การสุ่มเปรียบเทียบแนวโน้ม / ฤดูกาลตามฤดูกาลในการพยากรณ์อนุกรมเวลา

ฉันมีพื้นหลังปานกลางในการพยากรณ์อนุกรมเวลา ฉันได้ดูหนังสือพยากรณ์หลายเล่มและฉันไม่เห็นคำถามต่อไปนี้ในคำถามใด ๆ

ฉันมีสองคำถาม:

1. ฉันจะกำหนดอย่างเป็นกลาง (ผ่านการทดสอบทางสถิติ) ได้อย่างไรหากอนุกรมเวลาที่กำหนดมี:

   • ฤดูสุ่มหรือฤดูกาลตามฤดูกาล
   • Stochastic Trend หรือแนวโน้มที่กำหนด

2. จะเกิดอะไรขึ้นถ้าฉันทำแบบจำลองอนุกรมเวลาของฉันเป็นแนวโน้ม / ฤดูกาลตามที่กำหนดเมื่อชุดมีองค์ประกอบสุ่มชัดเจน

ความช่วยเหลือใด ๆ ที่ตอบคำถามเหล่านี้จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก

ข้อมูลตัวอย่างสำหรับแนวโน้ม:

7,657
5,451
10,883
9,554
9,519
10,047
10,663
10,864
11,447
12,710
15,169
16,205
14,507
15,400
16,800
19,000
20,198
18,573
19,375
21,032
23,250
25,219
28,549
29,759
28,262
28,506
33,885
34,776
35,347
34,628
33,043
30,214
31,013
31,496
34,115
33,433
34,198
35,863
37,789
34,561
36,434
34,371
33,307
33,295
36,514
36,593
38,311
42,773
45,000
46,000
42,000
47,000
47,500
48,000
48,500
47,000
48,900

1) สำหรับคำถามแรกของคุณสถิติการทดสอบบางอย่างได้รับการพัฒนาและอภิปรายในวรรณกรรมเพื่อทดสอบโมฆะของความคงที่และโมฆะของหน่วยราก บางส่วนของเอกสารที่เขียนในเรื่องนี้มีดังต่อไปนี้:

เกี่ยวข้องกับแนวโน้ม:

• ผ้ากันเปื้อน, D. y Fuller, W. (1979a), การกระจายตัวประมาณค่าสำหรับอนุกรมเวลาแบบตอบโต้อัตโนมัติด้วยหน่วยราก, วารสารสมาคมสถิติอเมริกัน 74, 427-31
• ผ้ากันเปื้อน, D. y Fuller, W. (1981), สถิติอัตราส่วนความน่าจะเป็นสำหรับอนุกรมเวลาแบบตอบโต้อัตโนมัติพร้อมรูทยูนิต, Econometrica 49, 1057-1071
• Kwiatkowski, D. , Phillips, P. , Schmidt, P. y Shin, Y. (1992), การทดสอบสมมติฐานว่างของความคงที่กับทางเลือกของรูทยูนิต: เราแน่ใจได้อย่างไรว่าอนุกรมเวลาทางเศรษฐกิจมีหน่วยราก? , วารสารเศรษฐมิติที่ 54, 159-178
• Phillips, P. y Perron, P. (1988), การทดสอบหารูทยูนิตในการถดถอยอนุกรมเวลา Biometrika 75, 335-46
• Durlauf, S. y Phillips, P. (1988), แนวโน้มเปรียบเทียบกับการสุ่มการวิเคราะห์อนุกรมเวลา, Econometrica 56, 1333-54

เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบตามฤดูกาล:

• Hylleberg, S. , Engle, R. , Granger, C. y Yoo, B. (1990), การบูรณาการตามฤดูกาลและการรวมตัวกัน, วารสารเศรษฐมิติ 44, 215-38
• Canova, F. y Hansen, BE (1995), รูปแบบฤดูกาลเปลี่ยนแปลงตลอดเวลาหรือไม่? แบบทดสอบความมั่นคงตามฤดูกาลวารสารธุรกิจและสถิติเศรษฐกิจ 13, 237-252
• Franses, P. (1990), การทดสอบหารากหน่วยตามฤดูกาลในข้อมูลรายเดือน, รายงานทางเทคนิค 9032, สถาบันเศรษฐมิติ
• Ghysels, E. , Lee, H. y Noh, J. (1994), การทดสอบรากหน่วยในซีรีย์เวลาตามฤดูกาล ส่วนขยายเชิงทฤษฎีบางส่วนและการตรวจสอบ monte carlo, วารสารเศรษฐมิติ 62, 415-442

หนังสือเรียน Banerjee, A. , Dolado, J. , Galbraith, J. y Hendry, D. (1993), การรวมกลุ่ม, การแก้ไขข้อผิดพลาดและการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์ของข้อมูลที่ไม่คงที่, ตำราขั้นสูงในเศรษฐมิติ สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซฟอร์ดก็เป็นแหล่งอ้างอิงที่ดีเช่นกัน

2) ข้อกังวลที่สองของคุณได้รับการพิสูจน์จากวรรณกรรม หากมีการทดสอบรูทยูนิทแล้วสถิติแบบดั้งเดิมที่คุณจะใช้กับแนวโน้มเชิงเส้นจะไม่เป็นไปตามการแจกแจงมาตรฐาน ดูตัวอย่างเช่น Phillips, P. (1987), การถดถอยอนุกรมเวลาด้วยยูนิตราก, Econometrica 55 (2), 277-301

หากมีหน่วยรูทอยู่และถูกละเว้นความน่าจะเป็นที่จะปฏิเสธโมฆะที่ค่าสัมประสิทธิ์ของแนวโน้มเชิงเส้นลดลงเป็นศูนย์ นั่นคือเราจะสิ้นสุดการสร้างแบบจำลองแนวโน้มเชิงเส้นที่กำหนดขึ้นบ่อยเกินไปสำหรับระดับความสำคัญที่กำหนด ในการมีรูทยูนิตเราควรเปลี่ยนข้อมูลแทนโดยรับความแตกต่างเป็นประจำกับข้อมูล

3) สำหรับภาพประกอบถ้าคุณใช้ R คุณสามารถทำการวิเคราะห์ต่อไปนี้กับข้อมูลของคุณ

x <- structure(c(7657, 5451, 10883, 9554, 9519, 10047, 10663, 10864, 
  11447, 12710, 15169, 16205, 14507, 15400, 16800, 19000, 20198, 
  18573, 19375, 21032, 23250, 25219, 28549, 29759, 28262, 28506, 
  33885, 34776, 35347, 34628, 33043, 30214, 31013, 31496, 34115, 
  33433, 34198, 35863, 37789, 34561, 36434, 34371, 33307, 33295, 
  36514, 36593, 38311, 42773, 45000, 46000, 42000, 47000, 47500, 
  48000, 48500, 47000, 48900), .Tsp = c(1, 57, 1), class = "ts")

ก่อนอื่นคุณสามารถใช้การทดสอบ Dickey-Fuller สำหรับค่า null ของหน่วยรูท:

require(tseries)
adf.test(x, alternative = "explosive")
#   Augmented Dickey-Fuller Test
#   Dickey-Fuller = -2.0685, Lag order = 3, p-value = 0.453
#   alternative hypothesis: explosive

และการทดสอบ KPSS สำหรับสมมติฐานว่างกลับ, ความคงที่กับทางเลือกของความคงที่รอบแนวโน้มเชิงเส้น:

kpss.test(x, null = "Trend", lshort = TRUE)
#   KPSS Test for Trend Stationarity
#   KPSS Trend = 0.2691, Truncation lag parameter = 1, p-value = 0.01

ผลลัพธ์: การทดสอบ ADF ที่ระดับนัยสำคัญ 5% รากของหน่วยจะไม่ถูกปฏิเสธ การทดสอบ KPSS ค่าความไม่คงที่ของค่าคงที่ถูกปฏิเสธเนื่องจากเป็นโมเดลที่มีแนวโน้มเชิงเส้น

นอกเหนือจากบันทึก: การใช้ lshort=FALSEค่า null ของการทดสอบ KPSS จะไม่ถูกปฏิเสธที่ระดับ 5% อย่างไรก็ตามจะเลือก 5 lags; การตรวจสอบเพิ่มเติมไม่ได้แสดงไว้ที่นี่ชี้ให้เห็นว่าการเลือก 1-3 lags เหมาะสมสำหรับข้อมูลและนำไปสู่การปฏิเสธสมมติฐานว่าง

โดยหลักการแล้วเราควรชี้แนะตนเองโดยการทดสอบที่เราสามารถปฏิเสธสมมติฐานว่าง (แทนที่จะทดสอบที่เราไม่ได้ปฏิเสธ (เรายอมรับ) โมฆะ) อย่างไรก็ตามการถดถอยของซีรีส์ดั้งเดิมเกี่ยวกับแนวโน้มเชิงเส้นจะไม่น่าเชื่อถือ ในอีกด้านหนึ่ง R-square นั้นสูง (มากกว่า 90%) ซึ่งชี้ไปในวรรณกรรมว่าเป็นตัวบ่งชี้ถึงการถดถอยแบบเผด็จการ

fit <- lm(x ~ 1 + poly(c(time(x))))
summary(fit)
#Coefficients:
#                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
#(Intercept)       28499.3      381.6   74.69   <2e-16 ***
#poly(c(time(x)))  91387.5     2880.9   31.72   <2e-16 ***
#---
#Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
#
#Residual standard error: 2881 on 55 degrees of freedom
#Multiple R-squared:  0.9482,   Adjusted R-squared:  0.9472 
#F-statistic:  1006 on 1 and 55 DF,  p-value: < 2.2e-16

ในทางตรงกันข้ามส่วนที่เหลือจะมีความสัมพันธ์โดยอัตโนมัติ:

acf(residuals(fit)) # not displayed to save space

ยิ่งไปกว่านั้น null ของหน่วยหลักในส่วนที่เหลือไม่สามารถปฏิเสธได้

adf.test(residuals(fit))
#   Augmented Dickey-Fuller Test
#Dickey-Fuller = -2.0685, Lag order = 3, p-value = 0.547
#alternative hypothesis: stationary

ณ จุดนี้คุณสามารถเลือกรูปแบบที่จะใช้ในการรับการคาดการณ์ ตัวอย่างเช่นการพยากรณ์ตามแบบอนุกรมอนุกรมเวลาโครงสร้างและแบบจำลอง ARIMA สามารถรับได้ดังนี้

# StructTS
fit1 <- StructTS(x, type = "trend")
fit1
#Variances:
# level    slope  epsilon  
#2982955        0   487180 
# 
# forecasts
p1 <- predict(fit1, 10, main = "Local trend model")
p1$pred
# [1] 49466.53 50150.56 50834.59 51518.62 52202.65 52886.68 53570.70 54254.73
# [9] 54938.76 55622.79

# ARIMA
require(forecast)
fit2 <- auto.arima(x, ic="bic", allowdrift = TRUE)
fit2
#ARIMA(0,1,0) with drift         
#Coefficients:
#         drift
#      736.4821
#s.e.  267.0055
#sigma^2 estimated as 3992341:  log likelihood=-495.54
#AIC=995.09   AICc=995.31   BIC=999.14
#
# forecasts
p2 <- forecast(fit2, 10, main = "ARIMA model")
p2$mean
# [1] 49636.48 50372.96 51109.45 51845.93 52582.41 53318.89 54055.37 54791.86
# [9] 55528.34 56264.82

เนื้อเรื่องของการคาดการณ์:

par(mfrow = c(2, 1), mar = c(2.5,2.2,2,2))
plot((cbind(x, p1$pred)), plot.type = "single", type = "n", 
  ylim = range(c(x, p1$pred + 1.96 * p1$se)), main = "Local trend model")
grid()
lines(x)
lines(p1$pred, col = "blue")
lines(p1$pred + 1.96 * p1$se, col = "red", lty = 2)
lines(p1$pred - 1.96 * p1$se, col = "red", lty = 2)
legend("topleft", legend = c("forecasts", "95% confidence interval"), 
  lty = c(1,2), col = c("blue", "red"), bty = "n")
plot((cbind(x, p2$mean)), plot.type = "single", type = "n", 
  ylim = range(c(x, p2$upper)), main = "ARIMA (0,1,0) with drift")
grid()
lines(x)
lines(p2$mean, col = "blue")
lines(ts(p2$lower[,2], start = end(x)[1] + 1), col = "red", lty = 2)
lines(ts(p2$upper[,2], start = end(x)[1] + 1), col = "red", lty = 2)

การคาดการณ์มีความคล้ายคลึงกันในทั้งสองกรณีและดูสมเหตุสมผล โปรดสังเกตว่าการคาดการณ์เป็นไปตามรูปแบบที่กำหนดขึ้นค่อนข้างคล้ายกับแนวโน้มเชิงเส้น แต่เราไม่ได้จำลองแบบแนวโน้มเชิงเส้นอย่างชัดเจน เหตุผลมีดังต่อไปนี้: i) ในตัวแบบแนวโน้มท้องถิ่นความแปรปรวนขององค์ประกอบความชันนั้นประมาณเป็นศูนย์ สิ่งนี้จะเปลี่ยนองค์ประกอบแนวโน้มให้เป็นดริฟท์ที่มีผลกระทบของแนวโน้มเชิงเส้น ii) ARIMA (0,1,1) แบบจำลองที่มีการดริฟท์ถูกเลือกในแบบจำลองสำหรับซีรีย์ที่แตกต่างกันผลกระทบของคำคงที่ในซีรีส์ที่แตกต่างนั้นเป็นแนวโน้มเชิงเส้น เรื่องนี้จะกล่าวถึงในโพสต์นี้

คุณอาจตรวจสอบว่าถ้าเลือกโมเดลท้องถิ่นหรือ ARIMA (0,1,0) โดยไม่มีการเลื่อนดังนั้นการคาดการณ์จะเป็นเส้นแนวนอนและดังนั้นจึงไม่มีความคล้ายคลึงกับไดนามิกของข้อมูลที่สังเกต นี่เป็นส่วนหนึ่งของปริศนาของการทดสอบรูทยูนิตและส่วนประกอบที่กำหนดขึ้น

แก้ไข 1 (การตรวจสอบของคงเหลือ): ความสัมพันธ์อัตโนมัติและ ACF บางส่วนไม่แนะนำโครงสร้างในส่วนที่เหลือ

resid1 <- residuals(fit1)
resid2 <- residuals(fit2)
par(mfrow = c(2, 2))
acf(resid1, lag.max = 20, main = "ACF residuals. Local trend model")
pacf(resid1, lag.max = 20, main = "PACF residuals. Local trend model")
acf(resid2, lag.max = 20, main = "ACF residuals. ARIMA(0,1,0) with drift")
pacf(resid2, lag.max = 20, main = "PACF residuals. ARIMA(0,1,0) with drift")

ตามที่ IrishStat แนะนำให้ทำการตรวจสอบว่ามีคนผิดปกติหรือไม่ tsoutliersสองค่าผิดปกติมีการตรวจพบสารเติมแต่งที่ใช้แพคเกจ

require(tsoutliers)
resol <- tsoutliers(x, types = c("AO", "LS", "TC"), 
  remove.method = "bottom-up", 
  args.tsmethod = list(ic="bic", allowdrift=TRUE))
resol
#ARIMA(0,1,0) with drift         
#Coefficients:
#         drift        AO2       AO51
#      736.4821  -3819.000  -4500.000
#s.e.  220.6171   1167.396   1167.397
#sigma^2 estimated as 2725622:  log likelihood=-485.05
#AIC=978.09   AICc=978.88   BIC=986.2
#Outliers:
#  type ind time coefhat  tstat
#1   AO   2    2   -3819 -3.271
#2   AO  51   51   -4500 -3.855

เมื่อดูที่ ACF เราสามารถพูดได้ว่าในระดับนัยสำคัญ 5% ส่วนที่เหลือจะถูกสุ่มในรูปแบบนี้เช่นกัน

par(mfrow = c(2, 1))
acf(residuals(resol$fit), lag.max = 20, main = "ACF residuals. ARIMA with additive outliers")
pacf(residuals(resol$fit), lag.max = 20, main = "PACF residuals. ARIMA with additive outliers")

ในกรณีนี้การปรากฏตัวของค่าผิดปกติที่อาจเกิดขึ้นจะไม่บิดเบือนประสิทธิภาพของรุ่นต่างๆ สิ่งนี้ได้รับการสนับสนุนจากการทดสอบ Jarque-Bera เพื่อความเป็นมาตรฐาน โมฆะของปกติในส่วนที่เหลือจากรุ่นเริ่มต้น ( fit1, fit2) จะไม่ถูกปฏิเสธในระดับนัยสำคัญ 5%

jarque.bera.test(resid1)[[1]]
# X-squared = 0.3221, df = 2, p-value = 0.8513
jarque.bera.test(resid2)[[1]]
#X-squared = 0.426, df = 2, p-value = 0.8082

แก้ไข 2 (พล็อตของส่วนที่เหลือและค่าของพวกเขา) นี่คือลักษณะที่เหลือ:

และนี่คือค่าในรูปแบบ csv:

0;6.9205
-0.9571;-2942.4821
2.6108;4695.5179
-0.5453;-2065.4821
-0.2026;-771.4821
0.1242;-208.4821
0.1909;-120.4821
-0.0179;-535.4821
0.1449;-153.4821
0.484;526.5179
1.0748;1722.5179
0.3818;299.5179
-1.061;-2434.4821
0.0996;156.5179
0.4805;663.5179
0.8969;1463.5179
0.4111;461.5179
-1.0595;-2361.4821
0.0098;65.5179
0.5605;920.5179
0.8835;1481.5179
0.7669;1232.5179
1.4024;2593.5179
0.3785;473.5179
-1.1032;-2233.4821
-0.3813;-492.4821
2.2745;4642.5179
0.2935;154.5179
-0.1138;-165.4821
-0.8035;-1455.4821
-1.2982;-2321.4821
-1.9463;-3565.4821
-0.1648;62.5179
-0.1022;-253.4821
0.9755;1882.5179
-0.5662;-1418.4821
-0.0176;28.5179
0.5;928.5179
0.6831;1189.5179
-1.8889;-3964.4821
0.3896;1136.5179
-1.3113;-2799.4821
-0.9934;-1800.4821
-0.4085;-748.4821
1.2902;2482.5179
-0.0996;-657.4821
0.5539;981.5179
2.0007;3725.5179
1.0227;1490.5179
0.27;263.5179
-2.336;-4736.4821
1.8994;4263.5179
0.1301;-236.4821
-0.0892;-236.4821
-0.1148;-236.4821
-1.1207;-2236.4821
0.4801;1163.5179

สำหรับข้อมูลที่ไม่เกี่ยวกับฤดูกาลของคุณ ... แนวโน้มสามารถมีได้สองรูปแบบ y (t) = y (t − 1) + θ0 (A) Stochastic Trend หรือ Y (t) = a + bx1 + cx2 (B) เทรนด์ ฯลฯ โดยที่ x1 = 1,2,3,4 .... t และ x2 = 0,0,0,0,0,1,2,3,4 ดังนั้นเทรนด์หนึ่งใช้กับการสังเกต 1 − t และเทรนด์ที่สอง นำไปใช้กับการสังเกต 6 ถึง t

ซีรี่ส์ที่ไม่ใช่ฤดูกาลของคุณมี 29 ค่า ฉันใช้ซอฟต์แวร์ของ AUTOBOX ที่ฉันได้ช่วยพัฒนาในแบบอัตโนมัติทั้งหมด AUTOBOX เป็นกระบวนการที่โปร่งใสเนื่องจากมีรายละเอียดแต่ละขั้นตอนในกระบวนการสร้างแบบจำลอง กราฟของซีรีส์ / ค่าติดตั้ง / การคาดการณ์ที่จะนำเสนอที่นี่ ใช้ Autobox ในรูปแบบรูปแบบประเภทนำไปสู่การต่อไปนี้ สมการที่จะนำเสนออีกครั้งที่นี่ที่สถิติของรูปแบบที่มี พล็อตของที่เหลืออยู่ที่นี่ในขณะที่ตารางค่าที่คาดการณ์ไว้อยู่ที่นี่ การ จำกัด AUTOBOX เป็นรุ่น Type B นำไปสู่การตรวจหาแนวโน้มที่เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา 14: !

ในแง่ของการเปรียบเทียบแบบจำลอง: เนื่องจากจำนวนการสังเกตที่ติดตั้งแตกต่างกัน (26 และ 29 ตามลำดับ) จึงไม่สามารถใช้ตัวชี้วัดมาตรฐาน (เช่น r-square, ข้อผิดพลาดมาตรฐาน dev, AIC ฯลฯ ) เพื่อพิจารณาการปกครองแม้ว่าในกรณีนี้ ไปที่ A เศษที่เหลือจาก A นั้นดีกว่าเนื่องจากโครงสร้าง AR (2) การคาดการณ์จาก B นั้นค่อนข้างก้าวร้าวในขณะที่รูปแบบของการพยากรณ์นั้นง่ายกว่ามาก เราสามารถระงับการสังเกตการพูดได้ 4 ครั้งและประเมินความแม่นยำในการคาดการณ์สำหรับการคาดการณ์ 1 ช่วงเวลาจากต้นกำเนิดที่แตกต่างกัน 4 รายการ (25,26,27 และ 28)