อุบัติเหตุเครื่องบินชนกันเป็นจำนวนเท่าใด?

คำถามเดิม (7/25/14): การเสนอราคานี้จากสื่อข่าวทำให้รู้สึกหรือมีวิธีการทางสถิติที่ดีขึ้นในการดูน้ำท่วมของอุบัติเหตุเครื่องบินเมื่อเร็ว ๆ นี้?

อย่างไรก็ตามบาร์เน็ตต์ยังให้ความสนใจกับทฤษฎีของการแจกแจงปัวซงซึ่งก็หมายความว่าช่วงเวลาสั้น ๆ ระหว่างการเกิดปัญหานั้นมีแนวโน้มที่จะเป็นไปได้มากกว่าระยะยาว

"สมมติว่ามีอุบัติเหตุร้ายแรงถึงหนึ่งครั้งต่อปีโดยเฉลี่ยหมายความว่าโอกาสที่จะเกิดอุบัติเหตุในวันใดวันหนึ่งเป็นหนึ่งใน 365" บาร์เน็ตต์กล่าว "หากเกิดความผิดพลาดในวันที่ 1 สิงหาคมโอกาสที่ความผิดพลาดครั้งต่อไปจะเกิดขึ้นหนึ่งวันต่อมาในวันที่ 2 สิงหาคมคือ 1/365 แต่โอกาสที่ความผิดพลาดครั้งต่อไปจะเกิดขึ้นในวันที่ 3 สิงหาคมคือ (364/365) x (1/365) เนื่องจากข้อผิดพลาดครั้งถัดไปเกิดขึ้นในวันที่ 3 สิงหาคมเฉพาะในกรณีที่ไม่มีข้อผิดพลาดในวันที่ 2 สิงหาคมเท่านั้น "

“ ดูเหมือนว่าจะใช้งานง่าย แต่ข้อสรุปดังต่อไปนี้อย่างไม่ลดละจากกฎความน่าจะเป็น” บาร์เน็ตต์กล่าว

ที่มา: http://www.bbc.com/news/magazine-28481060

ความชัดเจน (7/27/14): สิ่งที่เคาน์เตอร์หยั่งรู้ (สำหรับฉัน) กำลังบอกว่าเหตุการณ์ที่หายากมักจะเกิดขึ้นในเวลาใกล้เคียง ฉันคิดว่าเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้ยากจะไม่เกิดขึ้นในเวลาอันใกล้ ทุกคนสามารถชี้ให้ฉันเห็นการแจกแจงเชิงทฤษฎีหรือเชิงประจักษ์ของเวลาระหว่างเหตุการณ์ภายใต้สมมติฐานของการแจกแจงปัวซอง? (นั่นคือฮิสโตแกรมที่แกน y เป็นความถี่หรือความน่าจะเป็นและแกน x เป็นเวลาระหว่างเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น 2 ครั้งติดต่อกันซึ่งแบ่งออกเป็นวันสัปดาห์เดือนหรือปีหรือสิ่งที่คล้ายกัน) ขอบคุณ

การชี้แจง (7/28/14): พาดหัวแสดงว่ามีแนวโน้มที่จะมีกลุ่มของอุบัติเหตุมากกว่าอุบัติเหตุที่มีระยะห่างอย่างกว้างขวาง ช่วยให้ปฏิบัติงานได้ สมมติว่าคลัสเตอร์เป็นอุบัติเหตุเครื่องบิน 3 ครั้งและช่วงเวลาสั้น ๆ คือ 3 เดือนและระยะเวลานานคือ 3 ปี ดูเหมือนว่าไม่มีเหตุผลที่จะคิดว่ามีความเป็นไปได้สูงกว่าที่จะเกิดอุบัติเหตุ 3 ครั้งภายในระยะเวลา 3 เดือนกว่าภายในระยะเวลา 3 ปี แม้ว่าเราจะเกิดอุบัติเหตุครั้งแรกตามที่กำหนด แต่ก็ไม่มีเหตุผลที่จะคิดว่าอุบัติเหตุอีก 2 ครั้งจะเกิดขึ้นภายใน 3 เดือนข้างหน้าเมื่อเทียบกับภายใน 3 ปีข้างหน้า หากเป็นจริงแล้วพาดหัวของสื่อข่าวนั้นทำให้เข้าใจผิดและไม่ถูกต้อง ฉันพลาดอะไรไปรึเปล่า?

สรุป: ประโยคแรกในวรรคของ BBC อ้างถึงเป็นเรื่องเหลวไหลและทำให้เข้าใจผิด

แม้ว่าคำตอบและความคิดเห็นก่อนหน้านี้ให้การอภิปรายที่ยอดเยี่ยมแล้ว แต่ฉันรู้สึกว่าคำถามหลักยังไม่ได้รับคำตอบที่น่าพอใจ

ดังนั้นให้เราสมมติว่าความน่าจะเป็นของเครื่องบินตกในวันใดวันหนึ่งคือและที่เกิดปัญหามีความเป็นอิสระจากกัน ให้เราคิดต่อไปว่าเครื่องบินลำหนึ่งชนกันในวันที่ 1 มกราคม เครื่องบินลำต่อไปจะพังเมื่อไหร่?$p=1/365$

ขอให้เราทำแบบจำลองง่าย ๆ : ในแต่ละวันสำหรับสามปีถัดไปฉันจะสุ่มเลือกว่าเครื่องบินลำอื่นชนกับความน่าจะเป็นและจดบันทึกวันที่เกิดการชนครั้งต่อไปหรือไม่ ฉันจะทำซ้ำขั้นตอนนี้$p$ครั้ง นี่คือฮิสโตแกรมที่เกิดขึ้น:$100\,000$

อันที่จริงแล้วการแจกแจงความน่าจะเป็นทำได้ง่าย ๆ โดย$\mathrm{Pr}(t) = (1-p)^t p$โดยที่คือจำนวนวัน ฉันวางแผนการกระจายตัวเชิงทฤษฎีนี้เป็นเส้นสีแดงและคุณจะเห็นว่ามันลงตัวกับฮิสโตแกรม Monte Carlo หมายเหตุ: หากเวลามีการแยกย่อยในถังขยะขนาดเล็กและขนาดเล็กการแจกแจงนี้จะมาบรรจบกันเป็นเลขชี้กำลัง แต่มันไม่สำคัญสำหรับการสนทนานี้$t$

ดังที่หลายคนพูดไว้ที่นี่แล้วมันเป็นเส้นโค้งที่ลดลง ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นที่เครื่องบินตกลงเกิดปัญหาในวันถัดไปวันที่ 2 มกราคมสูงกว่าความเป็นไปได้ที่เครื่องบินลำถัดไปจะชนกันในวันอื่น ๆ เช่นวันที่ 2 มกราคมปีหน้า (ความแตกต่างเกือบสามเท่า: และ$0.27\%$ )$0.10\%$

อย่างไรก็ตามหากคุณถามว่าความน่าจะเป็นที่เครื่องบินตกเกิดขึ้นในอีกสามวันถัดไปคำตอบคือแต่ถ้าคุณถามว่าความน่าจะเป็นที่เครื่องบินจะตกหลังจากสามวัน แต่ในอีกสามปีถัดไป คำตอบคือ$0.8\%$ % เห็นได้ชัดว่ามีแนวโน้มว่าจะเกิดปัญหาในอีกสามปีถัดไป (แต่หลังจากสามวันแรก) กว่าในสามวันถัดไป ความสับสนเกิดขึ้นเพราะเมื่อคุณพูดว่า "เหตุการณ์กลุ่ม" คุณหมายถึงกลุ่มเล็ก ๆ เริ่มแรกของการกระจายตัว แต่เมื่อคุณพูดว่าเหตุการณ์ "ระยะห่างอย่างกว้างขวาง" คุณหมายถึงกลุ่มขนาดใหญ่$94\%$ นั่นคือเหตุผลที่ถึงแม้จะมีการกระจายความน่าจะเป็นที่ลดลงอย่างน่าเบื่อก็เป็นไปได้อย่างแน่นอนว่า "กลุ่ม" (เช่นเครื่องบินตกสองลำในสามวัน) นั้นไม่น่าเป็นไปได้

นี่คือฮิสโตแกรมอีกอันเพื่อให้ได้จุดนี้จริง ๆ มันเป็นเพียงผลรวมของฮิสโตแกรมก่อนหน้าในช่วงเวลาที่ไม่ได้ตัดกันหลายช่วงเวลา:

สิ่งที่ผู้รายงานกำลังบอกคือการเกิดขึ้นแบบสุ่มของอุบัติเหตุเครื่องบินตกที่สามารถจำลองเป็นกระบวนการปัวซอง - สถานการณ์ที่ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในบางช่วงเวลา (เล็ก) เป็นสัดส่วนกับความยาวของช่วงเวลาดังกล่าว ในอิสระจากคนอื่น ๆ ทั้งหมด

นี่เป็นแบบจำลองที่สมเหตุสมผลสำหรับสถานการณ์ที่อธิบายหรือไม่

อาจ.

แน่นอนว่ากิจกรรมเหล่านี้อาจไม่อิสระ 100%เนื่องจากนักบินคนอื่น ๆ อาจเปลี่ยนแปลงพฤติกรรมของพวกเขา (ถ้าเพียงเล็กน้อยเท่านั้น) หลังจากเกิดการชน [ฉันไม่รู้ - บางทีนักบินสักสองสามคนทำการฝึกหัดจำลองเพิ่มเติมหรืออย่างนั้น] อย่างไรก็ตามข้อสันนิษฐานของความเป็นอิสระยังคงสมเหตุสมผลทั้งหมด

สิ่งที่เกี่ยวกับกลุ่มของเครื่องบินตก?

ใช่. กำหนดกระบวนการ Poisson (หรือแม้กระทั่งบางกระบวนการสุ่มอื่น ๆ ) คุณจะคาดหวังที่จะเห็นกลุ่มที่เกิดขึ้นบางส่วน

ในความเป็นจริงตามที่อธิบายไว้โดยOxford Dictionary of Statisticsในรายการสำหรับกระบวนการปัวซง (ซึ่งเป็น "คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของการสุ่ม"):

[R]andomness usually gives rise to apparent clustering, despite the natural
expectation that randomness would lead to regularity.

ตัวอย่างเช่นลองดูรหัสRแบบง่าย ๆ นี้:

set.seed(123)
x <- runif(500)
y <- runif(500)

plot(x, y, pch=20, col='blue', main="A Random Distribution of Points")

ซึ่งผลิต:

แม้ว่าเราจะรู้ว่านี่เป็นจุดสุ่มจุด แต่ดูเหมือนว่ามีบิตที่ไม่ใช่แบบสุ่มอยู่โดยเฉพาะในบางส่วนของกราฟมีจุดจำนวนมากในขณะที่ส่วนอื่นเปิดกว้าง มันเป็นประเภทเดียวกันนี้ของพฤติกรรมที่เกี่ยวข้องในบทความจะพยายามที่จะอธิบาย (เฉพาะอนุกรมเวลาข้อมูลและไม่เชิงพื้นที่ข้อมูล)

UPDATE:

@JoelW: ยกตัวอย่างเช่นสมมติว่าความน่าจะเป็นของเครื่องบินตกในวันพรุ่งนี้ (หรือวันใด ๆ สำหรับเรื่องนั้น) คือ " p " (และสมมุติว่า " p " เป็นอะไรที่เหมือน 1 ในร้อย)

สาเหตุที่เครื่องบินตกครั้งต่อไปมีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นในวันพรุ่งนี้มากกว่าที่จะเกิดขึ้นในหนึ่งปี (เช่นวันที่ 26 กรกฎาคม2558 ) เพราะความน่าจะเป็นที่การชนครั้งต่อไปจะเท่ากับหนึ่งปี:

= Prob(crash tomorrow) * Prob(365 days with *no* crashes)

ทำให้รู้สึก?

"The odds of a plane crash in one month compared with the odds of one happening tomorrow"ในท้ายที่สุดผมคิดว่าเหตุผลที่สิ่งเหล่านี้เป็นเคาน์เตอร์เป็นเพราะโดยปกติเมื่อเราคิดว่าของวลีเช่น: เราจะไม่พิจารณาช่วงเวลา 24 ชั่วโมงทันทีที่เริ่มต้นในหนึ่งเดือน แต่เรา (หรืออย่างน้อยฉันก็ทำ) มีแนวโน้มที่จะคิดในสิ่งที่มากกว่าดียืดหยุ่นได้ a month ± a weekดังนั้นมากขึ้นเช่น: และความจริงที่ว่าเราลืมเกี่ยวกับอัตราต่อรองของความผิดพลาดที่ไม่ได้เกิดขึ้นในระหว่างกาล ... (แต่อีกครั้งอาจเป็นแค่ฉัน ... )

วุ้ย

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม:

• บทความของ Wikipedia เกี่ยวกับClustering Illusion
• ไฟล์ PDFซึ่งกล่าวถึงเฉพาะ "การจัดกลุ่ม" ของการเกิดปัญหาเครื่องบิน (ในหน้า 8) และคณิตศาสตร์อธิบายสั้น ๆ ของการเป็นกระบวนการ Poisson

หากจำนวนเครื่องบินตกเป็นปัวซองกระจาย (ตามที่เขาดูเหมือนจะระบุ) เวลาระหว่างเกิดปัญหามีการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล pdf ของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเป็นฟังก์ชั่นลดเวลาแบบโมโนโทน ดังนั้นการล่มก่อนหน้ามีแนวโน้มมากกว่าการล่มภายหลัง

คำตอบอื่น ๆ ได้รับมือกับความเป็นอิสระแล้วกลุ่มเหตุการณ์(ความโกลาหลในการอ่านของ Gleick ทุกปีที่ผ่านมาเปิดตาของฉันกับความคิดนี้.)

แต่ในความเป็นจริงมีหลักฐานชัดเจนว่าเครื่องบินตกไม่ได้เป็นเหตุการณ์อิสระ อิทธิพล Cialdini ของมีบทที่ดีมากเกี่ยวกับเรื่องนี้ (ยังกล่าวถึงที่นี่ซึ่งมีคู่เชื่อมโยงไปยังข้อมูลและผมพบว่าข้อความที่ตัดตอนมาจากส่วนหนึ่งของหนังสือที่ ) เห็นได้ชัดว่านี่เป็นเรื่องที่ถกเถียงกันมาก: โดยพื้นฐานแล้วมันบอกว่ายิ่งมีการชนกันทางอากาศมากเท่าไหร่ก็ยิ่งมีแนวโน้มที่จะมีอิทธิพลต่อนักบิน (โดยไม่รู้ตัวหรือไม่รู้ตัว) เพื่อชนเครื่องบินของเขา แต่คำอธิบายทางจิตวิทยาที่อ้างอิงสมมติฐานนั้นน่าจะเป็นไปได้และข้อมูลก็ดูเหมือนจะสนับสนุนเช่นกัน

(ลิงก์ไปยังการวิจัยการ debunking ที่อิงกับสถิติจะได้รับการต้อนรับในความคิดเห็น)