ทำไมการแจกแจงแบบ t จึงปกติมากกว่าเมื่อขนาดตัวอย่างเพิ่มขึ้น?

ตามวิกิพีเดียฉันเข้าใจว่าการแจกแจงแบบ t เป็นการกระจายตัวตัวอย่างของค่า t เมื่อตัวอย่างเป็นการสังเกตแบบ iid จากประชากรที่กระจายตัวตามปกติ อย่างไรก็ตามฉันไม่เข้าใจโดยสัญชาตญาณว่าทำไมทำให้รูปร่างของการแจกแจงแบบ t เปลี่ยนจากไขมันหางเป็นปกติเกือบสมบูรณ์

ฉันได้ว่าถ้าคุณสุ่มตัวอย่างจากการแจกแจงแบบปกติแล้วถ้าคุณลองสุ่มกลุ่มใหญ่มันจะคล้ายกับการกระจายตัวนั้น แต่ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมมันเริ่มต้นด้วยรูปร่างอ้วนท้วน

ฉันจะพยายามอธิบายง่ายๆ

t-statistic * มีตัวเศษและส่วน ตัวอย่างเช่นสถิติในหนึ่งตัวอย่าง t-test คือ

* (มีหลายอย่าง แต่การสนทนานี้ควรหวังว่าจะเป็นเรื่องทั่วไปพอที่จะครอบคลุมสิ่งที่คุณถามถึง)

ภายใต้สมมติฐานตัวเศษมีการแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ย 0 และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ไม่รู้จัก

ภายใต้สมมติฐานชุดเดียวกันตัวส่วนคือการประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของการแจกแจงของตัวเศษ (ข้อผิดพลาดมาตรฐานของสถิติบนตัวเศษ) มันเป็นอิสระจากเศษ ตารางของมันคือไคสแควตัวแปรสุ่มแบ่งตามองศาของเสรีภาพ (ซึ่งเป็น DF ของเสื้อกระจาย) ครั้งเศษ$\sigma_\text{numerator}$

เมื่อองศาอิสระมีขนาดเล็กตัวหารมีแนวโน้มที่จะเอียงไปทางขวา มีโอกาสสูงที่จะน้อยกว่าค่าเฉลี่ยและมีโอกาสค่อนข้างดีที่จะค่อนข้างเล็ก ในขณะเดียวกันก็มีโอกาสที่จะมีขนาดใหญ่กว่าค่าเฉลี่ยมาก

ภายใต้สมมติฐานของภาวะปกติตัวเศษและส่วนจะเป็นอิสระ ดังนั้นถ้าเราสุ่มจากการกระจายตัวของสถิตินี้เราจะมีจำนวนสุ่มปกติหารด้วยค่าสุ่มที่สอง * ที่เลือกจากการแจกแจงแบบเบ้ด้านขวาโดยเฉลี่ยประมาณ 1

* โดยไม่คำนึงถึงคำปกติ

เพราะมันอยู่ในตัวส่วนค่าเล็ก ๆ ในการแจกแจงของตัวส่วนจึงให้ค่า t ที่มีขนาดใหญ่มาก ขวาเอียงในตัวส่วนทำให้ t- สถิติหนักหาง หางขวาของการกระจายเมื่อหารทำให้เสื้อกระจายขึ้นอย่างรวดเร็วแหลมกว่าปกติและมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเช่นเดียวกับเสื้อ

อย่างไรก็ตามเมื่อองศาอิสระมีขนาดใหญ่ขึ้นการแจกแจงจะดูธรรมดากว่าปกติมากขึ้นและแคบลงโดยรอบค่าเฉลี่ย

ด้วยเหตุนี้ผลกระทบของการหารโดยตัวหารที่มีต่อรูปร่างของการแจกแจงของตัวเศษจะลดลงเมื่อองศาอิสระเพิ่มขึ้น

ในที่สุด - ตามทฤษฎีบทของ Slutsky อาจแนะนำให้เราเกิดขึ้น - ผลกระทบของตัวส่วนกลายเป็นเหมือนการหารด้วยค่าคงที่และการกระจายตัวของ t-statistic นั้นใกล้เคียงกับปกติมาก

ถือว่าในแง่ของการตอบแทนของส่วนที่

whuber แนะนำในความคิดเห็นว่ามันอาจจะส่องสว่างมากขึ้นเพื่อดูที่ส่วนซึ่งกันและกันของตัวส่วน นั่นคือเราสามารถเขียนสถิติ t ของเราเป็นตัวเศษ (ปกติ) คูณด้วยส่วนกลับของส่วน (ขวาเอียง)

ตัวอย่างเช่นสถิติหนึ่งตัวอย่าง -t ของเราด้านบนจะกลายเป็น:

ตอนนี้พิจารณาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรเดิม , σ x เราสามารถคูณและหารด้วย:$X_i$$\sigma_x$

เทอมแรกเป็นมาตรฐานปกติ เทอมที่สอง (สแควร์รูทของตัวแปรสุ่มแบบสุ่มผกผัน - ไค - สแควร์) ปรับขนาดมาตรฐานปกติด้วยค่าที่มีขนาดใหญ่กว่าหรือเล็กกว่า 1, "กระจายออกไป"

ภายใต้สมมติฐานของภาวะปกติทั้งสองคำในผลิตภัณฑ์มีความเป็นอิสระ ดังนั้นถ้าเราสุ่มจากการกระจายตัวของสถิตินี้เราจะมีหมายเลขสุ่มปกติ (เทอมแรกในผลิตภัณฑ์) คูณด้วยค่าที่เลือกแบบสุ่มที่สอง (โดยไม่คำนึงถึงเทอมปกติ) จากการแจกแจงแบบเบ้ขวานั่นคือ ' โดยทั่วไปแล้วประมาณ 1

เมื่อ df มีขนาดใหญ่ค่ามีแนวโน้มใกล้เคียงกับ 1 มาก แต่เมื่อ df มีขนาดเล็กมันจะค่อนข้างเบ้และการแพร่กระจายมีขนาดใหญ่ด้วยหางขวาขนาดใหญ่ของปัจจัยการปรับขนาดนี้ทำให้หางค่อนข้างอ้วน:

@Glen_b ให้สัญชาตญาณว่าทำไมสถิติ t ดูปกติมากขึ้นเมื่อขนาดตัวอย่างเพิ่มขึ้น ตอนนี้ฉันจะให้คำอธิบายทางเทคนิคเพิ่มเติมเล็กน้อยสำหรับกรณีที่คุณได้รับการกระจายของสถิติ

$n-1$$n$

เป็นไปได้ที่จะแสดงให้เห็นว่า

และ

$n\rightarrow \infty$

ฉันต้องการแบ่งปันบางสิ่งที่ช่วยให้ปรีชาญาณของฉันเป็นผู้เริ่มต้น (แม้ว่าจะเข้มงวดน้อยกว่าคำตอบอื่น ๆ )

$Z, Z_1, ..., Z_n$เป็น RV มาตรฐานปกติแล้วตามด้วย RV ต่อไปนี้

$n$องศาอิสระ

$n$$1$$Z$$n$โตขึ้น

$E[Z^2] = 1$$n$$Z_i^2$$n$$Z_i^2$ s' ซึ่งเป็นหนึ่งใน

$n$$\frac{Z}{\sqrt{1}} = Z$