การกระจายตัวของความแตกต่างของการแจกแจงสองค่าคืออะไร

... และทำไม ?

สมมติว่า , เป็นตัวแปรสุ่มอิสระที่มีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนตามลำดับ หนังสือสถิติพื้นฐานของฉันบอกฉันว่าการกระจายตัวของมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: $X_1$ $X_2$ $\mu_1,\mu_2$ $\sigma^2_1,\sigma^2_2$ $X_1-X_2$

$E(X_1-X_2)=\mu_1-\mu_2$
$Var(X_1-X_2)=\sigma^2_1 +\sigma^2_2$

สมมุติว่า , คือการแจกแจงแบบ t กับ , ดีกรีอิสระ การกระจายตัวของคืออะไร? $X_1$ $X_2$ $n_1-1$ $n_2-2$ $X_1-X_2$

คำถามนี้ได้รับการแก้ไข:คำถามเดิมคือ"อะไรคือองศาอิสระของความแตกต่างของการแจกแจงแบบสองจุด?" . mpiktas ได้ชี้ให้เห็นแล้วว่าสิ่งนี้ไม่สมเหตุสมผลเนื่องจากไม่ได้ถูกแจกแจงแบบ t ไม่ว่าจะประมาณปกติไหร่(เช่น high df) $X_1-X_2$ $X_1,X_2$

distributions degrees-of-freedom t-distribution

— Steffen
แหล่งที่มา

นี่คือคำถามที่เกี่ยวข้องซึ่งอาจเป็นที่สนใจ

— mpiktas

Google the Satterthwaite t-test, CABF t-test (การประเมินโดย Cochran ต่อ Behrens-Fisher) และปัญหาของ Behrens-Fisher

— whuber

สำหรับกรณีพิเศษที่องศาอิสระเท่ากับ 1 (การแจกแจงโคชี) คำตอบของคำถามเดิมคือ 1 ผลรวม (หรือความแตกต่าง) ของตัวแปรอิสระแบบกระจายของโคชีสองตัวที่สองคือ Cauchy พร้อมตัวแปรสเกล

แต่จากนั้นอีกครั้ง การกระจาย Cauchy ไม่มีแม้แต่ค่าเฉลี่ย

2

$2$

— NRH

คุณต้องตรวจสอบการแจกจ่ายของ Behrens - Fisher

— Wis

คำตอบ:

ผลรวมของตัวแปรสุ่มแบบกระจาย t สองตัวที่ไม่ได้กระจายตัว ดังนั้นคุณไม่สามารถพูดเกี่ยวกับดีกรีอิสระของการแจกแจงนี้ได้เนื่องจากการแจกแจงที่ได้จะไม่มีดีกรีอิสระใด ๆ ในแง่ที่การแจกแจงแบบ t มี

— mpiktas
แหล่งที่มา

@mpiktas: คำถามโง่ หากการแจกแจงแบบ t ด้วย n-1 df สามารถหาได้จากผลรวมของการแจกแจงปกติ n อิสระ (ดูวิกิพีเดีย) และให้ค่า df สูงพอที่การแจกแจงแบบ t จะใกล้เคียงกับการแจกแจงแบบปกติไม่ได้มาจากผลรวม ของการแจกแจงแบบ t คือการแจกแจงแบบทีอีกครั้ง?

— steffen

@mpiktas: สิ่งที่เกี่ยวกับการทดสอบสถิติของการทดสอบ t- ซึ่งดูเหมือนว่าจะได้มาจากความแตกต่างของการแจกแจง t สอง?

— steffen

@steffen ไม่ มันจะเป็นปกติประมาณเนื่องจากคุณจะเพิ่มตัวแปรปกติกระจายสองปกติประมาณ การแจกแจงแบบ t ที่มีค่า df สูงเป็นปกติโดยประมาณ แต่โดยทั่วไปไม่จำเป็นต้องแจกแจงแบบ t ด้วยค่า df สูง

— mpiktas

@steffen สถิติการทดสอบ t ได้มาจากความแตกต่างของสองบรรทัดฐานไม่ใช่สองการแจกแจงแบบ t โปรดทราบว่าคำจำกัดความของการแจกแจงทีเป็นเศษส่วนของรากปกติและสแควร์ของไคสแควร์

— mpiktas

@steffen ฉันมักจะพูดกับนักเรียนของฉันไม่มีคำถามโง่ ๆ เพียงคนโง่ที่ไม่ถามคำถามใด ๆ ผมไม่ได้เป็นครูที่นิยมมากฉันควรเพิ่ม :)

— mpiktas

เห็นด้วยกับคำตอบข้างต้นความแตกต่างของตัวแปรสุ่มสองตัวที่แจกแจงแบบ t จะไม่ถูกแจกแจง แต่ฉันต้องการเพิ่มวิธีการคำนวณนี้

วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณคือการใช้วิธีมอนติคาร์โล ตัวอย่างเช่นใน R คุณสุ่มตัวอย่างตัวเลข 100,000 จากการแจกแจง t แรกจากนั้นคุณสุ่มสุ่มตัวเลขอีก 100,000 ตัวจากการแจกแจงรอบที่สอง คุณปล่อยให้ชุดแรกของ 100,000 หมายเลขลบชุดที่สองของ 100,000 หมายเลข 100,000 หมายเลขใหม่ที่ได้รับคือตัวอย่างแบบสุ่มจากการแจกแจงความแตกต่างระหว่างการแจกแจงสองแบบ คุณสามารถคำนวณค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนโดยเพียงแค่ใช้และmean()var()
1. สิ่งนี้เรียกว่าการกระจาย Behrens-Fisher คุณสามารถดูที่หน้าวิกิพีเดีย: https://en.wikipedia.org/wiki/Behrens%E2%80%93Fisher_distribution CI ที่ได้รับจากการกระจายนี้ถูกเรียกว่า "ช่วงเวลาที่แม่นยำ" นี้เป็นไม่ CI
2. การรวมตัวเลขอาจทำงานได้ สิ่งนี้ยังคงเป็นจุด bullet 2 คุณอาจอ้างถึงส่วนที่ 2.5.2 ในการอนุมานแบบเบย์ในการวิเคราะห์ทางสถิติโดย Box, George EP, Tiao, George C. มันมีขั้นตอนโดยละเอียดของการรวมและวิธีการประมาณนี้เป็นอย่างไร การกระจายของ Behrens-Fisher

— ฉือเจียเปี่ยน
แหล่งที่มา

สำหรับฉันแล้วการแจกแจงของ Behrens-Fisher นั้นใช้ในกรณีที่ความแปรปรวนของการแจกแจงแบบสองตัวไม่เท่ากัน สามารถพูดได้เหมือนกันหรือไม่ถ้าความแปรปรวนของการแจกแจงสองตัวนั้นเท่ากัน?

— Ian Sudbery

ขออภัยกด Enter สองต้นหรือไม่ เพื่อดำเนินการต่อ ... ตัวอย่างเช่นสมมติว่าเรามีการแจกแจงปกติสองแบบที่มีค่าความแปรปรวนเท่ากัน แต่ไม่ทราบค่า เราวาดตัวอย่างสองตัวอย่างจากการแจกแจงแต่ละครั้ง ความแตกต่างของค่าเฉลี่ยระหว่างสองตัวอย่างจากการแจกแจงแบบเดียวกันจะเป็นไปตามการแจกแจงแบบ t แต่การกระจายตัวของความแตกต่างของความแตกต่างคืออะไร

— Ian Sudbery