การทำความเข้าใจรูปร่างและการคำนวณแถบความเชื่อมั่นในการถดถอยเชิงเส้น

ฉันพยายามเข้าใจที่มาของรูปโค้งของแถบความเชื่อมั่นที่เกี่ยวข้องกับการถดถอยเชิงเส้น OLS และวิธีการที่เกี่ยวข้องกับช่วงความมั่นใจของพารามิเตอร์การถดถอย (ความชันและจุดตัด) ตัวอย่างเช่น (โดยใช้ R):

require(visreg)
fit <- lm(Ozone ~ Solar.R,data=airquality)
visreg(fit)

ปรากฏว่าวงดนตรีมีความเกี่ยวข้องกับขีด จำกัด ของเส้นที่คำนวณด้วยการสกัด 2.5% และความชัน 97.5% เช่นเดียวกับการสกัดกั้น 97.5% และความชัน 2.5% (แม้ว่าจะไม่มาก):

xnew <- seq(0,400)
int <- confint(fit)
lines(xnew, (int[1,2]+int[2,1]*xnew))
lines(xnew, (int[1,1]+int[2,2]*xnew))

สิ่งที่ฉันไม่เข้าใจมีสองสิ่ง:

1. สิ่งที่เกี่ยวกับการรวมกันของความชัน 2.5% และการสกัดกั้น 2.5% รวมถึงความชัน 97.5% และการสกัดกั้น 97.5% สิ่งเหล่านี้ให้เส้นที่ชัดเจนนอกวงที่วางแผนไว้ด้านบน บางทีฉันอาจไม่เข้าใจความหมายของช่วงความมั่นใจ แต่ถ้าใน 95% ของกรณีที่การประมาณการของฉันอยู่ในช่วงความเชื่อมั่นสิ่งเหล่านี้ดูเหมือนจะเป็นผลลัพธ์ที่เป็นไปได้หรือไม่
2. อะไรเป็นตัวกำหนดระยะห่างขั้นต่ำระหว่างขีด จำกัด บนและล่าง (เช่นใกล้กับจุดที่เส้นสองเส้นที่เพิ่มเข้ามาด้านบนจุดตัด)

ฉันเดาว่าคำถามทั้งสองเกิดขึ้นเพราะฉันไม่รู้ / เข้าใจว่าวงดนตรีเหล่านี้คำนวณได้อย่างไร

ฉันจะคำนวณขีด จำกัด บนและล่างโดยใช้ช่วงความเชื่อมั่นของพารามิเตอร์การถดถอยได้อย่างไร (โดยไม่ต้องอาศัยการทำนาย () หรือฟังก์ชันที่คล้ายกันเช่นด้วยมือ) ฉันพยายามถอดรหัสฟังก์ชั่น Pred.lm ใน R แต่การเขียนโค้ดนั้นอยู่เหนือฉัน ฉันขอขอบคุณพอยน์เตอร์ที่มีต่อวรรณคดีหรือคำอธิบายที่เหมาะสมสำหรับผู้เริ่มต้นใช้งานสถิติ

ขอบคุณ

$X$$s_{\hat{Y}_{X}}$

$s_{\hat{Y}_{X}} = s_{Y|X}\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{\left(X-\bar{X}\right)^{2}}{\sum_{i=1}^{n}{\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}}}$

$s_{Y|X}$

$s_{Y|X} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}{\left(Y_{i}-\hat{Y}\right)^{2}}}{n-2}}$

$\hat{Y} \pm t_{\nu=n-2, \alpha/2}s_{\hat{Y}}$

$Y$$X$

$\hat{\beta}$$\hat{\alpha}$

เป็นคำถามที่ดี สิ่งสำคัญคือการเข้าใจแนวคิดเหล่านี้และพวกเขาไม่ตรงไปตรงมา

$\bar y$$\bar y$$\bar y$

เมื่อเรารวมช่วงความเชื่อมั่นทั้งหมดเข้าด้วยกันสำหรับทุก ๆ x ที่เป็นไปได้มันจะให้แถบสีเทาที่เราเห็นในผลลัพธ์

ความหมายของการใช้งานคือเรามั่นใจ 95% ว่าเส้นการถดถอยที่แท้จริงอยู่ที่ไหนสักแห่งในเขตสีเทานั้น

เนื่องจากช่วงความเชื่อมั่นถูกคำนวณโดยใช้ช่วงความเชื่อมั่น 95% สำหรับแต่ละจุดจึงมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับ 95% CI สำหรับการสกัดกั้น ในความเป็นจริงที่ x = 0 ขอบของโซนสีเทาจะตรงกับ 95% CI สำหรับการสกัดกั้นเพราะนั่นคือวิธีที่เราสร้างแถบความเชื่อมั่น นั่นเป็นสาเหตุที่เส้นที่คุณเพิ่มด้านบนกระทบกับขอบของแถบสีเทาทางด้านซ้าย

อย่างไรก็ตามความลาดชันแตกต่างกันเล็กน้อย มันช่วยให้เกิดข้อ จำกัด ดังที่คุณเห็นด้านบน แต่ความชันและการสกัดกั้นไม่สามารถแยกกันได้ในการถดถอยเชิงเส้น ดังนั้นคุณไม่สามารถพูดได้ว่า "จะเกิดอะไรขึ้นถ้าการสกัดกั้นอยู่ที่ช่วง CI ขั้นต่ำและความชันก็น้อยที่สุดด้วย" บรรทัดนี้จะสร้างจุดที่อยู่นอก 95% CI ของเราสำหรับ x จำนวนมาก ซึ่งหมายความว่าเรามั่นใจ 95% ที่ไม่ใช่สายการถดถอยที่แท้จริงของเรา

$\bar x$$s_{{\hat y}_x}$$(x - \bar x)$$x = \bar x$

มีจุดที่เหมาะสมที่นี่ซึ่งสามารถช่วยให้คุณเห็นภาพของสิ่งเหล่านี้: http://www.stat.duke.edu/~tjl13/s101/slides/unit6lec3H.pdf