ชื่อของการเข้าใจผิดทางสถิติคืออะไรโดยผลของการโยนเหรียญก่อนหน้ามีอิทธิพลต่อความเชื่อเกี่ยวกับการพลิกเหรียญครั้งต่อไป?

28

อย่างที่เราทุกคนรู้กันดีว่าถ้าคุณพลิกเหรียญที่มีโอกาสเท่ากันในการลงจอดหัวเหมือนหางจากนั้นถ้าคุณพลิกเหรียญหลายครั้งครึ่งเวลาคุณจะได้หัวและครึ่งเวลาคุณจะได้หาง

เมื่อพูดถึงเรื่องนี้กับเพื่อนพวกเขาบอกว่าถ้าคุณต้องพลิกเหรียญ 1,000 ครั้งและให้บอกว่า 100 ครั้งแรกที่มันตกลงมาจากหัวแล้วโอกาสในการลงหางก็เพิ่มขึ้น (ตรรกะก็คือถ้ามันไม่เอนเอียง) จากนั้นตามเวลาที่คุณพลิกมัน 1,000 ครั้งคุณจะมีประมาณ 500 หัวและ 500 ก้อยดังนั้นก้อยจะต้องมีโอกาสมากขึ้น)

ฉันรู้ว่าการเข้าใจผิดเพราะผลลัพธ์ที่ผ่านมาไม่มีผลต่อผลลัพธ์ในอนาคต มีชื่อสำหรับการเข้าใจผิดที่เฉพาะเจาะจงหรือไม่? นอกจากนี้ยังมีคำอธิบายที่ดีกว่าว่าทำไมนี่ถึงผิดพลาด?

probability distributions sampling

— oggmonster
แหล่งที่มา

8

หากคุณพลิกเหรียญ 100 ครั้งและตกลงมา 100 ครั้งอัตราต่อรองคือว่าไม่ใช่เหรียญที่ไม่เอนเอียง

— Robert

1

@ Robert วิธีนี้เหรอ? เนื่องจากการเปิดแต่ละครั้งนั้นไม่ขึ้นอยู่กับแต่ละโอกาสโอกาสที่จะเป็น H 100x เท่ากับว่าเป็นลำดับที่ไม่ตรงกันของ H & T หรือ 100x T

— yuritsuki

11

@thinveveiledquestionmark ฉันต้องการเล่นโป๊กเกอร์กับคุณ ... แต่ถ้าฉันได้รับอนุญาตให้จัดการ ฉันคิดว่าโรเบิร์ตหมายความว่าการรับรู้ 100 H ในการทดลอง 100 ครั้งจะเปลี่ยนความเชื่อของเขาจากเหรียญที่ยุติธรรมกับเหรียญที่ไม่ยุติธรรม จากข้อมูลนี้ 100 H ในการทดลอง 100 ครั้งคุณจะต้องมีความแข็งแกร่งมากก่อนเพื่อไม่เปลี่ยนตำแหน่งหลัง

Pr (H)

$\Pr(H)$

— Sycorax พูดว่า Reinstate Monica

5

@thinlyveiledquestionmark คุณต้องระวัง เมื่อให้การพลิกที่เป็นอิสระแต่ละลำดับของ H หรือ T 100 ครั้งนั้นมีโอกาสเท่ากัน: 100H น่าจะเท่ากับ 50H 50T และน่าจะเท่ากับ HTHTHTHT ... HT และอื่น ๆ แต่มีโอกาสน้อยที่จะได้ 100H มากกว่าที่จะได้รับทั้งหมด 50 หัวเนื่องจากมี

10^{29}

$10^{29}$ วิธีที่แตกต่างกันที่จะมี 50 พลิกหัวขึ้นมาและ 50 พลิกขึ้นมาหาง

— Lagerbaer

3

ความคิดของโรเบิร์ตนั้นสมบูรณ์และอาจเป็นที่มาของ "การเข้าใจผิด" ในตอนแรก สมองของเรามีสายใน Bayesian ไม่ใช่ความรู้สึกบ่อย ข้อมูล "สมบูรณ์แบบ" เช่น "เหรียญยุติธรรมอย่างยิ่ง" มีอยู่จริงในธรรมชาติ ดังนั้น 100 Heads ต่อการพยายาม 100 ครั้งจะทำให้เราเชื่อว่า

P (H e a d s) > 0.5

$P(Heads) > 0.5$

— PA6OTA

41

มันเรียกว่าการเข้าใจผิดของนักพนัน

— abaumann
แหล่งที่มา

32

ประโยคแรกของคำถามนี้รวมการเข้าใจผิดอื่น (ที่เกี่ยวข้อง):

"ในฐานะที่เราทุกคนรู้ว่าถ้าคุณพลิกเหรียญที่มีโอกาสเท่าเทียมกันในการเชื่อมโยงไปถึงหัวเป็นมันไม่หางแล้วถ้าคุณพลิกเหรียญหลายครั้งครึ่งเวลาที่คุณจะได้รับหัวและครึ่งหนึ่งของเวลาที่คุณจะได้รับหาง ."

ไม่เราจะไม่ได้สิ่งนั้นเราจะไม่ได้รับครึ่งเวลาและก้อยครึ่งเวลา หากเราได้รับสิ่งนั้นนักการพนันจะไม่เข้าใจผิดเลย การแสดงออกทางคณิตศาสตร์สำหรับคำสั่งทางวาจานี้มีดังนี้: สำหรับบางคน "ใหญ่" (แต่ จำกัด )เรามีซึ่งเห็นได้ชัดว่าหมายถึงจำนวน คูณหัวเหรียญ ตั้งแต่เป็นประโยคแล้วนอกจากนี้ยังมี จำกัด และมีค่าแตกต่างจากn'แล้วจะเกิดอะไรขึ้นหลังจากการพลิก ? ไม่ว่ามันจะลงหัวหรือไม่ ในทั้งสองกรณี $n'$ $n_{h} = \frac {n'}{2}$ $n_{h}$ $n'$ $n'+1$ $n'$ $n'+1$ $n_h$ เพิ่งหยุดเท่ากับ "ครึ่งหนึ่งของจำนวนการโยน"

แต่บางทีสิ่งที่เราหมายจริงๆเป็น "ขนาดใหญ่เหลือล้น" ? จากนั้นเราก็ระบุ $n$

lim_{n \to \infty} n_{h} = \frac{n}{2}

$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2}$

แต่ที่นี่ RHS ("ด้านขวามือ") มีซึ่ง LHS ("ด้านซ้ายมือ") ได้ผ่านไปยังอนันต์ ดังนั้น RHS ก็ไม่มีที่สิ้นสุดเช่นกันและสิ่งที่คำกล่าวนี้บอกว่าจำนวนครั้งที่เหรียญจะตกลงสู่หัวเท่ากับอนันต์ถ้าเราโยนเหรียญเป็นจำนวนอนันต์ (การหารด้วยนั้นเล็กน้อย): $n$ $2$

lim_{n \to \infty} n_{h} = \frac{n}{2} = \infty

$\lim_{n\rightarrow \infty}n_{h} = \frac n{2} = \infty$

นี่เป็นข้อความที่ถูกต้องเป็นหลัก แต่ไร้ประโยชน์และเห็นได้ชัดว่าไม่ใช่สิ่งที่เรามีอยู่ในใจ

โดยรวมแล้วคำแถลงในคำถามไม่ได้ถืออยู่โดยไม่คำนึงว่า "การโยนทั้งหมด" ถือว่ามีขอบเขตหรือไม่

บางทีเราก็ควรระบุ

lim_{n \to \infty} \frac{n_{h}}{n} = \frac{1}{2} ?

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac {n_{h}}{n} = \frac 1{2} \;\;?$

ก่อนนี้แปลเป็น "อัตราส่วนของจำนวนหัวที่ดินต่อจำนวนรวมของการโยนมีค่าเป็นเมื่อจำนวนของการโยนมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด" ซึ่งเป็นคำสั่งที่แตกต่าง - ไม่มี "ครึ่งหนึ่งของการโยนทั้งหมด" ที่นี่ นอกจากนี้นี่คือความน่าจะเป็นที่บางครั้งยังรับรู้ว่าเป็นขีด จำกัด ที่กำหนดไว้สำหรับความถี่สัมพัทธ์ ปัญหาเกี่ยวกับคำสั่งนี้คือมันมีอยู่ในรูปแบบ LHS ไม่แน่นอน: ทั้งตัวเศษและส่วนจะไปไม่สิ้นสุด $1/2$

อืมมานำคลังแสงแบบสุ่ม กำหนดตัวแปรสุ่มว่ารับค่าหากการโยน th มีหัวขึ้นมาเป็นถ้าเป็นแบบก้อย จากนั้นเรามี $X_i$ $1$ $i$ $0$

\frac{n_{h}}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$\frac {n_{h}}{n} = \frac 1n \sum_{i=1}^nX_i$

อย่างน้อยตอนนี้เราสามารถรัฐ

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = \frac{1}{2} ?

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i = \frac 1{2} \;\;?$

ไม่ นี่เป็นข้อ จำกัด ที่กำหนดไว้แล้ว จะอนุญาตให้เป็นไปได้ทั้งหมดความเข้าใจของลำดับของ 's และดังนั้นจึงไม่ได้รับประกันว่าวงเงินที่จะมีอยู่ให้อยู่คนเดียวมันเท่ากับ1/2ในความเป็นจริงคำสั่งดังกล่าวสามารถถูกมองว่าเป็นข้อ จำกัดในลำดับและมันจะทำลายความเป็นอิสระของการโยน $X$ $1/2$

สิ่งที่เราสามารถพูดได้ก็คือผลรวมเฉลี่ยนี้มาบรรจบกันในความน่าจะเป็น ("อ่อนแอ") ถึง (Bernoulli - กฎหมายอ่อนแอของคนจำนวนมาก) $1/2$

lim_{n \to \infty} Pr (| \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} - \frac{1}{2} | < ε) = 1, \forall ε > 0

$\lim_{n\rightarrow \infty}\text {Pr}\left(\left|\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i-\frac 12 \right|<\varepsilon\right) =1 , \;\;\;\forall \varepsilon >0$

และในกรณีที่อยู่ในระหว่างการพิจารณาว่ามันเข้าหากันเกือบแน่นอน ("มั่น") (Borel - กฎหมายที่แข็งแกร่งของคนจำนวนมาก)

Pr (lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = \frac{1}{2}) = 1,

$\text {Pr}\left(\lim_{n\rightarrow \infty}\frac 1n \sum_{i=1}^nX_i=\frac 12 \right) =1 , \;\;\;$

แต่สิ่งเหล่านี้เป็นข้อความที่น่าจะเป็นเกี่ยวกับความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับความแตกต่างระหว่างและและไม่เกี่ยวกับขีด จำกัด ของความแตกต่าง (ซึ่งตามคำแถลงเท็จควรเป็นศูนย์ - และไม่ใช่) $n_h/n$ $1/2$ $n_h-n_t$

เป็นที่ยอมรับกันว่าต้องใช้ความพยายามทางปัญญาอย่างทุ่มเทในการทำความเข้าใจทั้งสองข้อความนี้และวิธีที่พวกเขาแตกต่างกัน (ใน "ทฤษฎี" และ "การปฏิบัติ") จากบางบทก่อนหน้านี้ - ฉันยังไม่ได้อ้างถึงความเข้าใจลึกซึ้งเช่นนี้

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

1

บางทีคำตอบทางการศึกษาที่ดีที่สุดที่ฉันเคยอ่านมานานแล้ว ทำได้ดี.

— Pete Mancini

@AlcosPapadopoulos ฉันคิดว่ามันจะช่วยให้คำตอบที่จะนำสิ่งที่เราสามารถพูดในสูตรเหมือนที่คุณทำกับสูตรที่ผิดพลาด ฉันคิดว่ามันเหมือนกับ \ lim P (\ frac {1} {n} \ sum X_i) = 1?

— kutschkem

@kutschkem ข้อเสนอแนะที่ยอดเยี่ยม เพิ่งได้

— Alecos Papadopoulos

12

การเข้าใจผิดนี้มีหลายชื่อ

1) อาจเป็นที่รู้จักกันดีในนามการเข้าใจผิดของนักพนัน

2) บางครั้งเรียกว่า ' กฎของจำนวนน้อย ' (ดูที่นี่ด้วย ) (เนื่องจากเกี่ยวข้องกับแนวคิดที่ว่าลักษณะประชากรจะต้องสะท้อนในกลุ่มตัวอย่างเล็ก ๆ ) - ซึ่งฉันคิดว่าเป็นชื่อที่เรียบร้อยสำหรับความแตกต่างกับกฎหมาย จำนวนมาก แต่น่าเสียดายที่มีการใช้ชื่อเดียวกันกับการแจกแจงปัวซง (และบางครั้งนักคณิตศาสตร์ใช้เพื่อหมายถึงสิ่งอื่นอีก) ซึ่งอาจทำให้สับสน

3) ในหมู่คนที่เชื่อว่าการเข้าใจผิดบางครั้งเรียกว่า ' กฎแห่งค่าเฉลี่ย ' ซึ่งโดยเฉพาะอย่างยิ่งมีแนวโน้มที่จะถูกเรียกใช้หลังจากการวิ่งโดยไม่มีผลลัพธ์ที่จะยืนยันว่าผลลัพธ์นั้นเป็น 'ครบกำหนด' แต่แน่นอนว่าไม่มีการวิ่งระยะสั้นเช่นนี้ กฎหมายที่มีอยู่ - ไม่มีอะไรจะทำหน้าที่ 'ชดเชยสำหรับความไม่สมดุลเริ่มต้น - เพียงวิธีความแตกต่างเริ่มต้นจะถูกเช็ดออกโดยปริมาณของค่าต่อมาที่ตัวเองมีค่าเฉลี่ยของ 1/2

พิจารณาการทดลองที่โยนเหรียญยุติธรรมซ้ำ ๆ ให้เป็นจำนวนของหัวและเป็นจำนวนของหางที่สังเกตได้จนถึงตอนท้ายของการทดลอง -th โปรดทราบว่า $H_i$ $T_i$ $i$ $i=H_i+T_i$

มันเป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะทราบว่าในระยะยาว (เช่น ) ในขณะที่น่าจะเป็น ,เติบโตด้วยการเพิ่ม - แน่นอนมันเติบโตโดยไม่มีขอบเขต ไม่มีสิ่งใดที่ "ดันกลับเป็น 0" $n\to\infty$ $\frac{H_n}{n}$ $\frac{_1}{^2}$ $E|H_n-T_n|$ $n$

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

1

คุณกำลังคิดของ 'สุ่ม'? การโยนเหรียญที่ยุติธรรม (หรือการหมุนของเหรียญที่ตายแล้ว) นั้นสุ่ม (เช่นอิสระ) ในแง่ที่ว่ามันไม่ได้ขึ้นอยู่กับการโยนเหรียญก่อนหน้านี้ ความจริงที่ว่าเหรียญถูกพลิกร้อยครั้งโดยมีร้อยหัวไม่ได้เปลี่ยนความจริงที่ว่าการพลิกครั้งต่อไปมีโอกาส 50/50 ในการเป็นหัวหน้า

ในทางตรงกันข้ามความน่าจะเป็นของการวาดการ์ดบางใบที่ดึงการ์ดจากสำรับที่ไม่มีการเปลี่ยนแทนนั้นไม่ได้สุ่มเพราะความเป็นไปได้ในการจั่วไพ่บางใบจะเปลี่ยนโอกาสในการจั่วไพ่ในการจั่วครั้งต่อไป มันจะสุ่ม)

— user63551
แหล่งที่มา

stochastic ไม่ได้หมายความว่าเป็นอิสระ

— Ben Voigt

1

"สมมติว่าการจัดงานที่เป็นธรรม ... การพลิกครั้งต่อไปมีโอกาส 50/50 ที่จะเป็นผู้นำ"ฉันคิดว่าคุณมีความจริงทางปรัชญาที่นี่ คุณสามารถขยายคำตอบเพื่ออธิบายว่าเกิดอะไรขึ้นถ้ามันไม่ยุติธรรม (AKA เป็นประจำ?)

— hyde

0

การเพิ่มคำตอบของ Glen_b และ Alecos ให้นิยามเป็นจำนวนหัวในการทดลองครั้งแรก ผลคุ้นเคยใช้ประมาณปกติที่จะมีสองชื่อคือว่าจะอยู่ที่ประมาณ4}) ตอนนี้ก่อนที่จะสังเกต 100 การโยนครั้งแรกเพื่อนของคุณถูกต้องแล้วว่ามีโอกาสที่ดีที่จะใกล้เคียงกับ 500 ที่จริงแล้ว $X_n$ $n$ $X_n$ $N(n/2, \sqrt{n/4})$ $X_{1000}$

$P( 469 < X_{1000} < 531) \approx .95$ 0.95

อย่างไรก็ตามหลังจากการสังเกตให้กำหนดเป็นจำนวนหัวในการทดลอง 900 ครั้งสุดท้ายจากนั้น $X_{100} =100$ $Y_{900}$

$P( 469 < X_{1000} < 531 \mid X_{100}=100) = P( 369 < Y_{900} < 431) \approx .1$

ตั้งแต่ประมาณ15) $Y_{900}$ $N(450, 15)$

ดังนั้นหลังจากสังเกต 100 หัวในการทดลอง 100 ครั้งแรกไม่มีความน่าจะเป็นสูงในการสังเกตใกล้ 500 สำเร็จในการทดลอง 1,000 ครั้งแรกโดยถือว่าแน่นอนว่าเหรียญมีความยุติธรรม โปรดทราบว่านี่เป็นตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมที่แสดงให้เห็นว่าความไม่สมดุลเบื้องต้นไม่น่าจะได้รับการชดเชยในระยะสั้น

เพิ่มเติมโปรดทราบว่าหากแล้ว $n=1,000,000$

$P(499,020 < X_{1,000,000} < 500,980) \approx .95$

แต่ผลกระทบของความไม่สมดุลในการโยน 100 ครั้งแรกนั้นเล็กน้อยในระยะยาวตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

$P(499,020 < X_{1,000,000} < 500,980 \mid X_{100} = 100) = P( 498,920 < Y_{999,900} < 500880) \approx .949$

— JSK
แหล่งที่มา

0

คุณกำลังอ้างถึงการเข้าใจผิดของนักพนันถึงแม้ว่าสิ่งนี้จะไม่ถูกต้องทั้งหมด

จริง ๆ ถ้าใช้ถ้อยคำว่า "ให้สันนิษฐานว่าเป็นเหรียญที่มีความยุติธรรมและมีข้อสังเกตตามลำดับของผลลัพธ์การประเมินความน่าจะเป็นเบื้องต้นของเหรียญ" นี่คือสิ่งที่ชัดเจนมากขึ้น

แท้จริงแล้ว "การเข้าใจผิด " นั้นเกี่ยวข้องกับเหรียญยุติธรรม (ซึ่งสันนิษฐาน) เท่านั้นซึ่งผลิตภัณฑ์ต่าง ๆ ของโพรบจะเท่ากัน อย่างไรก็ตามนี่เป็นการตีความที่ตรงกันข้ามกับกรณีศึกษาที่คล้ายกันกับเหรียญที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่สมมาตร / ลำเอียง

สำหรับความกระจ่างเพิ่มเติมของนี้ (และบิดเล็กน้อย) ดูคำถามนี้

ตรงนี้เป็นเหมือนการเข้าใจผิดที่ใช้ในการศึกษาทางสถิติจำนวนมากที่มีความสัมพันธ์หมายถึงเวรกรรม แต่อาจเป็นคำใบ้ของความสัมพันธ์เชิงสาเหตุหรือสาเหตุทั่วไป

— Nikos M.
แหล่งที่มา

0

เพียงสังเกตว่าถ้าคุณได้รับหัวหรือก้อยขนาดใหญ่ติดต่อกันคุณอาจจะดีกว่าที่จะทบทวนสมมติฐานก่อนหน้านี้ว่าเหรียญนั้นยุติธรรม

— เอวราแฮม
แหล่งที่มา