ช่วงความเชื่อมั่นสำหรับความแตกต่างของวิธีการในการถดถอย

สมมติว่าฉันมีรูปแบบการถดถอยแบบสมการกำลังสอง โดยมีข้อผิดพลาดเป็นไปตามสมมติฐานปกติ (อิสระปกติเป็นอิสระจากค่า ) ให้เป็นค่าประมาณกำลังสองน้อยที่สุด

Y = β_{0} + β_{1} X + β_{2} X^{2} + ϵ

$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \epsilon$

ϵ

$\epsilon$

X

$X$

b_{0}, b_{1}, b_{2}

$b_0, b_1, b_2$

ฉันมีค่าใหม่สองค่าและและฉันสนใจที่จะรับช่วงความมั่นใจสำหรับ2) $X$ $x_1$ $x_2$ $v = E(Y|X = x_2) - E(Y|X=x_1) = \beta_1 (x_2 - x_1) + \beta_2 (x_2^2 - x_1^2)$

การประมาณจุดคือและ (แก้ไขฉันถ้าฉันผิด) ฉันสามารถประมาณความแปรปรวนโดยโดยใช้การประมาณค่าความแปรปรวนและความแปรปรวนร่วมของค่าสัมประสิทธิ์ที่ได้รับจากซอฟต์แวร์ $\hat{v} = b_1 (x_2 - x_1) + b_2 (x_2^2 - x_1^2)$

{\hat{s}}^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} Var (b_{1}) + (x_{2}^{2} - x_{1}^{2})^{2} Var (b_{2}) + 2 (x_{2} - x_{1}) (x^{2} - x_{1}^{2}) Cov (b_{1}, b_{2})

$\hat{s}^2 = (x_2 - x_1)^2 \text{Var}(b_1) + (x_2^2 - x_1^2)^2 \text{Var}(b_2) + 2 (x_2 - x_1)(x^2 - x_1^2)\text{Cov}(b_1, b_2)$

ฉันสามารถใช้การประมาณแบบปกติและใช้ $\hat{v} \pm 1.96 \hat{s}$ เป็นช่วงความมั่นใจ 95% สำหรับ $v$ หรือฉันสามารถใช้ช่วงความมั่นใจ bootstrap แต่มีวิธีการกระจายการกระจายที่แน่นอน และใช้สิ่งนั้นหรือไม่

regression confidence-interval

— mark999
แหล่งที่มา

เนื่องจากข้อผิดพลาดที่จะถือว่าปกติแล้วประมาณการพารามิเตอร์ - เป็นเชิงเส้นการทำงานของข้อมูลมาจากไหนของข้อผิดพลาดมากเกินไป - ตัวเองจะต้องเป็นปกติหมายความกระจายปกติสำหรับ{V}

\hat{v}

$\hat{v}$

— whuber

คุณจะบอกว่าช่วงความมั่นใจปกติถูกต้องหรือไม่ ถ้าฉันเข้าใจอย่างถูกต้องตรรกะนั้นเราก็จะใช้ช่วงความเชื่อมั่นปกติสำหรับพารามิเตอร์ แต่เราใช้ช่วงเวลาตามการแจกแจงที

— mark999

การแจกแจงแบบ t ถูกใช้เพราะคุณประมาณค่าความแปรปรวนของข้อผิดพลาด หากทราบว่าเป็นเช่นนั้นคุณจะมีการแจกแจงแบบปกติเช่น @whuber พูด

— JMS

ขอบคุณสำหรับความคิดเห็นของคุณ สิ่งที่ฉันถามคือการกระจาย t สามารถใช้สำหรับช่วงความมั่นใจสำหรับ v ตามที่กำหนดไว้ในคำถามและถ้าเป็นเช่นนั้นด้วยเสรีภาพกี่องศา?

— mark999

ในที่สุดความแปรปรวนและความแปรปรวนร่วมทั้งหมดขึ้นอยู่กับความแปรปรวนโดยประมาณของส่วนที่เหลือ ดังนั้น DF ที่จะใช้คือ DF ในการประมาณนี้เท่ากับจำนวนค่าข้อมูลลบด้วยจำนวนพารามิเตอร์ (รวมถึงค่าคงที่)

— whuber

ผลทั่วไปคุณกำลังมองหา (ภายใต้สมมติฐานที่ระบุไว้) ลักษณะเช่นนี้สำหรับการถดถอยเชิงเส้นที่มีตัวแปร (คุณมีสอง,และ ) และตัดแล้วด้วยสังเกตการออกแบบเมทริกซ์ ประมาณการมิติและ $p$ $X$ $X^2$ $n$ $\mathbf{X}$ $n \times (p+1)$ $\hat{\beta}$ $p+1$ $a \in \mathbb{R}^{p+1}$

\frac{a^{T} \hat{β} - a^{T} β}{\hat{σ} \sqrt{a^{T} (X^{T} X)^{- 1} a}} \sim t_{n - p - 1} .

$\frac{a^T\hat{\beta} - a^T \beta}{\hat{\sigma} \sqrt{a^T(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}a}} \sim t_{n-p-1}.$

ผลที่ตามมาคือคุณสามารถสร้างช่วงความเชื่อมั่นสำหรับชุดค่าผสมเชิงเส้นใด ๆ ของเวกเตอร์โดยใช้ -distribution เดียวกับที่คุณใช้เพื่อสร้างช่วงความมั่นใจสำหรับหนึ่งในพิกัด $\beta$ $t$

ในกรณีของคุณและ2) ตัวหารในสูตรด้านบนคือสแควร์รูทของสิ่งที่คุณคำนวณตามการประเมินข้อผิดพลาดมาตรฐาน (โดยมีเงื่อนไขว่านี่คือสิ่งที่ซอฟต์แวร์คำนวณ ... ) โปรดทราบว่าความแปรปรวนประมาณการ,คือควรจะเป็น (ปกติ) ประมาณการที่เป็นกลางที่คุณหารด้วยองศาของเสรีภาพและไม่จำนวนสังเกตn $p = 2$ $a^T = (0, x_2 - x_1, x_2^2 - x_1^2)$ $\hat{\sigma}^2$ $n-p-1$ $n$

— NRH
แหล่งที่มา

ขอบคุณนั่นคือสิ่งที่ฉันกำลังมองหา แต่มีสูตรผิดพลาดหรือไม่? ขนาดดูเหมือนจะไม่ตรงกับในก ควรเป็นเมทริกซ์มีคนในคอลัมน์แรก?

a^{T} (X^{T} X)^{- 1} a

$a^T(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}a$

X

$\mathbf{X}$

n \times (p + 1)

$n \times (p+1)$

— mark999

@ mark999, ใช่มีคอลัมน์ ฉันได้แก้ไขแล้วในคำตอบ ขอบคุณ

X

$\mathbf{X}$

p + 1

$p+1$

— NRH