เหตุใดการแจกแจงเฉลี่ยและการเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1 จึงใช้เสมอ

15

สถิติของฉันได้รับการสอนด้วยตนเอง แต่เนื้อหามากมายที่ฉันอ่านชี้ไปยังชุดข้อมูลที่มีค่าเฉลี่ย 0 และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1

ถ้าเป็นเช่นนั้น:

เหตุใดค่าเฉลี่ย 0 และ SD 1 จึงเป็นคุณสมบัติที่ดีที่จะมี
ทำไมตัวแปรสุ่มที่ดึงมาจากตัวอย่างนี้เท่ากับ 0.5? โอกาสในการวาด 0.001 เท่ากับ 0.5 ดังนั้นนี่ควรเป็นการกระจายแบบเรียบ ...
เมื่อมีคนพูดเกี่ยวกับคะแนน Z พวกเขาหมายถึงอะไรที่นี่จริง?

probability

— Jack Kada
แหล่งที่มา

11

ในตอนแรกคำตอบที่มีประโยชน์ที่สุดน่าจะเป็นว่าค่าเฉลี่ยของ 0 และ sd ของ 1 นั้นสะดวกสบายทางคณิตศาสตร์ หากคุณสามารถคำนวณความน่าจะเป็นสำหรับการแจกแจงที่มีค่าเฉลี่ยเป็น 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ 1 คุณสามารถหาได้จากการกระจายตัวของคะแนนที่คล้ายกันด้วยสมการที่ง่ายมาก
ฉันไม่ได้ติดตามคำถามนี้ ค่าเฉลี่ยของ 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1 มักใช้กับการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานซึ่งมักเรียกว่าเส้นโค้งระฆัง ค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดคือค่าเฉลี่ยและมันจะลดลงเมื่อคุณอยู่ห่างออกไป หากคุณมีการแจกแจงแบบคงที่อย่างแท้จริงไม่มีค่าใดที่น่าจะเป็นไปได้ คำถามของคุณที่นี่เกิดขึ้นไม่ดี คุณกำลังดูคำถามเกี่ยวกับการโยนเหรียญหรือเปล่า? ค้นหาการแจกแจงทวินามและทฤษฎีขีด จำกัด กลาง
"หมายถึงที่นี่"? ที่ไหน? คำตอบง่ายๆสำหรับคะแนน z คือพวกเขาเป็นคะแนนของคุณโดยที่ถ้าคุณหมายถึง 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ 1 วิธีคิดอีกอย่างคือว่าใช้คะแนนแต่ละคะแนนเป็นจำนวนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่คะแนนมาจาก ค่าเฉลี่ย สมการกำลังคำนวณส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (คะแนน - เฉลี่ย) / เหตุผลที่คุณทำนั้นมีความหลากหลาย แต่เหตุผลหนึ่งก็คือในหลักสูตรสถิติเบื้องต้นคุณมีตารางความน่าจะเป็นสำหรับคะแนน z ที่ต่างกัน (ดูคำตอบ 1)

หากคุณค้นหาคะแนน z ก่อนแม้ในวิกิพีเดียคุณจะได้รับคำตอบที่ดีงาม

— John
แหล่งที่มา

ในวันที่ 2) ฉันเชื่อว่าความสับสนเป็นสิ่งที่ p (X = .01) หมายถึงเมื่อ X เป็นตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นดูเหมือนจะเป็นศูนย์ทุกแห่งเพราะไม่มีโอกาส X เท่ากับ. 01 ผู้ถามควรทบทวนคำนิยามของฟังก์ชันความหนาแน่นในกรณีต่อเนื่องซึ่งนิยามไว้ว่าเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันความหนาแน่นสะสม

— อุโมงค์

7

เริ่มต้นด้วยสิ่งที่เรากำลังพูดถึงนี่คือการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ยเป็น 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1 ทางลัดสำหรับตัวแปรที่ถูกกระจายเป็นการกระจายตัวแบบปกติมาตรฐานคือ Z

นี่คือคำตอบสำหรับคำถามของคุณ

(1) ฉันคิดว่ามีสองเหตุผลสำคัญว่าทำไมการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานจึงน่าดึงดูด ประการแรกตัวแปรที่กระจายตามปกติใด ๆ สามารถแปลงหรือแปลงเป็นมาตรฐานปกติโดยการลบค่าเฉลี่ยจากการสังเกตแต่ละครั้งก่อนที่จะหารการสังเกตแต่ละครั้งด้วยการเบี่ยงเบนมาตรฐาน สิ่งนี้เรียกว่าการแปลง Z หรือการสร้างคะแนน Z สิ่งนี้มีประโยชน์มากโดยเฉพาะในช่วงก่อนคอมพิวเตอร์

\begin{aligned} \frac{(x_{ผม} - \bar{x})}{σ_{x}} & = Z \\ \frac{(75 - 65.6)}{10.2} & = 0.9215 \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{(x_i - \bar x)}{\sigma_x} &= Z \\ \frac{(75 - 65.6)}{10.2} &= 0.9215 \end{aligned}$

เหตุผลที่สองที่การแจกแจงปกติแบบมาตรฐานนั้นถูกใช้บ่อยครั้งนั้นเกิดจากการตีความที่ให้ไว้ในรูปของคะแนน Z "การสังเกต" แต่ละครั้งในตัวแปรที่แปลง Z คือจำนวนค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่การสังเกตที่ไม่ถูกแปลดั้งเดิมนั้นมาจากค่าเฉลี่ย สิ่งนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการทดสอบมาตรฐานที่ประสิทธิภาพดิบหรือสัมบูรณ์มีความสำคัญน้อยกว่าประสิทธิภาพสัมพัทธ์

(2) ฉันไม่ได้ติดตามคุณที่นี่ ฉันคิดว่าคุณอาจสับสนว่าเราหมายถึงอะไรโดยฟังก์ชั่นการแจกแจงสะสม โปรดทราบว่าค่าที่คาดหวังของการแจกแจงปกติมาตรฐานคือ 0 และค่านี้สอดคล้องกับค่า. 5 ในฟังก์ชันการแจกแจงสะสมที่เกี่ยวข้อง

\begin{aligned} \frac{(x_{ผม} - \bar{x})}{σ_{x}} & = Z \\ \frac{(75 - 65.6)}{10.2} & = 0.9215 \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{(x_i - \bar x)}{\sigma_x} &= Z \\ \frac{(75 - 65.6)}{10.2} &= 0.9215 \end{aligned}$

— Graham Cookson
แหล่งที่มา

1

เนื่องจากคุณได้รับคำอธิบายที่ดีเยี่ยมจาก Graham และ John ฉันจะตอบคำถามสุดท้ายของคุณ:

เมื่อมีคนพูดเกี่ยวกับคะแนน Z พวกเขาหมายถึงอะไรที่นี่จริง?

$\mu$ $\sigma$

ดังนั้น: (65-80) / 5 = -3

คุณสามารถพูดได้ว่าคะแนน z สำหรับระดับ 65 คือ-3 ; หรือในคำอื่น ๆ 3 ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานไปทางซ้าย

— adhg
แหล่งที่มา