ฉันจะเริ่มด้วยการบอกว่านี่เป็นปัญหาการบ้านตรงๆจากหนังสือ ฉันใช้เวลาสองสามชั่วโมงเพื่อค้นหาวิธีการค้นหาค่าที่คาดหวังและตัดสินใจว่าฉันไม่เข้าใจอะไรเลย

Letมี CDFx ค้นหาสำหรับค่าเหล่านั้นของซึ่งมีอยู่$X$$F(x) = 1 - x^{-\alpha}, x\ge1$
$E(X)$$\alpha$$E(X)$

ฉันไม่รู้ว่าจะเริ่มต้นอย่างไร ฉันจะกำหนดค่าของมีอยู่ได้อย่างไร ฉันยังไม่รู้ว่าจะทำอย่างไรกับ CDF (ฉันสมมติว่านี่หมายถึง Cumulative Distribution Function) มีสูตรสำหรับค้นหาค่าที่คาดไว้เมื่อคุณมีฟังก์ชันความถี่หรือฟังก์ชันความหนาแน่น Wikipedia กล่าวว่า CDF ของสามารถนิยามได้ในรูปของฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นดังนี้:$\alpha$$X$$f$

$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$

เท่าที่ฉันได้รับ ฉันจะไปจากที่นี่ที่ไหน

แก้ไข: ฉันหมายถึงการใส่x$x\ge1$

แก้ไขสำหรับความคิดเห็นจากความน่าจะเป็นเชิงตรรกะ

โปรดทราบว่าในกรณีนี้ดังนั้นการแจกแจงมีความน่าจะเป็นน้อยกว่าดังนั้นและคุณจะต้องเพื่อเพิ่ม cdf0 1 x ≥ 1 α > $F(1)=0$$0$$1$$x \ge 1$$\alpha > 0$

ถ้าคุณมี cdf คุณต้องการแอนติอินทิกรัลหรืออนุพันธ์ซึ่งมีการกระจายอย่างต่อเนื่องเช่นนี้

$$f(x) = \frac{dF(x)}{dx}$$

และในสิ่งที่ตรงกันข้ามสำหรับ1x ≥ $F(x) = \int_{1}^x f(t)\,dt$$x \ge 1$

จากนั้นเพื่อค้นหาความคาดหวังที่คุณต้องการค้นหา

$$E[X] = \int_{1}^{\infty} x f(x)\,dx$$

โดยมีเงื่อนไขว่า ฉันจะปล่อยแคลคูลัสให้คุณ

ไม่จำเป็นต้องใช้ฟังก์ชันความหนาแน่น

รวม 1 ลบ CDF

เมื่อคุณมีตัวแปรสุ่มที่มีการสนับสนุนที่ไม่เป็นลบ (นั่นคือตัวแปรมีความหนาแน่น / ความน่าจะเป็นแบบไม่เป็นศูนย์สำหรับค่าบวกเท่านั้น) คุณสามารถใช้คุณสมบัติต่อไปนี้:$X$

$$E(X) = \int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x$$

คุณสมบัติที่คล้ายกันนำไปใช้ในกรณีของตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่อง

พิสูจน์

ตั้งแต่ ,$1 - F_X(x) = P(X\geq x) = \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t$

$$\int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty P(X\geq x) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t \mathrm{d}x$$

จากนั้นเปลี่ยนลำดับการรวม:

$$= \int_0^\infty \int_0^t f_X(t) \,\mathrm{d}x \mathrm{d}t = \int_0^\infty \left[xf_X(t)\right]_0^t \,\mathrm{d}t = \int_0^\infty t f_X(t) \,\mathrm{d}t$$

การรับรู้ว่าเป็นตัวแปรจำลองหรือทำการทดแทนอย่างง่ายและ ,t = x d t = d$t$$t=x$$\mathrm{d}t = \mathrm{d}x$

$$= \int_0^\infty x f_X(x) \,\mathrm{d}x = \mathrm{E}(X)$$

การแสดงที่มา

ฉันใช้ส่วนสูตรสำหรับกรณีพิเศษของบทความค่าคาดหวังในWikipediaเพื่อฟื้นฟูหน่วยความจำของฉันในการพิสูจน์ ส่วนนั้นยังมีบทพิสูจน์สำหรับกรณีตัวแปรสุ่มโดยสิ้นเชิงและสำหรับกรณีที่ไม่มีฟังก์ชั่นความหนาแน่นอยู่

ผลลัพธ์นั้นครอบคลุมถึงช่วงเวลาที่ของเช่นกัน นี่คือการแสดงกราฟิก: $k$$X$

ฉันคิดว่าคุณจริงหมายถึงมิฉะนั้น CDF คือว่างเปล่าเป็น 0F ( 1 ) = 1 - 1 - α = 1 - 1 = $x\geq 1$$F(1)=1-1^{-\alpha}=1-1=0$

$x$$x \to \infty$$0\leq F(y)\leq F(x)\leq 1$$y\leq x$

ดังนั้นถ้าเราต่อ CDF เราจะได้รับ:

$$0\leq 1-x^{-\alpha}\leq 1\implies 1\geq \frac{1}{x^{\alpha}}\geq 0\implies x^{\alpha}\geq 1 > 0\implies x\geq 1 \>.$$

$x$$x\geq 1$α > $\lim_{x\to\infty} F(x)=1$$\alpha>0$

ในการหาว่ามีความคาดหวังอยู่จริงเราต้องการ:

$$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}E(X)=\int_{1}^{\infty}x\frac{\rd F(x)}{\rd x}\rd x=\alpha\int_{1}^{\infty}x^{-\alpha} \rd x$$

และสุดท้ายนี้แสดงให้เห็นว่าการแสดงออกว่าสำหรับจะมีชีวิตอยู่เราจะต้องมีซึ่งจะหมายถึง 1 นี้สามารถขยายการกำหนดค่าของซึ่ง 'TH ขณะดิบที่มีอยู่- α < - 1 α > 1 α r E ( X r$E(X)$$-\alpha<-1$$\alpha>1$$\alpha$$r$$E(X^{r})$

คำตอบที่ต้องการเปลี่ยนแปลงคำสั่งนั้นน่าเกลียดโดยไม่จำเป็น นี่คือการพิสูจน์ 2 บรรทัดที่หรูหรากว่า

$\int udv = uv - \int vdu$

ตอนนี้ใช้และ$du = dx$$v = 1- F(x)$

$\int_{0}^{\infty} [ 1- F(x)] dx = [x(1-F(x)) ]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= 0 + \int_{0}^{\infty} x f(x)dx$

$= \mathbb{E}[X] \qquad \blacksquare$