CDF ยกกำลัง?

ถ้า$F_Z$เป็น CDF ดูเหมือนว่า$F_Z(z)^\alpha$ ( $\alpha \gt 0$ ) เป็น CDF เช่นกัน

ถาม: นี่เป็นผลลัพธ์มาตรฐานหรือไม่

Q: มีวิธีที่ดีที่จะหาฟังก์ชั่น$g$กับ$X \equiv g(Z)$เซนต์$F_X(x) = F_Z(z)^\alpha$ที่$x \equiv g(z)$

โดยทั่วไปฉันมี CDF อื่นในมือ$F_Z(z)^\alpha$ α ในความรู้สึกที่ลดลงบางอย่างฉันต้องการอธิบายลักษณะของตัวแปรสุ่มที่สร้าง CDF นั้น

แก้ไข: ฉันจะมีความสุขถ้าฉันจะได้รับผลการวิเคราะห์กรณีพิเศษ$Z \sim N(0,1)$ ) หรืออย่างน้อยก็รู้ว่าผลลัพธ์ดังกล่าวเป็นเรื่องยาก

ฉันชอบคำตอบอื่น ๆ แต่ยังไม่มีใครพูดถึงต่อไปนี้ เหตุการณ์$\{U \leq t,\ V\leq t \}$ เกิดขึ้นถ้าหาก$\{\mathrm{max}(U,V)\leq t\}$ดังนั้นหาก$U$และ$V$เป็นอิสระและ$W = \mathrm{max}(U,V)$ดังนั้น$F_{W}(t) = F_{U}(t)*F_{V}(t)$ดังนั้นสำหรับเป็นจำนวนเต็มบวก (พูด, α = n ) ใช้X = เมตรx ( Z 1 , . . . Z n )ที่Z 's มี IID$\alpha$$\alpha = n$$X = \mathrm{max}(Z_{1},...Z_{n})$$Z$

สำหรับเราสามารถ switcheroo รับF Z = F n Xดังนั้น$\alpha = 1/n$$F_{Z} = F_{X}^n$$X$จะเป็นที่ตัวแปรสุ่มเช่นที่สูงสุดของสำเนาอิสระมีการกระจายเช่นเดียวกับZ (และนี้จะไม่เป็นหนึ่งในเพื่อนที่คุ้นเคยของเรา โดยทั่วไป) $n$$Z$

กรณีของจำนวนจริงบวก (พูด, α = เมตร/ n ) ดังต่อไปนี้จากก่อนหน้านี้ตั้งแต่ ( F Z ) M / n = ( F 1 / n Z )$\alpha$$\alpha = m/n$

$$\left(F_{Z}\right)^{m/n} = \left(F_{Z}^{1/n}\right)^{m}.$$

สำหรับไม่มีเหตุผลให้เลือกลำดับการปันส่วนเป็นบวกa การบรรจบกันของkกับα ; จากนั้นลำดับX k (ซึ่งเราสามารถใช้ลูกเล่นของเราสำหรับแต่ละk ) จะรวมกันในการกระจายไปยังXที่ต้องการ$\alpha$$a_{k}$$\alpha$$X_{k}$$k$$X$

นี่อาจไม่ใช่ลักษณะที่คุณต้องการ แต่อย่างน้อยก็ให้แนวคิดเกี่ยวกับวิธีคิดเกี่ยวกับสำหรับαอย่างเหมาะสมดี ในทางกลับกันฉันไม่แน่ใจว่าจะได้รับดีกว่านี้มากเพียงใด: คุณมี CDF อยู่แล้วดังนั้นกฎลูกโซ่จะให้ PDF และคุณสามารถคำนวณช่วงเวลาก่อนพระอาทิตย์ตกดิน ... ? เป็นเรื่องจริงที่Zส่วนใหญ่จะไม่มีXที่คุ้นเคยสำหรับα = $F_{Z}^{\alpha}$$\alpha$$Z$$X$แต่ถ้าผมอยากจะเล่นรอบกับตัวอย่างที่จะมองหาสิ่งที่น่าสนใจที่ผมอาจจะพยายามZกระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลาหน่วยที่มีF(Z)=Z,0<Z<1$\alpha = \sqrt{2}$$Z$$F(z) = z$$0<z<1$

---

แก้ไข: ฉันเขียนความคิดเห็นใน @JMS คำตอบและมีคำถามเกี่ยวกับเลขคณิตของฉันดังนั้นฉันจะเขียนสิ่งที่ฉันหมายถึงด้วยความหวังว่ามันชัดเจนมากขึ้น

@cardinal อย่างถูกต้องในการแสดงความคิดเห็นที่จะตอบ @JMS เขียนว่าปัญหาที่เกิดขึ้นช่วยลดความยุ่งยากในการ หรืออื่น ๆ โดยทั่วไปเมื่อZไม่จำเป็นต้องเป็นN ( 0 , 1 )เรา มี x = กรัม- 1 ( Y ) = F - 1 ( F α ( Y )

$$g^{-1}(y) = \Phi^{-1}(\Phi^{\alpha}(y)),$$ $Z$$N(0,1)$ $$x = g^{-1}(y) = F^{-1}(F^{\alpha}(y)).$$ ประเด็นของฉันคือเมื่อ$F$มีฟังก์ชันผกผันที่ดีที่เราสามารถแก้ได้สำหรับฟังก์ชัน$y = g(x)$ด้วยพีชคณิตพื้นฐานได้ ผมเขียนในความคิดเห็นที่ควรจะ Y = กรัม( x ) = F - 1 ( F 1 / α ( x ) $g$ $$y = g(x) = F^{-1}(F^{1/\alpha}(x)).$$

ลองพิจารณากรณีพิเศษเสียบสิ่งต่างๆเข้าด้วยกันและดูว่ามันทำงานอย่างไร Let มี (1) การกระจายประสบการณ์มี CDF F ( x ) = ( 1 - อี- x ) , x > 0 , และผกผัน CDF F - 1 ( Y ) = - LN ( 1 - Y ) มันง่ายที่จะเสียบทุกอย่างเพื่อค้นหาg ; หลังจากเสร็จแล้วเราจะได้รับ y = g ( x ) = $X$

$$F(x) = (1 - \mathrm{e}^{-x}),\ x > 0,$$ $$F^{-1}(y) = -\ln(1 - y).$$ $g$ 1 )และถ้าเรากำหนด Y = - ln ( 1 - ( 1 - e - X) ) 1 / α ) , แล้ว Yจะมี CDF ซึ่งดูเหมือน F Y ( Y ) = ( ดังนั้นโดยสรุปการอ้างสิทธิ์ของฉันคือถ้า X ∼ E x p $$y = g(x) = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-x})^{1/\alpha} \right)$$ $X \sim \mathrm{Exp}(1)$ $$Y = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-X})^{1/\alpha} \right),$$ $Y$ เราสามารถพิสูจน์ได้โดยตรง (ดูที่ $$F_{Y}(y) = \left( 1 - \mathrm{e}^{-y} \right)^{\alpha}.$$ และใช้พีชคณิตเพื่อให้ได้นิพจน์ในขั้นตอนถัดไปจากขั้นตอนสุดท้ายเราจำเป็นต้องมีการแปลงความน่าจะเป็นแบบบูรณาการ) เพียงแค่ในกรณี (มักจะซ้ำ) ที่ฉันบ้าฉันวิ่งแบบจำลองบางอย่างเพื่อตรวจสอบอีกครั้งว่ามันใช้งานได้ ... และมันไม่ ดูด้านล่าง ที่จะทำให้โค้ดง่ายผมใช้สองข้อเท็จจริง: ถ้า  X ~ F  แล้ว  U = F ( X ) ~ U n ฉันฉ ( 0 , 1 $P(Y \leq y)$ถ้า  U ~ U n ฉันฉ ( 0 , 1 )  แล้ว  U 1 $$\mbox{If $X \sim F$ then $U = F(X) \sim \mathrm{Unif}(0,1)$.}$$ $$\mbox{If $U \sim \mathrm{Unif}(0,1)$ then $U^{1/\alpha} \sim \mathrm{Beta}(\alpha,1)$.}$$

เนื้อเรื่องของผลการจำลองมีดังนี้

รหัส R ที่ใช้ในการสร้างพล็อต (ลบฉลาก) คือ

n <- 10000; alpha <- 0.7
z <- rbeta(n, shape1 = alpha, shape2 = 1)
y <- -log(1 - z)
plot(ecdf(y))
f <- function(x) (pexp(x, rate = 1))^alpha
curve(f, add = TRUE, lty = 2, lwd = 2)

พอดีดูดีสวยฉันคิดว่า? บางทีฉันอาจจะไม่ได้บ้า (คราวนี้)?

พิสูจน์ได้โดยไม่มีคำพูด

เส้นโค้งสีฟ้าด้านล่างคือ $F$เส้นโค้งสีแดงส่วนบนคือ $F^\alpha$ (พิมพ์กรณีและปัญหา $\alpha \lt 1$) และลูกศรแสดงวิธีการเดินทาง $z$ ถึง $x = g(z)$.

Q1) ใช่ นอกจากนี้ยังมีประโยชน์สำหรับการสร้างตัวแปรที่เรียงลำดับแบบสุ่ม คุณสามารถเห็นสิ่งนี้ได้จากภาพสวยของ @ whuber :)$\alpha>1$ สลับลำดับสุ่ม

มันเป็น cdf ที่ถูกต้องเป็นเพียงเรื่องของการตรวจสอบเงื่อนไขที่จำเป็น: $F_z(z)^\alpha$จะต้องมีค่าคงที่ , ไม่ลด, และ จำกัด$1$ ที่อินฟินิตี้และ $0$ ที่อนันต์ลบ $F_z$ มีคุณสมบัติเหล่านี้เพื่อให้ง่ายต่อการแสดง

Q2) ดูเหมือนว่ามันจะเป็นการวิเคราะห์ที่ค่อนข้างยากเว้นแต่ $F_Z$ เป็นพิเศษ