การบูรณาการ CDF เชิงประจักษ์

ฉันมีการกระจายเชิงประจักษ์ ) ฉันคำนวณมันดังนี้$G(x)$

    x <- seq(0, 1000, 0.1)
    g <- ecdf(var1)
    G <- g(x)

ฉันแสดงว่าคือhคือ pdf ในขณะที่Gคือ cdf$h(x) = dG/dx$$h$$G$

ตอนนี้ฉันต้องการแก้สมการสำหรับการรวมสูงสุด (พูด, ), ดังนั้นค่าคาดหวังของxคือkบางอัน$a$$x$$k$

นั่นคือการบูรณาการจากไปขผมควรจะมี∫ x H ( x ) d x = k ฉันต้องการที่จะแก้ปัญหาสำหรับข$0$$b$$\int xh(x)dx = k$$b$

เมื่อรวมส่วนต่าง ๆ ฉันสามารถเขียนสมการใหม่เป็น

ซึ่งอินทิกรัลมาจาก 0ถึง b ------- (1)$bG(b) - \int_0^b G(x)dx = k$$0$$b$

ฉันคิดว่าฉันสามารถคำนวณอินทิกรัลได้ดังนี้

    intgrl <- function(b) {
        z <- seq(0, b, 0.01)
        G <- g(z)
        return(mean(G))
     }

แต่เมื่อลองใช้ฟังก์ชั่นนี้ด้วย

    library(rootSolve)
    root <- uniroot.All(fun, c(0, 1000))

เมื่อความสนุกคือ eq (1) ฉันได้รับข้อผิดพลาดต่อไปนี้

    Error in seq.default(0, b, by = 0.01) : 'to' must be of length 1  

ฉันคิดว่าปัญหาคือฟังก์ชั่นของฉันintgrlถูกประเมินที่ค่าตัวเลขขณะที่uniroot.Allผ่านช่วงเวลาc(0,1000)

ฉันจะแก้ปัญหาในสถานการณ์นี้ใน R ได้อย่างไร?$b$

$x_1 \le x_2 \le \cdots \le x_n$$G$$x_i$$\gamma$$k$$x_i$$\gamma$$t \ge 1$$x_i$$\gamma$$[\alpha, \beta]$$\gamma$$G$$k/n$$\gamma$$(k+t)/n$$\gamma$

$\int_0^b x h(x) dx$$[\alpha,\beta]$$h$$t/n$$\gamma$$[\alpha,\beta]$

$$\int_\alpha^\beta x h(x) dx = \left(x G(x)\right)\vert_\alpha^\beta - \int_\alpha^\beta G(x) dx = \left(\beta G(\beta) - \alpha G(\alpha)\right) -\int_\alpha^\beta G(x) dx.$$

$\gamma$$G$

$$\int_\alpha^\beta G(x)dx = \int_\alpha^\gamma G(\alpha) dx + \int_\gamma^\beta G(\beta) dx = (\gamma-\alpha)G(\alpha) + (\beta-\gamma)G(\beta).$$

$G(\alpha)=k/n, G(\beta)=(k+t)/n$

$$\int_\alpha^\beta x h(x) dx = \left(\beta G(\beta) - \alpha G(\alpha)\right) - \left((\gamma-\alpha)G(\alpha) + (\beta-\gamma)G(\beta)\right) = \gamma\frac{t}{n}.$$

$X$

$$\frac{t}{n} = \frac{1}{n} + \cdots + \frac{1}{n}$$

$\gamma$$G$

$$\int_0^b x h(x) dx = \sum_{i:\, 0 \le x_i \le b} \left(x_i\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n}\sum_{x_i\le b}x_i.$$

$1/n$$[0,b]$$1/n$$1/m$$m$$[0,b]$

$k$$b$$\frac{1}{n}\sum_{x_i\le b}x_i = k.$$k$$j$

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{j-1} x_i \le k \lt \frac{1}{n}\sum_{i=1}^j x_i,$$

$b$$[x_{j-1}, x_j)$$b$

---

Rทำการคำนวณผลรวมบางส่วนด้วยcumsumและค้นหาว่ามันข้ามค่าใด ๆ ที่ระบุโดยใช้whichตระกูลการค้นหาเช่นเดียวกับใน:

set.seed(17)
k <- 0.1
var1 <- round(rgamma(10, 1), 2)
x <- sort(var1)
x.partial <- cumsum(x) / length(x)
i <- which.max(x.partial > k)
cat("Upper limit lies between", x[i-1], "and", x[i])

เอาต์พุตในตัวอย่างของข้อมูลที่ถูกดึงจากการแจกแจงเอ็กซ์โปเนนเชียลคือ

ขีด จำกัด สูงสุดอยู่ระหว่าง 0.39 ถึง 0.57

$0.1 = \int_0^b x \exp(-x)dx,$$0.531812$

$G$