เหตุใด R's lm () จึงส่งกลับค่าสัมประสิทธิ์ที่แตกต่างจากตำราของฉัน

พื้นหลัง

ฉันพยายามที่จะเข้าใจตัวอย่างแรกในหลักสูตรเกี่ยวกับแบบจำลองที่เหมาะสม (ดังนั้นนี่อาจดูเรียบง่ายอย่างน่าหัวเราะ) ฉันทำการคำนวณด้วยมือและพวกมันจับคู่ตัวอย่าง แต่เมื่อฉันทำซ้ำใน R สัมประสิทธิ์ของโมเดลจะดับ ฉันคิดว่าความแตกต่างอาจเกิดจากหนังสือเรียนที่ใช้ความแปรปรวนประชากร ( ) ในขณะที่ R อาจใช้ความแปรปรวนตัวอย่าง ( ) แต่ฉันไม่เห็นว่าจะใช้ที่ใดในการคำนวณ ตัวอย่างเช่นหาก ใช้บางส่วนส่วนช่วยเหลือในบันทึกย่อ:S $\sigma^2$$S^2$lm()var()var()

ตัวส่วน n - 1 ถูกใช้ซึ่งให้ค่าประมาณที่ไม่เอนเอียงของความแปรปรวน (ร่วม) สำหรับการสังเกต iid

ฉันดูที่รหัสสำหรับทั้งlm()และlm.fit()และไม่ใช้var()แต่lm.fit()ส่งผ่านข้อมูลนั้นเพื่อรวบรวมรหัส C ( z <- .Call(C_Cdqrls, x, y, tol, FALSE)) ซึ่งฉันไม่สามารถเข้าถึงได้

คำถาม

ทุกคนสามารถอธิบายได้หรือไม่ว่าเหตุใด R จึงให้ผลลัพธ์ที่ต่างกัน แม้ว่าจะมีความแตกต่างในการใช้กลุ่มตัวอย่างเทียบกับความแปรปรวนของประชากรทำไมค่าสัมประสิทธิ์ประมาณต่างกัน

ข้อมูล

พอดีกับเส้นเพื่อทำนายขนาดรองเท้าจากเกรดในโรงเรียน

# model data
mod.dat <- read.table(
    text = 'grade shoe
                1    1
                2    5
                4    9'
    , header = T);

# mean
mod.mu  <- mean(mod.dat$shoe);
# variability 
mod.var <- sum((mod.dat$shoe - mod.mu)^2)

# model coefficients from textbook
mod.m  <- 8/3;
mod.b  <- -1;

# predicted values  ( 1.666667 4.333333 9.666667 )
mod.man.pred       <- mod.dat$grade * mod.m + mod.b;
# residuals         ( -0.6666667  0.6666667 -0.6666667 )
mod.man.resid      <- (mod.dat$shoe - mod.man.pred)
# residual variance ( 1.333333 )
mod.man.unexpl.var <- sum(mod.man.resid^2);
# r^2               ( 0.9583333 )
mod.man.expl.var   <- 1 - mod.man.unexpl.var / mod.var;

# but lm() gives different results:
summary(lm(shoe ~ grade, data = mod.dat))

Call:
lm(formula = shoe ~ grade, data = mod.dat)

Residuals:
      1       2       3 
-0.5714  0.8571 -0.2857 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  -1.0000     1.3093  -0.764    0.585
grade         2.5714     0.4949   5.196    0.121

Residual standard error: 1.069 on 1 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9643,    Adjusted R-squared:  0.9286 
F-statistic:    27 on 1 and 1 DF,  p-value: 0.121

แก้ไข

ดังที่เบ็ลโบลเคอร์แสดงแล้วดูเหมือนว่าครูบางครั้งทำผิดพลาด ดูเหมือนว่าการคำนวณ R นั้นถูกต้อง คุณธรรมของเรื่องราว: อย่าเชื่ออะไรเลยเพียงเพราะครูบอกว่ามันเป็นเรื่องจริง ยืนยันด้วยตัวคุณเอง!

ดูเหมือนว่าผู้เขียนทำผิดพลาดทางคณิตศาสตร์ที่ไหนสักแห่ง

หากคุณขยายส่วนเบี่ยงเบนผลรวมของกำลังสอง

$$S = ((b+m)-1)^2+ ((b+2m)-5)^2 + ((b+4m)-9)^2$$ $$\begin{split} S = & b^2+2 b m+ m^2 + 1 - 2 b - 2 m \\ + & b^2+4 b m+ 4 m^2 + 25 - 10 b -20 m \\ + & b^2+8 b m+16 m^2 + 81 - 18 b -72 m \end{split}$$

$$3 b^2 + 14 b m + 21 m^2 + 107 - 30 b - 94 m$$

$S$$b$$m$

$$dS/db = 6 b + 14 m -30 \to 3 b +7 m-15 = 0$$ $$dS/dm = 14 b +42 m -94 \to 7 b + 21 m -47 = 0$$

แก้

$$\begin{split} b & = (15-7m)/3 \\ 0 & = 7 (15-7m)/3 + 21 m-47 \\ 47 - 35 & = (-49/3 + 21) m \\ m & = (47-35)/(21-49/3) = 18/7 \end{split}$$

R บอกว่านี่คือ 2.571429 แน่นอน ...

จากลิงค์นี้ดูเหมือนว่าจะมาจากหลักสูตร Coursera ... ? อาจมีการถอดความข้อมูลผิดที่หรือไม่

$\sum (y-\bar y) (x-\bar x)$$\sum (x-\bar x)^2$

g <- c(1,2,4)
g0 <- g - mean(g)
s <- c(1,5,9)
s0 <- s- mean(s)
sum(g0*s0)/(sum(g0^2))
## [1] 2.571429

$\{1,11/3,9\}$$\{1,5,9\}$