ทฤษฎี Extreme Value - แสดง: Normal ถึง Gumbel

จำนวนสูงสุดของ IID Standardnormals ลู่กับมาตรฐานกัมเบลจัดจำหน่ายตามมากราคาทฤษฎี $X_1,\dots,X_n. \sim$

เราจะแสดงสิ่งนั้นได้อย่างไร

เรามี

P (max X_{i} \leq x) = P (X_{1} \leq x, \dots, X_{n} \leq x) = P (X_{1} \leq x) \dots P (X_{n} \leq x) = F (x)^{n}

$P(\max X_i \leq x) = P(X_1 \leq x, \dots, X_n \leq x) = P(X_1 \leq x) \cdots P(X_n \leq x) = F(x)^n$

เราจำเป็นต้องค้นหา / เลือก $a_n>0,b_n\in\mathbb{R}$ ลำดับของค่าคงที่เช่น:

F {(a_{n} x + b_{n})}^{n} \to^{n \to \infty} G (x) = e^{- \exp (- x)}

$F\left(a_n x+b_n\right)^n\rightarrow^{n\rightarrow\infty} G(x) = e^{-\exp(-x)}$

คุณสามารถแก้ไขหรือค้นหามันในวรรณคดี?

มีบางตัวอย่างหน้า 6/71แต่ไม่ใช่สำหรับกรณีปกติ:

Φ {(a_{n} x + b_{n})}^{n} = {(\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{a_{n} x + b_{n}} e^{- \frac{y^{2}}{2}} d y)}^{n} \to e^{- \exp (- x)}

$\Phi\left(a_n x+b_n\right)^n=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{a_n x+b_n} e^{-\frac{y^2}{2}}dy\right)^n\rightarrow e^{-\exp(-x)}$

— Emcor
แหล่งที่มา

คำตอบ:

วิธีการทางอ้อมมีดังนี้:
สำหรับการแจกแจงแบบต่อเนื่องอย่างแน่นอน Richard von Mises (ในปี 1936 บทความ"La distribution de la plus grande de n valeurs"ซึ่งดูเหมือนว่าจะได้รับการทำซ้ำ - ภาษาอังกฤษ - ในฉบับปี 1964 ที่เลือก เอกสารของเขา) ได้จัดให้มีเงื่อนไขเพียงพอต่อไปนี้สำหรับตัวอย่างสูงสุดที่จะมาบรรจบกับ Gumbel มาตรฐาน $G(x)$ :

ปล่อยให้เป็นฟังก์ชันการแจกแจงทั่วไปของตัวแปรสุ่ม iid และความหนาแน่นทั่วไป ถ้าอย่างนั้น $F(x)$ $n$ $f(x)$

lim_{x \to F^{- 1} (1)} (\frac{d}{d x} \frac{(1 - F (x))}{f (x)}) = 0 \Rightarrow X_{(n)} \overset{d}{\to} G (x)

$\lim_{x\rightarrow F^{-1}(1)}\left (\frac d{dx}\frac {(1-F(x))}{f(x)}\right) =0 \Rightarrow X_{(n)} \xrightarrow{d} G(x)$

ใช้สัญกรณ์ปกติสำหรับมาตรฐานปกติและการคำนวณอนุพันธ์เรามี

\frac{d}{d x} \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} = \frac{- ϕ (x)^{2} - ϕ^{'} (x) (1 - Φ (x))}{ϕ (x)^{2}} = \frac{- ϕ^{'} (x)}{ϕ (x)} \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} - 1

$\frac d{dx}\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)} = \frac {-\phi(x)^2-\phi'(x)(1-\Phi(x))}{\phi(x)^2} = \frac {-\phi'(x)}{\phi(x)}\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1$

โปรดทราบว่า xนอกจากนี้สำหรับการกระจายปกติ\ ดังนั้นเราต้องประเมินขีด จำกัด $\frac {-\phi'(x)}{\phi(x)} =x$ $F^{-1}(1) = \infty$

lim_{x \to \infty} (x \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} - 1)

$\lim_{x\rightarrow \infty}\left (x\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1\right)$

แต่คืออัตราส่วนของ Mill และเรารู้ว่าอัตราส่วนของ Mill สำหรับมาตรฐานปกติมีแนวโน้มที่เมื่อเติบโต ดังนั้น $\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}$ $1/x$ $x$

lim_{x \to \infty} (x \frac{(1 - Φ (x))}{ϕ (x)} - 1) = x \frac{1}{x} - 1 = 0

$\lim_{x\rightarrow \infty}\left (x\frac {(1-\Phi(x))}{\phi(x)}-1\right) = x\frac {1}{x}-1= 0$

และสภาพที่เพียงพอมีความพึงพอใจ

ชุดที่เกี่ยวข้องจะได้รับเป็น

a_{n} = \frac{1}{n ϕ (b_{n})}, b_{n} = Φ^{- 1} (1 - 1 / n)

$a_n = \frac 1{n\phi(b_n)},\;\;\; b_n = \Phi^{-1}(1-1/n)$

ภาคผนวก

นี่คือจาก ch 10.5 ของหนังสือเล่มนี้HA David & HN Nagaraja (2003), "การสั่งซื้อสถิติ" (3D Edition)

$\xi_a = F^{-1}(a)$ (ก) นอกจากนี้การอ้างอิงถึง de Haan ก็คือ"Haan, LD (1976) ตัวอย่างสุดขั้ว: การแนะนำเบื้องต้น Statistica Neerlandica, 30 (4), 161-172 " แต่ระวังเพราะสัญกรณ์บางอันมีเนื้อหาต่างกันในde Haan - ตัวอย่างในหนังสือคือฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในขณะที่ในde Haanหมายถึงฟังก์ชันของหนังสือ (เช่นอัตราส่วนของโรงสี) นอกจากนี้ de Haan ตรวจสอบสภาพเพียงพอที่แตกต่างกันแล้ว $f(t)$ $f(t)$ $w(t)$

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจโซลูชันของคุณมากแค่ไหน ดังนั้นคุณเอามาเป็น CDF มาตรฐานทั่วไป ฉันทำตามและยอมรับว่ามีสภาพเพียงพอ แต่ซีรีย์ที่เกี่ยวข้องคือและในทันทีที่ได้รับมาจากซีรี่ส์เหล่านั้น?

F

$F$

a_{n}

$a_n$

b_{n}

$b_n$

— renrenthehamster

@renrenthehamster ฉันคิดว่าทั้งสองส่วนมีการระบุไว้อย่างอิสระ (ไม่มีการเชื่อมต่อโดยตรง)

— emcor

แล้วชุดที่เกี่ยวข้องจะได้รับอย่างไร อย่างไรก็ตามฉันเปิดคำถามเกี่ยวกับปัญหานี้ (และโดยทั่วไปแล้วสำหรับการแจกแจงอื่น ๆ นอกเหนือจากมาตรฐานทั่วไป)

— renrenthehamster

@renrenthehamster ฉันได้เพิ่มเนื้อหาที่เกี่ยวข้อง ฉันไม่เชื่อว่ามีสูตรมาตรฐานสำหรับทุกกรณีเพื่อค้นหาซีรี่ส์เหล่านี้

— Alecos Papadopoulos

คำถามถามสองสิ่ง: (1) วิธีแสดงให้เห็นว่าสูงสุดลู่ในแง่ที่ลู่ (กระจาย) สำหรับลำดับที่เลือกอย่างเหมาะสมและไปยังการกระจาย Gumbel มาตรฐานและ (2) วิธีการค้นหาลำดับดังกล่าว $X_{(n)}$ $(X_{(n)}-b_n)/a_n$ $(a_n)$ $(b_n)$

คนแรกเป็นที่รู้จักและบันทึกไว้ในเอกสารต้นฉบับของทฤษฎีบท Fisher-Tippett-Gnedenko (FTG) ครั้งที่สองดูเหมือนจะยากขึ้น นั่นคือปัญหาที่แก้ไขที่นี่

โปรดทราบเพื่อชี้แจงให้ชัดเจนถึงการยืนยันที่ปรากฏที่อื่นในกระทู้นี้

ค่าสูงสุดไม่ได้รวมเข้ากับสิ่งใด: มันเบี่ยงเบนไป (แม้ว่าช้ามาก)
ดูเหมือนว่าจะมีการประชุมที่แตกต่างกันเกี่ยวกับการกระจาย Gumbel ผมจะนำมาใช้ในการประชุมว่า CDF ของตรงกันข้ามกระจายกัมเบลเป็นถึงขนาดและสถานที่ที่กำหนดโดย(x)) ค่าสูงสุดมาตรฐานที่เหมาะสมของตัวแปร iid ปกติจะรวมเข้ากับการแจกแจงแบบกัมเบลที่กลับด้าน $1-\exp(-\exp(x))$

ปรีชา

เมื่อเป็น iid ที่มีฟังก์ชั่นการแจกแจงทั่วไปการแจกแจงสูงสุดคือ $X_i$ $F$ $X_{(n)}$

F_{n} (x) = Pr (X_{(n)} \leq x) = Pr (X_{1} \leq x) Pr (X_{2} \leq x) \dots Pr (X_{n} \leq x) = F^{n} (x) .

$F_n(x) = \Pr(X_{(n)}\le x) = \Pr(X_1 \le x)\Pr(X_2 \le x) \cdots \Pr(X_n \le x) = F^n(x).$

เมื่อการสนับสนุนของไม่มีขอบเขตบนเช่นเดียวกับการแจกแจงแบบปกติลำดับของฟังก์ชั่นเดินไปทางขวาตลอดไปโดยไม่มีขีด จำกัด : $F$ $F^n$

รูปที่ 1

กราฟบางส่วนของสำหรับจะปรากฏขึ้น $F_n$ $n=1,2,2^2, 2^4, 2^8, 2^{16}$

เพื่อศึกษารูปทรงของการแจกแจงเหล่านี้เราสามารถเลื่อนแต่ละอันกลับไปทางซ้ายด้วยจำนวนและ rescale โดยเพื่อทำให้มันเปรียบเทียบกัน $b_n$ $a_n$

รูปที่ 2

กราฟก่อนหน้าแต่ละอันถูกเลื่อนไปที่ตำแหน่งมัธยฐานที่และทำให้ช่วงความยาวหน่วยระหว่างหน่วย $0$

FTG อ้างว่าลำดับและสามารถเลือกฟังก์ชั่นเพื่อให้การกระจายเหล่านี้มาบรรจบกันในทุก pointwiseบางส่วนกระจายความคุ้มค่ามากขึ้นไปขนาดและที่ตั้ง เมื่อคือการแจกแจงแบบปกติการ จำกัด การกระจายค่าที่มากเป็นพิเศษคือ Gumbel ที่กลับด้านขึ้นอยู่กับตำแหน่งและสเกล $(a_n)$ $(b_n)$ $x$ $F$

วิธีการแก้

มันเป็นเรื่องดึงดูดที่จะเลียนแบบทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางโดยกำหนดมาตรฐานให้มีค่าเฉลี่ยหน่วยและความแปรปรวนของหน่วย แม้ว่ามันจะไม่เหมาะสม แต่ส่วนหนึ่งเป็นเพราะ FTG ใช้กับการแจกแจงแบบต่อเนื่องที่ไม่มีช่วงเวลาที่หนึ่งหรือสอง ให้ใช้เปอร์เซ็นไทล์ (เช่นค่ามัธยฐาน) แทนเพื่อกำหนดตำแหน่งและความแตกต่างของเปอร์เซ็นต์ไทล์ (เช่น IQR) เพื่อพิจารณาการแพร่กระจาย (วิธีการทั่วไปนี้ควรประสบความสำเร็จในการค้นหาและสำหรับการแจกแจงแบบต่อเนื่องใด ๆ ) $F_n$ $a_n$ $b_n$

สำหรับการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานสิ่งนี้กลายเป็นเรื่องง่าย! Let1 quantile ของสอดคล้องกับเป็นค่าใด ๆที่Q ระลึกถึงความหมายของวิธีแก้คือ $0 \lt q \lt 1$ $F_n$ $q$ $x_q$ $F_n(x_q) = q$ $F_n(x) = F^n(x)$

x_{q; n} = F^{- 1} (q^{1 / n}) .

$x_{q;n} = F^{-1}(q^{1/n}).$

ดังนั้นเราอาจตั้งค่า

b_{n} = x_{1 / 2; n}, a_{n} = x_{3 / 4; n} - x_{1 / 4; n}; G_{n} (x) = F_{n} (a_{n} x + b_{n}) .

$b_n = x_{1/2;n},\ a_n = x_{3/4;n} - x_{1/4;n};\ G_n(x) = F_n(a_n x + b_n).$

เพราะจากการก่อสร้างมัธยฐานของเป็นและ IQR ของมันคือค่ามัธยฐานของค่า จำกัด ของ (ซึ่งเป็นรุ่นของตรงกันข้ามกัมเบลบางคน) จะต้องเป็นและ IQR มันจะต้องเป็น1ให้พารามิเตอร์ขนาดเป็นและพารามิเตอร์สถานที่เป็น\เนื่องจากค่ามัธยฐานคือและ IQR จึงพบว่าเป็นพารามิเตอร์จึงต้อง $G_n$ $0$ $1$ $G_n$ $0$ $1$ $\beta$ $\alpha$ $\alpha + \beta \log\log(2)$ $\beta(\log\log(4) - \log\log(4/3))$

α = \frac{\log \log 2}{\log \log (4 / 3) - \log \log (4)}; β = \frac{1}{\log \log (4) - \log \log (4 / 3)} .

$\alpha = \frac{\log\log 2}{\log\log(4/3) - \log\log(4)};\ \beta = \frac{1}{\log\log(4) - \log\log(4/3)}.$

มันไม่ได้เป็นสิ่งที่จำเป็นสำหรับและจะเป็นว่าค่าเหล่านี้พวกเขาต้องการเพียงใกล้เคียงกับพวกเขาให้ขีด จำกัด ของยังคงนี้ตรงกันข้ามกระจายกัมเบล การวิเคราะห์ที่ตรงไปตรงมา (แต่น่าเบื่อ) สำหรับปกติมาตรฐานแสดงให้เห็นว่าการประมาณ $a_n$ $b_n$ $G_n$ $F$

a_{n}^{'} = \frac{\log ((4 \log^{2} (2)) / (\log^{2} (\frac{4}{3})))}{2 \sqrt{2 \log (n)}}, b_{n}^{'} = \sqrt{2 \log (n)} - \frac{\log (\log (n)) + \log (4 π \log^{2} (2))}{2 \sqrt{2 \log (n)}}

$a_n^\prime = \frac{\log \left(\left(4 \log^2(2)\right)/\left(\log^2\left(\frac{4}{3}\right)\right)\right)}{2\sqrt{2\log (n)}},\ b_n^\prime = \sqrt{2\log (n)}-\frac{\log (\log (n))+\log \left(4 \pi \log ^2(2)\right)}{2 \sqrt{2\log (n)}}$

จะทำงานได้ดี (และเรียบง่ายที่สุดเท่าที่จะทำได้)

รูปที่ 3

เส้นโค้งสีฟ้าอ่อนเป็นกราฟบางส่วนของสำหรับใช้ลำดับโดยประมาณและb_nสายสีแดงเข้มกราฟกลับกระจายกัมเบลที่มีพารามิเตอร์และ\การบรรจบกันนั้นชัดเจน (แม้ว่าอัตราการลู่เข้าสำหรับการลบจะช้าลงอย่างเห็นได้ชัด) $G_n$ $n=2, 2^6, 2^{11}, 2^{16}$ $a_n^\prime$ $b_n^\prime$ $\alpha$ $\beta$ $x$

อ้างอิง

BV Gnedenko, การกระจายการ จำกัด ของระยะเวลาสูงสุดในซีรีส์แบบสุ่ม ใน Kotz และ Johnson, Breakthroughs ในสถิติ Volume I: รากฐานและทฤษฎีพื้นฐาน, Springer, 1992 แปลโดย Norman Johnson

— whuber
แหล่งที่มา

@Vossler สูตรในโพสต์ Alecos สำหรับลู่ไปเป็นnก็จะทำงานเช่นขนาดใหญ่n

a_{n}

$a_n$

0

$0$

n \to \infty

$n\to\infty$

{(2 \log (n) - \log (2 π))}^{- 1 / 2}

$\left(2 \log(n) - \log(2\pi)\right)^{-1/2}$

n

$n$

— whuber

ใช่มันเป็นความจริงฉันรู้ว่าไม่นานหลังจากที่ฉันโพสต์ความคิดเห็นของฉันดังนั้นฉันจึงลบมันทันที ขอขอบคุณ!

— Vossler

@ เจสฉันหวังว่าคำตอบนี้จะถูกเข้าใจว่าเป็นการแสดงเหนือสิ่งอื่นใดที่ไม่มีสิ่งเช่น "สูตร": มีสูตรที่ถูกต้องมากมายสำหรับและ

a_{n}

$a_n$

b_{n} .

$b_n.$

— whuber

@ เจสนั้นดีกว่าเพราะแสดงให้เห็นถึงวิธีการอื่นคือแรงจูงใจในการเขียนคำตอบนี้ ฉันไม่เข้าใจความโหยหาของคุณที่ฉันคิดว่ามัน "ไร้ประโยชน์ที่จะเขียนคำตอบ" เพราะนั่นคือสิ่งที่ฉันได้ทำที่นี่อย่างชัดเจน

— whuber

@ เจสฉันไม่สามารถสนทนาต่อไปได้เพราะมันเป็นด้านเดียว: ฉันยังจำอะไรที่ฉันเขียนไม่ได้ในลักษณะของคุณ ฉันเลิกในขณะที่ฉันอยู่ข้างหลัง

— whuber