pdf และ pmf และ cdf มีข้อมูลเหมือนกันหรือไม่?

17

สำหรับฉัน pdf ให้ความน่าจะเป็นทั้งหมดจนถึงจุดหนึ่ง (โดยทั่วไปคือพื้นที่ภายใต้ความน่าจะเป็น)

pmf ให้ความน่าจะเป็นของบางจุด

cdf ให้ความน่าจะเป็นภายใต้จุดหนึ่ง

ดังนั้นสำหรับฉันไฟล์ PDF และ cdf มีข้อมูลเหมือนกัน แต่ pmf ไม่ได้เพราะมันให้ความน่าจะเป็นสำหรับxการแจกแจง

— แคร์
แหล่งที่มา

25

เมื่อความแตกต่างระหว่างฟังก์ชั่นความน่าจะเป็นและความหนาแน่น * PMF จะใช้กับตัวแปรสุ่มแบบแยกเท่านั้นในขณะที่ไฟล์ PDF ใช้กับตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง

* วิธีการอย่างเป็นทางการสามารถรวมทั้งสองและใช้คำเดียวสำหรับพวกเขา

cdf นำไปใช้กับตัวแปรสุ่มใด ๆ รวมถึงสิ่งที่ไม่มีทั้ง pdf และ pmf

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

(การกระจายแบบผสมไม่ใช่กรณีเดียวของการกระจายที่ไม่มี PDF หรือ pmf แต่เป็นสถานการณ์ทั่วไปที่สมเหตุสมผล - ตัวอย่างเช่นพิจารณาปริมาณน้ำฝนในหนึ่งวันหรือจำนวนเงินที่จ่ายในการเรียกร้อง นโยบายการประกันทรัพย์สินซึ่งอาจจะเป็นรูปแบบของการกระจายอย่างต่อเนื่องเป็นศูนย์ที่สูงเกินจริง)

cdf สำหรับตัวแปรสุ่มให้ $X$ $P(X\leq x)$

PMF สำหรับต่อเนื่องตัวแปรสุ่มให้ ) $X$ $P(X=x)$

ไฟล์ PDF นั้นไม่ได้ให้ความน่าจะเป็น แต่ความน่าจะเป็นที่สัมพันธ์กัน การแจกแจงต่อเนื่องไม่มีจุดน่าจะเป็น ในการรับความน่าจะเป็นจากไฟล์ PDF คุณต้องรวมช่วงเวลาบางช่วงหรือใช้ค่า cdf สองค่า

เป็นการยากที่จะตอบคำถาม 'พวกเขามีข้อมูลเดียวกัน' เพราะขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณหมายถึง คุณสามารถเปลี่ยนจาก pdf เป็น cdf (ผ่านการรวม) และจาก pmf เป็น cdf (ผ่านการสรุป) และจาก cdf เป็น pdf (ผ่านการแยกความแตกต่าง) และจาก cdf เป็น pmf (ผ่านความแตกต่าง) ดังนั้นหากมี PMF หรือ PDF อยู่ มันมีข้อมูลเช่นเดียวกับ cdf

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

1

Glen คุณสามารถช่วยได้โดยให้การอ้างอิงที่ฉันสามารถอ่านเกี่ยวกับ "pdf ให้ความน่าจะเป็นญาติ" มันน่าสนใจมากและฉันจำไม่ได้ว่าเคยเห็นมันในหนังสือของฉัน ขอบคุณ

— Alecos Papadopoulos

@Alcos มันเป็นเพียงคำอธิบาย (อาจจะพูดไม่ดี) ความจริงที่ว่าในขณะที่

ไม่ใช่ความน่าจะเป็นเนื่องจาก

f (x)

$f(x)$

คือความน่าจะเป็นที่อยู่ใน

, จากนั้น

สามารถคิดได้ว่าเป็นอัตราส่วนของความน่าจะเป็นที่ตัวแปรที่มีความหนาแน่น

อยู่ในระยะทางที่น้อยมาก

ต่ออัตราส่วนที่ตัวแปรที่มีความหนาแน่น

อยู่ในช่วงเวลาเดียวกัน ในแง่นั้นมันเป็นการแสดงออกถึง 'ความน่าจะเป็นสัมพัทธ์'

f (x) d x

$f(x)\,dx$

(x, x + d x)

$(x,x+dx)$

f (x) / g (x)

$f(x)/g(x)$

f

$f$

x

$x$

g

$g$

— Glen_b -Reinstate Monica

ฉันเห็น. แน่นอนว่าเป็นการประมาณอัตราส่วนความน่าจะเป็นและแน่นอนว่ามีอยู่ในฟังก์ชันความหนาแน่นเชิงประจักษ์ซึ่งสิ่งต่าง ๆ ไม่ต่อเนื่องกันโดยความจำเป็น

— Alecos Papadopoulos

10

PMF เกี่ยวข้องกับตัวแปรสุ่มแยก, PDF ที่มีตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง สำหรับการใด ๆประเภทของการสุ่มของตัวแปรสุ่ม CDF อยู่เสมอ (และไม่ซ้ำกัน) กำหนดเป็น ตอนนี้ขึ้นอยู่กับชุดสนับสนุนของตัวแปรสุ่มความหนาแน่น (หรือฟังก์ชันมวล) ไม่จำเป็นต้องมีอยู่ (พิจารณาชุดคันทอร์และฟังก์ชั่นคันทอร์ชุดจะถูกกำหนดซ้ำโดยลบจุดศูนย์กลาง 1/3 ของช่วงหน่วยจากนั้นทำซ้ำขั้นตอนสำหรับช่วงเวลา (0, 1/3) และ (2/3, 1) ฯลฯ ฟังก์ชั่นถูกกำหนดเป็น

F_{X} (x) = P {X \leq x} .

$F_X(x) = P\{X \leq x\}.$

X

$X$

ถ้า

อยู่ในชุดต้นเสียงและที่ยิ่งใหญ่ที่สุดขอบเขตล่างในชุดต้นเสียงถ้า

ไม่ได้เป็นสมาชิก.) ฟังก์ชั่นต้นเสียงเป็นฟังก์ชั่นการจัดจำหน่ายที่ดีอย่างสมบูรณ์ถ้าคุณตะปูบน

ถ้า

และ

ถ้า

x

แต่ cdf นี้ไม่มีความหนาแน่น:

ต่อเนื่องทุกที่ แต่อนุพันธ์ของมันคือ 0 เกือบทุกที่ ไม่มีความหนาแน่นเมื่อเทียบกับการวัดที่มีประโยชน์ใด ๆ

C (x) = x

$C(x) = x$

x

$x$

x

$x$

C (x) = 0

$C(x)= 0$

x < 0

$x < 0$

C (x) = 1

$C(x) = 1$

1 < x

$1 < x$

C (x)

$C(x)$

ดังนั้นคำตอบสำหรับคำถามของคุณคือถ้ามีฟังก์ชั่นความหนาแน่นหรือมวลอยู่มันก็เป็นอนุพันธ์ของ CDF ที่เกี่ยวกับการวัดบางอย่าง ในแง่นั้นพวกเขานำข้อมูล "เดียวกัน" มาใช้ แต่ไม่ต้องมีไฟล์ PDF และ PMF ต้องมี CDF

— เดนนิส
แหล่งที่มา

2

เดนนิสคุณสามารถอธิบายความหมายของวลี " ไม่มีความหนาแน่นเทียบกับการวัดใด ๆ " ได้หรือไม่? แน่นอนว่ามันมีความหนาแน่น (เหมือนกัน!) ด้วยความเคารพต่อตัวเอง

— พระคาร์ดินัล

μ

$\mu$

(Ω, σ (Ω), μ)

$(\Omega, \sigma(\Omega), \mu)$

μ

$\mu$

C (x)

$C(x)$ ไม่มีอนุพันธ์ RN

— Dennis

3

σ

$\sigma$

2

คำตอบอื่น ๆ ชี้ไปที่ความจริงที่ว่า CDF เป็นพื้นฐานและต้องมีอยู่ในขณะที่ PDF และ PMF ไม่ได้อยู่และไม่จำเป็นต้องมีอยู่จริง

$S^1$

สำหรับผมแล้วดูเหมือนว่าคำตอบคือฟังก์ชั่นพื้นฐานคือการวัดความน่าจะเป็นซึ่งจับคู่เซตย่อยของพื้นที่ตัวอย่างกับความน่าจะเป็น จากนั้นเมื่อมีอยู่ CDF, PDF และ PMF จะเกิดขึ้นจากการวัดความน่าจะเป็น

— Joel Bosveld
แหล่งที่มา

1

วิธีที่ฉันได้เห็นหนังสือตำราส่วนใหญ่กำหนด "ตัวแปรสุ่ม" เพื่อทำแผนที่จากพื้นที่ตัวอย่างไปยังจำนวนจริง โดยพื้นฐานแล้วตัวแปรสุ่มมีมูลค่าจริง

— Neil G

1

เราใช้ตัวแปรสุ่มเพื่อเข้าไปในพื้นที่ความน่าจะเป็น

(R, B, F)

$(\mathbb{R}, \frak{B}, \mathrm{F})$

(Ω, σ (Ω), μ)

$(\Omega, \sigma(\Omega), \mu)$

Ω

$\Omega$

μ

$\mu$

F_{X} (x) = μ {ω | X (ω) \leq x} .

$F_X(x) = \mu\{\omega\, |\, X(\omega) \leq x\}.$