การแปลงข้อมูลสัดส่วน: เมื่อ arcsin สแควร์รูทไม่เพียงพอ

มีทางเลือก (ที่แข็งแกร่งกว่า) ในการแปลงอาร์ซินสแควร์รูทสำหรับข้อมูลเปอร์เซ็นต์ / สัดส่วนหรือไม่ ในชุดข้อมูลที่ฉันกำลังทำงานอยู่ในขณะนี้การทำเครื่องหมายเฮเทอโรเซซิติกยังคงอยู่หลังจากฉันใช้การแปลงนี้นั่นคือพล็อตของค่าคงค้างเทียบกับค่าติดตั้งยังคงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมาก

แก้ไขเพื่อตอบกลับความคิดเห็น: ข้อมูลเป็นการตัดสินใจลงทุนโดยผู้เข้าร่วมทดลองซึ่งอาจลงทุน 0-100% ของเงินบริจาคในทวีคูณ 10% ฉันได้ดูข้อมูลเหล่านี้โดยใช้การถดถอยแบบลอจิสติกอันดับแล้ว แต่ต้องการดูว่า GLM ที่ถูกต้องจะผลิตอะไร ฉันเห็นคำตอบว่ามีประโยชน์สำหรับการทำงานในอนาคตเนื่องจากอาร์ซินสแควร์รูทดูเหมือนจะถูกใช้เป็นโซลูชั่นขนาดเดียวที่เหมาะกับทุกสาขาของฉันและฉันไม่ได้เจอทางเลือกอื่นใด

แน่ใจ จอห์นทูกีอธิบายครอบครัว (เพิ่มขึ้นแบบหนึ่งต่อหนึ่ง) การเปลี่ยนแปลงในEDA มันขึ้นอยู่กับความคิดเหล่านี้:

1. เพื่อให้สามารถขยายส่วนท้าย (ไปยัง 0 และ 1) ตามที่ควบคุมโดยพารามิเตอร์

2. อย่างไรก็ตามเพื่อให้ตรงกับค่าดั้งเดิม (ไม่ถูกแปลง) ใกล้กลาง ( ) ซึ่งทำให้การแปลงตีความง่ายขึ้น$1/2$

3. เพื่อทำให้สมมาตรแสดงซ้ำประมาณ นั่นคือถ้าถูกแสดงอีกครั้งเป็น$1/2.$$p$$f(p)$แล้ว$1-p$จะได้รับการแสดงเป็น$-f(p)$ )

หากคุณเริ่มต้นด้วยการใด ๆ ที่เพิ่มขึ้นต่อเนื่องฟังก์ชั่น$g: (0,1) \to \mathbb{R}$อนุพันธ์ที่$1/2$คุณสามารถปรับให้ตรงตามที่สองและสามเกณฑ์: เพียงแค่กำหนด

ตัวเศษเป็นสมมาตรอย่างชัดเจน (เกณฑ์$(3)$ ) เนื่องจากการสลับ$p$มี$1-p$จะเป็นการลบการลบดังนั้นจึงเป็นการลบ จะเห็นว่า$(2)$มีความพึงพอใจทราบว่าตัวหารเป็นอย่างแม่นยำปัจจัยที่จำเป็นเพื่อให้$f^\prime(1/2)=1.$ จำได้ว่าใกล้เคียงกับอนุพันธ์พฤติกรรมท้องถิ่นของฟังก์ชั่นที่มีฟังก์ชั่นเชิงเส้น ความชัน$1=1:1$ดังนั้นหมายความว่า$f(p)\approx p$(บวกค่าคงที่$-1/2$ ) เมื่อ$p$พอใกล้กับ$1/2.$ นี้เป็นความรู้สึกในการที่ค่าเดิมเป็น "การจับคู่ที่อยู่ใกล้ตรงกลาง."

Tukey นี้เรียกว่า "พับ" รุ่นกรัม$g$ครอบครัวของเขาประกอบไปด้วยอำนาจและเข้าสู่ระบบการแปลง$g(p) = p^\lambda$ที่ไหนเมื่อ$\lambda=0$เราจะพิจารณา$g(p) = \log(p)$ )

ลองดูตัวอย่าง เมื่อ$\lambda = 1/2$ที่เราได้รับรากพับหรือ "Froot" $f(p) = \sqrt{1/2}\left(\sqrt{p} - \sqrt{1-p}\right)$ ) เมื่อ$\lambda = 0$เรามีลอการิทึมแบบพับได้หรือ "flog,"$f(p) = (\log(p) - \log(1-p))/4.$ เห็นได้ชัดว่านี่เป็นเพียงการแปลงlogitหลายค่าคงที่$\log(\frac{p}{1-p})$ )

ในกราฟนี้สอดคล้องกับเส้นสีฟ้าเพื่อ$\lambda=1$เส้นสีแดงระดับกลางถึง$\lambda=1/2$และสายสีเขียวมากจะ$\lambda=0$ 0 เส้นประทองเปลี่ยนแปลง arcsine ที่$\arcsin(2p-1)/2 = \arcsin(\sqrt{p}) - \arcsin(\sqrt{1/2})$ ) "การจับคู่" ของความลาดชัน (เกณฑ์$(2)$) สาเหตุกราฟทั้งหมดที่จะอยู่ใกล้ตรง$p=1/2.$

ค่าที่มีประโยชน์มากที่สุดของพารามิเตอร์$\lambda$อยู่ระหว่าง$1$และ0$0$(คุณสามารถทำให้หางหนักที่มีค่าเชิงลบของ$\lambda$แต่การใช้งานนี้เป็นของหายาก.) $\lambda=1$ไม่ได้ทำอะไรเลยยกเว้น recenter ค่า ( $f(p) = p-1/2$ ) ในฐานะที่เป็น$\lambda$หดตัวต่อศูนย์หางได้รับการดึงอีกต่อ$\pm \infty$ ∞ สิ่งนี้เป็นไปตามเกณฑ์ # 1 ดังนั้นโดยการเลือกค่าที่เหมาะสมของ$\lambda$คุณสามารถควบคุม "ความแข็งแกร่ง" ของการแสดงออกครั้งนี้ในหาง

วิธีหนึ่งในการรวมคือการรวมการแปลงดัชนี วิธีการหนึ่งที่โดยทั่วไปคือการใช้สมมาตรใด ๆ (ผกผัน) ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมเพื่อให้และF ( x ) = 1 - F ( - x ) ตัวอย่างหนึ่งคือการแจกแจงมาตรฐานของนักเรียนโดยมีνองศาอิสระ พารามิเตอร์vควบคุมความเร็วที่ตัวแปรที่แปลงแล้วเลื่อนออกไปเป็นอนันต์ หากคุณตั้งค่าv = 1คุณจะมีการแปลงอาร์คตัน:$F(0)=0.5$$F(x)=1-F(-x)$$\nu$$v$$v=1$

นี่คือสุดขีดยิ่งกว่า arcsine และรุนแรงกว่าการแปลง logit โปรดทราบว่า Logit แปลงสามารถประมาณคร่าว ๆ โดยใช้ t-กับการกระจาย 8 ในทางใดทางหนึ่งมันให้การเชื่อมโยงโดยประมาณระหว่าง logit และ probit ( ν = ∞ ) การแปลงและส่วนขยายของพวกมันเพื่อการแปลงที่มากขึ้น$\nu\approx 8$$\nu=\infty$

ปัญหาเกี่ยวกับการแปลงเหล่านี้คือการที่พวกเขาให้เมื่อสัดส่วนสังเกตเท่ากับ1หรือ0 ดังนั้นคุณต้องอย่างใดหดเหล่านี้อย่างใด - วิธีที่ง่ายที่สุดที่จะเพิ่มเป็น+ 1 "ความสำเร็จ" และ+ 1 "ความล้มเหลว"$\pm\infty$$1$$0$$+1$$+1$