สืบทอดการกระจายปัวซอง

เมื่อไม่นานมานี้ฉันได้พบกับการแจกแจงปัวซองแบบกระจายตัว แต่ฉันสับสนเล็กน้อยว่ามันจะเกิดขึ้นได้อย่างไร

การกระจายมอบให้โดย:

$P(X = x, Y = y) = e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})} \displaystyle\frac{\theta_{1}^{x}}{x!}\frac{\theta_{2}^{y}}{y!} \sum_{i=0}^{min(x,y)}\binom{x}{i}\binom{y}{i}i!\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)^{i}$

จากสิ่งที่ฉันสามารถรวบรวมได้ $\theta_{0}$ เทอมคือการวัดความสัมพันธ์ระหว่าง $X$ และ $Y$ ; ดังนั้นเมื่อ $X$ และ $Y$ เป็นอิสระ $\theta_{0} = 0$ และการกระจายจะกลายเป็นผลคูณของการแจกแจงแบบปัวซองแบบสองตัวแปร

แบริ่งในใจ, สับสนของฉันคือการบอกกล่าวกับคำบวก - ฉันสมมติว่าในระยะนี้จะอธิบายถึงความสัมพันธ์ระหว่าง $X$ และY $Y$

ดูเหมือนว่าฉันว่า summand ถือเป็นผลคูณของฟังก์ชันการแจกแจงแบบทวินามที่น่าจะเป็นของ "ความสำเร็จ" โดย $\left(\frac{\theta_{0}}{\theta_{1}\theta_{2}}\right)$ และความน่าจะเป็นของ "ความล้มเหลว" มอบให้โดย $i!^{\frac{1}{min(x,y)-i}}$ เพราะ $\left(i!^{\frac{1}{min(x,y)-i!}}\right)^{(min(x,y)-i)} = i!$ แต่ฉันสามารถออกไปได้ด้วยสิ่งนี้

ใครช่วยให้ความช่วยเหลือเกี่ยวกับวิธีการที่จะได้รับการกระจาย? นอกจากนี้ถ้ามันสามารถรวมอยู่ในคำตอบใด ๆ ว่ารูปแบบนี้อาจขยายไปยังสถานการณ์หลายตัวแปร (พูดว่าตัวแปรสุ่มสามตัวหรือมากกว่า) นั่นจะดีมาก!

(ในที่สุดฉันได้ตั้งข้อสังเกตว่ามีคำถามที่คล้ายกันที่โพสต์ก่อนหน้านี้ ( ทำความเข้าใจเกี่ยวกับการแจกแจงปัวซอง bivariate ) แต่ที่มาไม่ได้สำรวจจริง ๆ )

— user9171
แหล่งที่มา

เทอมแรกที่มีเลขชี้กำลังไม่ควรเป็นแทน ?

e^{- (θ_{1} + θ_{2} + θ_{0})}

$e^{-\left( \theta_1 + \theta_2 + \theta_0 \right)}$

e^{θ_{1} + θ_{2} + θ_{0}}

$e^{\theta_1 + \theta_2 + \theta_0}$

— Gilles

@Giles ขออภัยฉันอ่านความคิดเห็นของคุณผิดในขั้นต้น - ใช่คุณถูกต้อง คำที่ควรอ่าน{0})} ขอบคุณสำหรับการจับ!

e^{- (θ_{1} + θ_{2} + θ_{0})}

$e^{-(\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{0})}$

— user9171

โดยทั่วไปจะไม่ใช่ "การ" สำหรับการกระจายหลายตัวแปรแบบหลายตัวแปรโดยมีข้อยกเว้นตามปกติเล็กน้อย (ตัวอย่างเช่น "หลายตัวแปรปกติ") มีหลายวิธีในการรับส่วนขยายหลายตัวแปรขึ้นอยู่กับคุณลักษณะที่สำคัญที่สุดที่จะมี ผู้เขียนที่แตกต่างกันอาจมีการแจกแจง univariate ทั่วไปหลายตัวแปรหลายเวอร์ชัน ดังนั้นโดยทั่วไปคนหนึ่งอาจจะบอกว่าบางอย่างเช่น " หลายตัวแปร Poisson" หรือ 'ดังนั้นและเพื่อให้เป็น bivariate Poisson" หนึ่งนี้เป็นธรรมชาติสวยหนึ่ง แต่ไม่เพียงหนึ่ง..

— Glen_b -Reinstate โมนิกา

(ctd) ... เช่นผู้เขียนบางคนมองหาการกระจายหลายตัวแปรที่มีความสามารถในการพึ่งพาเชิงลบความสามารถอันนี้ไม่มีอยู่

— Glen_b -Reinstate Monica

คำตอบ:

ในการนำเสนอสไลด์ , Karlis และ Ntzoufras กำหนด bivariate Poisson การกระจายของที่อิสระมี Poissonกระจาย จำได้ว่ามีการกระจายดังกล่าวหมายถึง $(X,Y)=(X_1+X_0,X_2+X_0)$ $X_i$ $\theta_i$

Pr (X_{i} = k) = e^{- θ_{i}} \frac{θ_{i}^{k}}{k!}

$\Pr(X_i=k) = e^{-\theta_i}\frac{\theta_i^k}{k!}$

สำหรับ $k=0, 1, 2, \ldots.$

เหตุการณ์คือการรวมกันของเหตุการณ์ $(X,Y)=(x,y)$

(X_{0}, X_{1}, X_{2}) = (i, x - i, y - i)

$(X_0,X_1,X_2) = (i,x-i,y-i)$

สำหรับทุกที่ทำให้จำนวนเต็มทั้งสามองค์ประกอบที่ไม่ใช่เชิงลบจากการที่เราอาจอนุมานว่าy) เนื่องจากเป็นอิสระจากความน่าจะเป็นของพวกเขาคูณดังนั้น $i$ $0 \le i \le \min(x,y)$ $X_i$

F_{(θ_{0}, θ_{1}, θ_{2})} (x, y) = Pr ((X, Y) = (x, y)) = \sum_{i = 0}^{min (x, y)} Pr (X_{0} = i) Pr (X_{1} = x - i) Pr (X_{2} = y - i) .

$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)=\Pr((X,Y)=(x,y)) \\= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \Pr(X_0=i)\Pr(X_1=x-i)\Pr(X_2=y-i).$

นี่คือสูตร เราเสร็จแล้ว แต่เพื่อดูว่ามันเทียบเท่ากับสูตรในคำถามใช้คำจำกัดความของการแจกแจงปัวซงเพื่อเขียนความน่าจะเป็นเหล่านี้ในแง่ของพารามิเตอร์และ (สมมติว่าไม่ใช่ของเป็นศูนย์) ทำงานอีกครั้งโดยพีชคณิต เพื่อดูมากที่สุดเช่นผลิตภัณฑ์ : $\theta_i$ $\theta_1,\theta_2$ $\Pr(X_1=x)\Pr(X_2=y)$

\begin{aligned} F_{(θ_{0}, θ_{1}, θ_{2})} (x, y) & = \sum_{i = 0}^{min (x, y)} (e^{- θ_{0}} \frac{θ_{0}^{i}}{i!}) (e^{- θ_{1}} \frac{θ_{1}^{x - i}}{(x - i)!}) (e^{- θ_{2}} \frac{θ_{2}^{y - i}}{(y - i)!}) \\ = e^{- (θ_{1} + θ_{2})} \frac{θ_{1}^{x}}{x!} \frac{θ_{2}^{y}}{y!} (e^{- θ_{0}} \sum_{i = 0}^{min (x, y)} \frac{θ_{0}^{i}}{i!} \frac{x! θ_{1}^{- i}}{(x - i)!} \frac{y! θ_{2}^{- i}}{(y - i)!}) . \end{aligned}

$\eqalign{ F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y)&= \sum_{i=0}^{\min(x,y)} \left( e^{-\theta_0} \frac{\theta_0^i}{i!}\right) \left( e^{-\theta_1} \frac{\theta_1^{x-i}}{(x-i)!}\right) \left( e^{-\theta_2} \frac{\theta_2^{y-i}}{(y-i)!}\right) \\ &=e^{-(\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\left(e^{-\theta_0}\sum_{i=0}^{\min(x,y)} \frac{\theta_0^i}{i!}\frac{x!\theta_1^{-i}}{(x-i)!}\frac{y!\theta_2^{-i}}{(y-i)!}\right). }$

หากคุณต้องการ - มันค่อนข้างจะมีการชี้นำ - คุณสามารถแสดงเงื่อนไขในผลรวมโดยใช้สัมประสิทธิ์ทวินามและให้ผล $\binom{x}{i}=x!/((x-i)!i!)$ $\binom{y}{i}$

F_{(θ_{0}, θ_{1}, θ_{2})} (x, y) = e^{- (θ_{0} + θ_{1} + θ_{2})} \frac{θ_{1}^{x}}{x!} \frac{θ_{2}^{y}}{y!} \sum_{i = 0}^{min (x, y)} i! (\binom{x}{i}) (\binom{y}{i}) {(\frac{θ_{0}}{θ_{1} θ_{2}})}^{i},

$F_{(\theta_0,\theta_1,\theta_2)}(x,y) = e^{-(\theta_0+\theta_1+\theta_2)}\frac{\theta_1^x}{x!}\frac{\theta_2^y}{y!}\sum_{i=0}^{\min(x,y)}i!\binom{x}{i}\binom{y}{i}\left(\frac{\theta_0}{\theta_1\theta_2}\right)^i,$

เหมือนในคำถาม

การวางแนวทั่วไปให้กับสถานการณ์หลายตัวแปรสามารถดำเนินการได้หลายวิธีขึ้นอยู่กับความยืดหยุ่นที่จำเป็น ที่ง่ายที่สุดจะพิจารณาการกระจายของ

(X_{1} + X_{0}, X_{2} + X_{0}, \dots, X_{d} + X_{0})

$(X_1+X_0, X_2+X_0, \ldots, X_d+X_0)$

อิสระ Poisson กระจาย variates\ เพื่อความยืดหยุ่นที่มากขึ้นสามารถแนะนำตัวแปรเพิ่มเติมได้ ตัวอย่างเช่นใช้ตัวแปรPoissonอิสระและพิจารณาการกระจายหลายตัวแปรของ , $X_0, X_1, \ldots,X_d$ $\eta_i$ $Y_1, \ldots, Y_d$ $X_i + (Y_i + Y_{i+1} + \cdots + Y_d)$ $i=1, 2, \ldots, d.$

— whuber
แหล่งที่มา

รุ่งโรจน์! Btw,ที่สองไม่ควรอยู่ในวงเล็บใหญ่ก่อนขั้นตอนสุดท้ายคือ ?

e^{- θ_{0}}

$e^{-\theta_0}$

e^{- θ_{2}}

$e^{-\theta_2}$

— Gilles

@Gilles ขอบคุณสำหรับการจับตัวพิมพ์ผิด - ฉันคงไว้แล้ว เลขชี้กำลังเริ่มต้นของจะต้องเป็น ; ในวงเล็บที่ถูกต้อง

θ_{0} + θ_{1}

$\theta_0+\theta_1$

θ_{1} + θ_{2}

$\theta_1+\theta_2$

e^{- θ_{0}}

$e^{-\theta_0}$

— whuber

@whuber ขอบคุณล้าน! นั่นเป็นคำตอบที่สมบูรณ์แบบ!

— user9171

@whuber คำตอบที่ดี! ผมก็ยังไม่เห็นว่าทำไมเหตุการณ์ควรจะเนื่องกันของเหตุการณ์ซีอานยี่) ฉันเดาว่านี่เป็นจริงสำหรับเท่านั้น คุณอาจหมายถึง (ส่วนประกอบฉลาด)? แต่นั่นก็เพียงพอแล้วที่จะจำแนกลักษณะของฟังก์ชันการแจกแจง?

(X, Y) = (x, y)

$(X,Y) = (x,y)$

(X_{0}, X_{1}, X_{2}) = (i, x - i, y - i)

$(X_0,X_1,X_2)=(i,x-i,y-i)$

i = 0

$i=0$

(X, Y) \leq (x, y)

$(X,Y) \leq (x,y)$

— vanguard2k

@ vanguard2k ฉันไม่เข้าใจความคิดเห็นของคุณ คุณยืนยันเหตุการณ์เหล่านั้นไม่ได้แยกจากกัน? (แต่พวกเขาจะต้องเป็นเพราะพวกเขามีค่าที่แตกต่างกันของ .) หรือคุณยืนยันว่าพวกเขาจะไม่ครบถ้วนสมบูรณ์? (ถ้าเป็นเช่นนั้นคุณคิดว่ายังไม่ได้รวมมูลค่าของอะไร ?)

X_{0}

$X_0$

(X, Y)

$(X,Y)$

— whuber

นี่คือวิธีที่จะได้รับการแจกแจงปัวซอง bivariate

ให้เป็นอิสระ Poisson ตัวแปรสุ่มที่มีพารามิเตอร์\ จากนั้นเรากำหนดx_0 ตัวแปรร่วมกันทั้งทำให้ทั้งคู่ที่จะมีความสัมพันธ์ จากนั้นเราต้องคำนวณความน่าจะเป็นโดยรวมของ funtion: $X_0, X_1, X_2$ $\theta_0, \theta_1, \theta_2$ $Y_1=X_0+X_1, Y_2 = X_0+X_2$ $X_0$ $Y_1$ $Y_2$ $(Y_1, Y_2)$

\begin{aligned} P (Y_{1} = y_{1}, Y_{2} = y_{2}) & = P (X_{0} + X_{1} = y_{1}, X_{0} + X_{2} = y_{2}) \\ = \sum_{x_{0} = 0}^{min (y_{1}, y_{2})} P (X_{0} = x_{0}) P (X_{1} = y_{1} - x_{0}) P (X_{2} = y_{2} - y_{0}) \\ = \sum_{x_{0} = 0}^{min (y_{1}, y_{2})} e^{- θ_{0}} \frac{{θ_{0}}^{x_{0}}}{x_{0}!} e^{- θ_{1}} \frac{{θ_{1}}^{y_{1} - x_{0}}}{(y_{1} - x_{0})!} e^{- θ_{2}} \frac{{θ_{2}}^{y_{2} - x_{0}}}{(y_{2} - x_{0})!} \\ = e^{- θ_{0} - θ_{1} - θ_{2}} {θ_{1}}^{y_{1}} {θ_{2}}^{y_{2}} \sum_{x_{0} = 0}^{min (y_{1}, y_{2})} {(\frac{θ_{0}}{θ_{1} θ_{2}})}^{x_{0}} x_{0}! (\binom{y_{1}}{x_{0}}) (\binom{y_{2}}{x_{0}}) \end{aligned}

$\begin{align} P(Y_1=y_1, Y_2=y_2) &= P(X_0+X_1=y_1, X_0+X_2=y_2) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} P(X_0=x_0) P(X_1=y_1-x_0) P(X_2=y_2-y_0) \\ &= \sum_{x_0=0}^{\min(y_1, y_2)} e^{-\theta_0} \frac{{\theta_0}^{x_0}}{x_0!} e^{-\theta_1} \frac{{\theta_1}^{y_1-x_0}}{(y_1-x_0)!} e^{-\theta_2} \frac{{\theta_2}^{y_2-x_0}}{(y_2-x_0)!} \\ &= e^{-\theta_0-\theta_1-\theta_2} {\theta_1}^{y_1} {\theta_2}^{y_2} \sum_{x_0=0}^{\min(y_1,y_2)} \left(\frac{\theta_0}{\theta_1 \theta_2}\right)^{x_0} x_0! \binom{y_1}{x_0} \binom{y_2}{x_0} \end{align}$
หวังว่านี่จะช่วยได้!

— kjetil b halvorsen
แหล่งที่มา

สวัสดี Kjetil - ฉันแก้ไขปัญหาเกี่ยวกับการจัดรูปแบบ (แต่ต้องการเปลี่ยนให้น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมคุณกำลังโพสต์แบบจำลองของคำที่มาในคำตอบก่อนหน้าของฉันโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อคุณสูญเสียปัจจัยสำคัญบางอย่างไปพร้อมกันซึ่งทำให้ผลลัพธ์สุดท้ายไม่ถูกต้อง มีจุดใดที่คุณพยายามทำหรือไม่?

T E X

$\TeX$

— whuber

whuber: ฉันเริ่มเขียนคำตอบก่อนที่คำตอบของคุณจะถูกโพสต์ไว้! อื่นฉันจะไม่ได้เขียนมัน

— kjetil b halvorsen