ฟังก์ชันการสูญเสียเปอร์เซ็นไทล์

11

วิธีแก้ไขปัญหา:

min_{m} E [| m - X |]

$\min_{m} \; E[|m-X|]$

เป็นที่รู้จักกันดีว่าเป็นค่ามัธยฐานของ $X$ แต่ฟังก์ชั่นการสูญเสียมีลักษณะอย่างไรสำหรับเปอร์เซ็นไทล์อื่น ๆ เช่นเปอร์เซ็นไทล์ที่ 25 ของ X เป็นวิธีแก้:

min_{m} E [L (m, X)]

$\min_{m} \; E[ L(m,X) ]$

คืออะไร $L$ ในกรณีนี้

expected-value loss-functions

— Cam.Davidson.Pilon
แหล่งที่มา

12

ให้ $I$ เป็นฟังก์ชันตัวบ่งชี้: มันเท่ากับ $1$ สำหรับอาร์กิวเมนต์ที่แท้จริงและ $0$ อย่างอื่น เลือก $0\lt\alpha\lt 1$ และตั้งค่า

Λ_{α} (x) = α x I (x \geq 0) - (1 - α) x I (x < 0) .

$\Lambda_\alpha(x)=\alpha x\, I(x\ge 0) - (1-\alpha)x\, I(x\lt 0).$

รูป

ตัวเลขนี้แปลง $\Lambda_{1/5}$ {1/5} มันใช้อัตราส่วนภาพที่ถูกต้องเพื่อช่วยคุณวัดความลาดชันซึ่งเท่ากับ $-4/5$ ทางด้านซ้ายและ $+1/5$ ทางด้านขวา ในกรณีนี้การทัศนศึกษาข้างต้น $0$ จะหนัก downweighted เมื่อเทียบกับการทัศนศึกษาด้านล่าง0 $0$

นี้เป็นฟังก์ชั่นตามธรรมชาติที่จะลองเนื่องจากค่าน้ำหนักมันที่เกินที่แตกต่างกว่าที่น้อยกว่า0ลองคำนวณการสูญเสียที่เกี่ยวข้องแล้วเพิ่มประสิทธิภาพมัน $x$ $0$ $x$ $0$

การเขียนสำหรับฟังก์ชันการแจกแจงของและการตั้งค่า , คำนวณ $F$ $X$ $L_\alpha(m,x) = \Lambda_\alpha(x-m)$

\begin{aligned} E_{F} (L_{α} (m, X)) & = \int_{R} Λ_{α} (x - m) d F (x) \\ = α \int_{R} I (x \geq m) (x - m) d F (x) - (1 - α) \int_{R} (x - m) I (x < m) d F (x) \\ = α \int_{m}^{\infty} (x - m) d F (x) - (1 - α) \int_{- \infty}^{m} (x - m) d F (x) . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}_F(L_\alpha(m,X))&=\int_\mathbb{R} \Lambda_\alpha(x-m)dF(x)\\ &=\alpha\int_\mathbb{R} I(x\ge m)(x-m) dF(x) - (1-\alpha)\int_\mathbb{R} (x-m)I(x\lt m) dF(x)\\ &=\alpha\int_m^\infty(x-m)dF(x) - (1-\alpha)\int_{-\infty}^m(x-m) dF(x). }$

รูปที่ 2

ขณะที่แตกต่างกันไปในภาพนี้กับมาตรฐานปกติกระจายพื้นที่น่าจะเป็นน้ำหนักรวมของพล็อต (เส้นโค้งเป็นกราฟของ ) พล็อตด้านขวามือสำหรับแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนที่สุดว่าผลกระทบของการลดน้ำหนักค่าบวกโดยไม่ต้องลดน้ำหนักลง สมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด พล็อตตรงกลางแสดงให้เห็นว่าเหมาะสมที่สุดโดยปริมาณหมึกสีน้ำเงินทั้งหมด (แทน ) มีขนาดเล็กที่สุดเท่าที่จะทำได้ $m$ $F$ $\Lambda_{1/5}$ $\Lambda_{1/5}(x-m)dF(x)$ $m=0$ $\mathbb{E}_F(L_{1/5}(m,X))\$

ฟังก์ชั่นนี้มีความแตกต่างและดังนั้นจึงสามารถพบ extrema ได้โดยการตรวจสอบจุดวิกฤติ การใช้กฎลูกโซ่และทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสเพื่อให้ได้มาซึ่งอนุพันธ์เทียบกับการให้ $m$

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial m} E_{F} (L_{α} (m, X)) & = α (0 - \int_{m}^{\infty} d F (x)) - (1 - α) (0 - \int_{- \infty}^{m} d F (x)) \\ = F (m) - α . \end{aligned}

$\eqalign{ \frac{\partial}{\partial m}\mathbb{E}_F(L_\alpha(m,X))&=\alpha\left(0-\int_m^\infty dF(x)\right) - (1-\alpha)\left(0 - \int_{-\infty}^m dF(x)\right)\\ &= F(m) - \alpha. }$

สำหรับการกระจายอย่างต่อเนื่องนี้มักจะมีวิธีการแก้ซึ่งโดยความหมายใด ๆ quantile ของXสำหรับการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องสิ่งนี้อาจไม่มีวิธีแก้ปัญหา แต่จะมีอย่างน้อยหนึ่งซึ่งสำหรับทั้งหมดและสำหรับทั้งหมด : นี้ (ตามคำนิยาม) เป็น quantile ของx $m$ $\alpha$ $X$ $m$ $F(x)-\alpha\lt 0$ $x\lt m$ $F(x)-\alpha\ge 0$ $x\ge m$ $\alpha$ $X$

ในที่สุดเนื่องจากและเป็นที่ชัดเจนว่าทั้งและจะลดการสูญเสียนี้ให้น้อยที่สุด นั่นทำให้หมดการตรวจสอบจุดวิกฤติซึ่งแสดงว่าเหมาะสมกับใบเสร็จ $\alpha\ne 0$ $\alpha\ne 1$ $m\to-\infty$ $m\to\infty$ $\Lambda_\alpha$

เป็นกรณีพิเศษคือการสูญเสียที่แสดงใน คำถาม. $\mathbb{E}_F(2L_{1/2}(m,X)) = \mathbb{E}_F\left(\left|m-x\right|\right)$

— whuber
แหล่งที่มา

ฉันขอขอบคุณความพยายามที่คุณใส่ในการแสดงขาดทุนที่คาดว่าจะลดลงจากจุดที่ถูกต้องเมตรฉันสงสัยว่าจะทำอย่างไรกับตัวเองเพื่อคำตอบของฉันเอง แต่คำอธิบายของคุณนั้นดี (+1)

m

$m$

2

คุณได้พิสูจน์แล้วว่ารูปภาพมีมูลค่า 1,000 คำ ขอบคุณ @whuber =)

— Cam.Davidson.Pilon

8

บทความนี้มีคำตอบของคุณ หากต้องการเจาะจง ฟังก์ชั่นการสูญเสียสามารถตีความได้ว่า 'สมดุล' ภูมิภาคมวลน่าจะแตกต่างกันทั่วผ่านการลบ\} สำหรับค่ามัธยฐานขอบเขตมวลเหล่านี้มีค่าเท่ากัน: ทำให้ฟังก์ชั่นการสูญเสียสัดส่วน (ในความคาดหมายค่าคงที่จะถูกละเลย) ไปยัง ซึ่งให้บทสรุปที่ต้องการสำหรับค่ามัธยฐาน

L_{0.25} (m, X) = | (X - m) (0.25 - 1 {X > m}) | .

$L_{0.25}(m,X) = \left| \left( X - m \right) \left(0.25 - \mathbf{1}\{ X > m \} \right) \right|.$

0.25

$0.25$

0.25 - 1 {X > m}

$0.25 - \mathbf{1}\{ X > m \}$

L_{0.5} (m, X) = | (X - m) (0.5 - 1 {X > m}) | = | (X - m) \times \pm 0.5 |,

$L_{0.5}(m,X) = \left| \left( X - m \right) \left(0.5 - \mathbf{1}\{ X > m \} \right) \right| = \left| \left( X - m \right) \times \pm 0.5 \right|,$

| X - m |,

$\left| X - m\right|,$

(+1) ทำได้ดีมาก! - ไม่ชัดเจนว่าจะค้นหาบทความ Wikipedia นั้นที่ไหน คุณต้องคิดถึงการถดถอยเชิงปริมาณ

— whuber

ขอบคุณ @Matthew นี่เป็นการค้นพบที่ยอดเยี่ยม ฉันชอบปรับสมดุลการตีความ

— Cam.Davidson.Pilon

ฉันยังคงไม่เข้าใจ. สิ่งนี้มาจากไหน ถ้า X อยู่เหนือควอนไทล์จะได้รับน้ำหนัก 0.75 มิฉะนั้น 0.25? แค่นี้เหรอ?

| (0.25) - 1 X > m) |

$|(0.25)-\mathbb{1}{X>m})|$

(X - m)

$(X-m)$

— IcannotFix