวเอง แต่นี่คือคำพูดจากการสนทนาของตัวอย่าง:

   ความจริงที่ว่าเธอมีลูกชายหนึ่งคนที่ไม่ได้รับผลกระทบลดความน่าจะเป็นที่เธอได้รับมรดกยีนฮีโมฟีเลียและดังนั้นความน่าจะเป็นที่ลูกชายคนที่สองของเธอจะได้รับผลกระทบ

   ที่ Barsness และเพื่อนร่วมงานมีความคิดว่าความชุกต่ำทำให้ PPV แข็งแกร่งขึ้นฉันไม่รู้ แต่พวกเขาแน่ใจว่าไม่ได้สนใจตำราเรียนที่ตนเลือก

2. $$p_1 = 95/(95 + 1.6)=98.3\rightarrow p_2 = 98.3/(98.3 + 1.6)=98.4\rightarrow\dots$$ $\lim_{k\rightarrow\infty} p_k(p_{k-1},1.6)$

3. เมื่อใช้ข้อมูลความชุกและการประมาณความไวและความเฉพาะเจาะจงที่สมเหตุสมผลจากการศึกษาอื่นในหัวข้อ PPV กลายเป็นต่ำกว่ามาก (อาจจะต่ำถึง 3%) สิ่งที่ตลกคือฉันไม่คิดแม้แต่จะใช้ทฤษฎีบทของเบย์หากพวกเขาไม่ได้พยายามใช้มันเพื่อทำให้เคสของพวกเขาแข็งแรงขึ้น เห็นได้ชัดว่าจะไม่ไปหาวิธีการที่ให้ความชุกของ 1.6%

^{การอ้างอิง
· Barsness, KA, Cha, ES, Bensard, DD, Calkins, CM, Partrick, DA, Karrer, FM, & Strain, JD (2003) ค่าพยากรณ์เชิงบวกของกระดูกซี่โครงหักเป็นตัวบ่งชี้การบาดเจ็บที่ไม่บังเอิญในเด็ก วารสารบาดเจ็บบาดเจ็บติดเชื้อและการดูแลที่สำคัญ, 54 (6), 1107–1110
· Elston, RC, & Johnson, WD (1994) ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับชีวสถิติ (2nd ed.) ฟิลาเดลเฟีย: บริษัท FA Davis
· Ricci, LR (2004) จดหมายถึงบรรณาธิการ วารสารบาดเจ็บบาดเจ็บติดเชื้อและการดูแลที่สำคัญ, 56 (3), 721}