ฉันต้องติดสติ๊กเกอร์จำนวนเท่าใดเพื่อทำให้อัลบั้ม FIFA Panini สมบูรณ์

ฉันกำลังเล่นFIFA Panini Online Sticker Albumซึ่งเป็นการดัดแปลงอินเทอร์เน็ตของอัลบั้ม Panini คลาสสิคที่มักเผยแพร่สำหรับฟุตบอลโลกฟุตบอลชิงแชมป์ยุโรปและทัวร์นาเมนต์อื่น ๆ

อัลบั้มมีตัวยึดสำหรับสติ๊กเกอร์ต่าง ๆ 424 วัตถุประสงค์ของเกมคือการรวบรวมทั้งหมด 424 สติกเกอร์มาในชุด 5 ซึ่งสามารถรับได้ผ่านรหัสที่พบออนไลน์ (หรือในกรณีของอัลบั้มพิมพ์คลาสสิกซื้อที่แผงขายหนังสือพิมพ์ท้องถิ่นของคุณ)

ฉันทำสมมติฐานดังต่อไปนี้:

สติกเกอร์ทั้งหมดมีการเผยแพร่ในปริมาณเดียวกัน
สติ๊กเกอร์หนึ่งชุดไม่มีการทำซ้ำ

ฉันจะทราบได้อย่างไรว่าต้องมีสติกเกอร์กี่ชุดเพื่อให้แน่ใจว่าสมเหตุสมผล (สมมติว่า 90%) ว่าฉันมีสติ๊กเกอร์ที่ไม่ซ้ำกันทั้งหมด 424 ชิ้น

probability coupon-collector-problem

— Vidar S. Ramdal
แหล่งที่มา

คุณสามารถรับข้อมูลเชิงลึกได้จากการอ่านคำถามอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับปัญหาตัวสะสมคูปอง

— Glen_b -Reinstate Monica

คุณต้อง 700 แพ็ค; โอกาสที่จะได้รับสติกเกอร์ 424 ทั้งหมดนั้นมีค่าเท่ากับ 90.0024% จำเป็นต้องใช้ 761 เพื่อนำโอกาสไปที่ 95% และ 898 สำหรับโอกาส 99% (โดยเฉลี่ยแล้วจำเป็นต้องมีเกือบ 560 แพ็คเพื่อทำให้เสร็จสมบูรณ์มันไม่น่าเป็นไปได้ (มีโอกาสน้อยกว่าหนึ่งครั้งในหนึ่งพัน) ที่ต้องการน้อยกว่า 352)

— whuber

ฉันไม่แน่ใจว่าสามารถตั้งสมมติฐานแรกได้ "Shinies" มีแนวโน้มที่จะหายาก

— James

อืมจากสิ่งที่ฉันสามารถอ่านได้จากเอกสารที่โพสต์โดย Asuranceturix พวกเขาพิสูจน์ว่าไม่มีความแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญ

— Vidar S. Ramdal

@ VidarS.Ramdal ฉันยืนแก้ไข

— James

คำตอบ:

นั่นเป็นปัญหาของตัวสะสมคูปองที่สวยงามโดยมีการแนะนำเล็กน้อยว่าสติกเกอร์มีให้เลือก 5 แพ็ค

หากสติกเกอร์ถูกซื้อเป็นรายบุคคลผลที่ได้เป็นที่รู้จักกันในขณะที่คุณสามารถดูที่นี่

การประมาณการทั้งหมดสำหรับขอบเขตบน 90% สำหรับสติกเกอร์ที่ซื้อแยกต่างหากก็มีขอบเขตบนสำหรับปัญหาที่เกิดขึ้นกับแพ็คของ 5 แต่ขอบเขตบนปิดน้อยกว่า

ฉันคิดว่าการได้รับขอบเขตความน่าจะเป็นที่ดีกว่า 90% โดยใช้การพึ่งพา 5 แพ็คจะได้รับยากขึ้นและจะไม่ให้ผลลัพธ์ที่ดีกว่า

ดังนั้นการใช้การประมาณหางกับและคุณจะได้คำตอบที่ดี $P[T>\beta n \log n] \leq n^{-\beta+1}$ $n=424$ $n^{-\beta+1} = 0.1$

แก้ไข :

บทความ"ปัญหาของนักสะสมที่มีภาพวาดกลุ่ม" (Wolfgang Stadje) การอ้างอิงของบทความที่นำเสนอโดย Assuranceturix นำเสนอโซลูชันการวิเคราะห์ที่แน่นอนสำหรับปัญหาของคูปองสะสมด้วย "ชุดสติ๊กเกอร์"

ก่อนที่จะเขียนทฤษฏีคำจำกัดความของสัญกรณ์: จะเป็นชุดสติกเกอร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด. จะเป็นเซตย่อยที่คุณสนใจ (ใน OP, ) และ. เรากำลังจะวาดด้วยสติกเกอร์ที่แตกต่างกันแทนแบบสุ่มของจะเป็นจำนวนองค์ประกอบของที่ปรากฏในชุดย่อยอย่างน้อยหนึ่งชุด $S$ $s = |S|$ $A \subset S$ $A = S$ $l = |A|$ $k$ $m$ $X_{k}(A)$ $A$

ทฤษฎีบทบอกว่า:

P (X_{k} (A) = n) = (\binom{l}{n}) \sum_{j = 0}^{n} (- 1)^{j} (\binom{n}{j}) [(\binom{s + n - l - j}{m}) / (\binom{s}{ม.})]^{k}

$P(X_{k}(A) = n) = {l \choose n} \sum_{j=0}^{n}(-1)^j {n \choose j}[{s+n-l-j \choose m}/{s \choose m}]^k$

ดังนั้นสำหรับ OP ที่เรามีและ 5 ฉันได้พยายามบางอย่างที่มีค่าของใกล้ประมาณการสำหรับปัญหาสะสมคูปองคลาสสิก (729 แพ็ค) และฉันมีความน่าจะเป็นของ 90.02% สำหรับ k เท่ากับ700 $l=s=n=424$ $m=5$ $k$

ดังนั้นจึงไม่ไกลจากขอบเขตบน :)

— Jundiaius
แหล่งที่มา

และคำตอบที่ดีนี้จะ?

— ziggystar

เกี่ยวกับ 3642 สติกเกอร์แบบสุ่ม ดังนั้นขอบเขตบนของ "ปัญหา 5 แพ็ค" จึงเป็นสิ่งที่น้อยกว่า 729 แพ็ค

— Jundiaius

เมื่อวันก่อนฉันเจอกระดาษที่ตอบคำถามที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด:

http://www.unige.ch/math/folks/velenik/Vulg/Paninimania.pdf

หากฉันเข้าใจถูกต้องจำนวนแพ็คที่คุณต้องการซื้อจะเป็น:

$\binom{424}{5}\sum_{j=1}^{424}\left(-1\right)^{j+1}\frac{\binom{424}{j}}{\binom{424}{5}-\binom{424-j}{5}}$

อย่างไรก็ตามตามที่ eqperes ชี้ให้เห็นในความคิดเห็นคำถามเฉพาะที่ OP ถามนั้นจะกล่าวถึงในรายละเอียดในเอกสารอื่นที่ไม่สามารถเข้าถึงได้

ข้อสรุปสุดท้ายของพวกเขาแนะนำกลยุทธ์ดังต่อไปนี้ (สำหรับอัลบั้ม 660 สติ๊กเกอร์):

ซื้อกล่องสติกเกอร์ 5 ชิ้นจำนวน 100 กล่อง (500 สติกเกอร์รับประกันว่าจะแตกต่างกัน)
ซื้อสติกเกอร์ 5 ชุด 40 ชุดและเปลี่ยนเป็นชุดซ้ำจนกว่าคุณจะมีสติกเกอร์หายไปสูงสุด 50 ชุด
ซื้อสติกเกอร์ที่เหลือโดยตรงจาก Panini (ค่าใช้จ่ายเหล่านี้ประมาณ 1.5 เท่า)

นี่คือทั้งหมด 140 แพ็ค + ไม่เกิน 15 แพ็คพิเศษมูลค่าของสติกเกอร์ (โดยค่าใช้จ่าย) ที่ซื้อมาในแฟชั่นที่กำหนดเป้าหมายเทียบเท่ากับที่มากที่สุด155 แพ็ค

— Asuranceturix
แหล่งที่มา

ที่ดี! ดูเหมือนว่าอาร์กิวเมนต์กลางของผลลัพธ์ของพวกเขาจะอยู่ในบทความ"ปัญหาของนักสะสมที่มีภาพวาดกลุ่ม"ซึ่งเป็นเรื่องเศร้าที่ไม่ได้อยู่ในการเข้าถึงแบบเปิด

— Jundiaius

ฮ่าฮ่าเยี่ยมมาก! พวกเขายังพูดถึงรายละเอียดว่าการแลกเปลี่ยนมีผลต่อผลลัพธ์อย่างไร น่าสนใจมากขอบคุณ!

— Vidar S. Ramdal

คุณสามารถสรุปวิธีการแก้ไขปัญหาของ OP ที่ได้รับจากเอกสารได้หรือไม่? บางครั้งลิงก์หมดอายุและคำตอบนี้จะมีประโยชน์น้อยกว่า

— Andy

@Andy: ฉันได้แก้ไขคำตอบเพื่อแก้ไขข้อกังวลของคุณ แต่มันไม่ได้เป็นคำตอบสำหรับคำถามเดิม น่าเสียดายที่กระดาษต้นฉบับที่ให้คำตอบนั้นยากเกินกว่าจะอ่านให้ฉันขอโทษ

— Asuranceturix

ฉันสงสัยเกี่ยวกับกล่องบรรจุ 100 ชิ้นที่มีสติ๊กเกอร์ที่แตกต่างกันเท่านั้น ดูเหมือนว่ามันจะทำให้เกิดความยุ่งยากในการผลิตขนาดใหญ่และไม่จำเป็นเพื่อผลประโยชน์เพียงเล็กน้อย

— jwg