ทำความเข้าใจกับการทดสอบแบบไคสแควร์และการแจกแจงแบบไคสแควร์

ฉันพยายามเข้าใจตรรกะหลังการทดสอบไคสแควร์

การทดสอบไคสแควร์เป็น{} จะถูกเปรียบเทียบกับการแจกแจงแบบ Chi-squared เพื่อค้นหา p.value เพื่อปฏิเสธหรือไม่สมมุติฐานว่าง : การสังเกตมาจากการแจกแจงที่เราเคยสร้างค่าที่เราคาดหวัง ตัวอย่างเช่นเราสามารถทดสอบความน่าจะเป็นที่จะได้รับจากตามที่เราคาดหวัง ดังนั้นเราจึงพลิก 100 ครั้งและหาและ1เราต้องการเปรียบเทียบการค้นพบของเรากับสิ่งที่คาดหวัง ( ) เราสามารถใช้การแจกแจงทวินามได้ด้วย แต่มันก็ไม่ใช่ประเด็นของคำถาม ... คำถามคือ: χ2H0pnH1-nH100⋅$\chi ^2 = \sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$$\chi ^2$$H_0$head$p$$n_H$ Heads$1-n_H$ tails$100 \cdot p$

คุณช่วยอธิบายได้ไหมว่าทำไมภายใต้สมมติฐานว่างตามหลังการแจกแจงแบบไคสแควร์?$\sum \frac{(obs-exp)^2}{exp}$

สิ่งที่ฉันรู้เกี่ยวกับการกระจายตัวไคสแควร์คือการกระจายตัวไคสแควร์ของดีกรีคือผลรวมของการแจกแจงปกติกำลังสองมาตรฐาน$k$$k$

เราสามารถใช้การแจกแจงทวินามได้ด้วย แต่มันก็ไม่ใช่ประเด็นของคำถาม ...

อย่างไรก็ตามมันเป็นจุดเริ่มต้นของเราแม้สำหรับคำถามที่แท้จริงของคุณ ฉันจะครอบคลุมมันค่อนข้างไม่เป็นทางการ

ลองพิจารณากรณีทวินามมากกว่าโดยทั่วไป:

$Y\sim \text{Bin}(n,p)$

สมมติว่าและเป็นเช่นนั้นโดยที่มีการประมาณค่าที่ดีโดยมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนเท่ากัน (ข้อกำหนดทั่วไปบางอย่างมีค่ามากกว่าไม่เล็กหรือไม่เล็ก)$n$$p$$Y$$\min(np,n(1-p))$$np(1-p)$

จากนั้นจะอยู่ที่ประมาณ\ที่นี่คือจำนวนความสำเร็จ$(Y-E(Y))^2/\text{Var}(Y)$$\sim\chi^2_1$$Y$

เรามีและ(1-P)$E(Y) = np$$\text{Var}(Y)=np(1-p)$

(ในกรณีทดสอบเป็นที่รู้จักและมีการระบุภายใต้เราไม่ได้ทำการประเมินใด ๆ )$n$$p$$H_0$

ดังนั้นจะอยู่ที่ประมาณ\$(Y-np)^2/np(1-p)$$\sim\chi^2_1$

โปรดทราบว่า 2 นอกจากนี้ทราบว่า(1-P)}$(Y-np)^2 = [(n-Y)-n(1-p)]^2$$\frac{1}{p} + \frac{1}{1-p} = \frac{1}{p(1-p)}$

ดังนั้น$\frac{(Y-np)^2}{np(1-p)} = \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{(Y-np)^2}{n(1-p)}\\ \quad= \frac{(Y-np)^2}{np}+\frac{[(n-Y)-n(1-p)]^2}{n(1-p)} \\ \quad= \frac{(O_S-E_S)^2}{E_S}+\frac{(O_F-E_F)^2}{E_F}$

ซึ่งเป็นเพียงสถิติไคสแควร์สำหรับกรณีทวินาม

ดังนั้นในกรณีนี้สถิติไคสแควร์ควรมีการแจกแจงของสแควร์ของตัวแปรสุ่มปกติประมาณ (มาตรฐาน)