แถบความเชื่อมั่นสำหรับสาย QQ

คำถามนี้ไม่เกี่ยวข้องโดยเฉพาะRแต่ฉันเลือกที่จะใช้Rเพื่ออธิบาย

พิจารณารหัสสำหรับการสร้างวงความเชื่อมั่นรอบ a (ปกติ) qq-line:

library(car)
library(MASS)
b0<-lm(deaths~.,data=road)
qqPlot(b0$resid,pch=16,line="robust")

ฉันกำลังมองหาคำอธิบายของ (หรือทางเลือกลิงก์ไปยังเอกสาร / เอกสารออนไลน์อธิบาย) วิธีสร้างวงความมั่นใจเหล่านี้ (ฉันได้เห็นการอ้างอิงถึง Fox 2002 ในไฟล์ช่วยเหลือของ R แต่น่าเสียดายที่ฉันไม่มีสิ่งนี้ หนังสือมีประโยชน์)

คำถามของฉันจะทำให้ชัดเจนยิ่งขึ้นด้วยตัวอย่าง นี่คือวิธีRคำนวณ CI ของเหล่านี้ (ฉันย่อ / ย่อรหัสที่ใช้car::qqPlot)

x<-b0$resid
good<-!is.na(x)
ord<-order(x[good])
ord.x<-x[good][ord]
n<-length(ord.x)
P<-ppoints(n)
z<-qnorm(P)
plot(z,ord.x,type="n")
coef<-coef(rlm(ord.x~z))
a<-coef[1]
b<-coef[2]
abline(a,b,col="red",lwd=2)
conf<-0.95
zz<-qnorm(1-(1-conf)/2)
SE<-(b/dnorm(z))*sqrt(P*(1-P)/n)     #[WHY?]
fit.value<-a+b*z
upper<-fit.value+zz*SE
lower<-fit.value-zz*SE
lines(z,upper,lty=2,lwd=2,col="red")
lines(z,lower,lty=2,lwd=2,col="red")

คำถามคืออะไรคือเหตุผลสำหรับสูตรที่ใช้ในการคำนวณ SE เหล่านี้ (เช่นสายSE<-(b/dnorm(z))*sqrt(P*(1-P)/n))

FWIW สูตรนี้แตกต่างจากสูตรของแถบความเชื่อมั่นปกติที่ ใช้ในการถดถอยเชิงเส้น

confidence-interval linear-model qq-plot

— user603
แหล่งที่มา

ฉันคาดว่าจะเกี่ยวข้องกับการกระจายสถิติการสั่งซื้อ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งผลเชิงซีมโทติค :

ฉ_{X_{(k)}} (x) = \frac{n!}{(k - 1)! (n - k)!} [F_{X} (x)]^{k - 1} [1 - F_{X} (x)]^{n - k} ฉ_{X} (x)

$f_{X_{(k)}}(x) =\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}[F_X(x)]^{k-1}[1-F_X(x)]^{n-k} f_X(x)$

X_{(⌈ n พี ⌉)} ~ A ยังไม่มีข้อความ (F^{- 1} (พี), \frac{พี (1 - พี)}{n [ฉ (F^{- 1} (พี))]^{2}})

$X_{(\lceil np \rceil)} \sim AN\left(F^{-1}(p),\frac{p(1-p)}{n[f(F^{-1}(p))]^2}\right)$

— Glen_b

@Glen_b ถูกต้อง John Foxเขียนในหน้า 35-36: "ข้อผิดพลาดมาตรฐานของสถิติการสั่งซื้อคือโดยที่คือฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับ CDFค่าตามแนวติดตั้งถูกกำหนดโดยความมั่นใจ "ซองจดหมาย" ประมาณ 95% รอบ ๆ เส้นที่มีความเชื่อมั่น "

X_{(i)}

$X_{(i)}$

S E (X_{(ผม)}) = \frac{\hat{σ}}{พี (Z_{ผม})} \sqrt{\frac{P_{ผม} (1 - P_{ผม})}{n}}

$\mathrm{SE}(X_{(i)})=\frac{\hat{\sigma}}{p(z_i)}\sqrt{\frac{P_i(1-P_i)}{n}}$

p (z)

$p(z)$

P (z)

$P(z)$

{\hat{X}}_{(i)} = \hat{μ} + \hat{σ} z_{i}

$\widehat{X}_{(i)}=\hat{\mu}+\hat{\sigma}z_{i}$

{\hat{X}}_{(i)} \pm 2 \times S E (X_{(i)})

$\widehat{X}_{(i)}\pm 2\times \mathrm{SE}(X_{(i)})$

— COOLSerdash

ฉันคิดว่าสิ่งเดียวที่เหลืออยู่ที่เห็นคือประเมินโดยในสมการ COOLSerdash ที่ให้

f (F^{- 1} (p))

$f(F^{-1}(p))$

(p (z_{i}) / \hat{σ})

$(p(z_i)/\hat{\sigma})$

— Glen_b -Reinstate Monica

มันเกี่ยวข้องกับ การแจกแจงสถิติการสั่งซื้อ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งผลเชิงซีมโทติค :

ฉ_{X_{(k)}} (x) = \frac{n!}{(k - 1)! (n - k)!} [F_{X} (x)]^{k - 1} [1 - F_{X} (x)]^{n - k} ฉ_{X} (x)

$f_{X_{(k)}}(x) =\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}[F_X(x)]^{k-1}[1-F_X(x)]^{n-k} f_X(x)$

X_{(⌈ n พี ⌉)} ~ A ยังไม่มีข้อความ (F^{- 1} (พี), \frac{พี (1 - พี)}{n [ฉ (F^{- 1} (พี))]^{2}})

$X_{(\lceil np \rceil)} \sim AN\left(F^{-1}(p),\frac{p(1-p)}{n[f(F^{-1}(p))]^2}\right)$

ตามที่ COOLSerdash กล่าวถึงในความคิดเห็น John Fox [1] เขียนในหน้า 35-36:

ข้อผิดพลาดมาตรฐานของสถิติการสั่งซื้อคือที่เป็นฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่สอดคล้องกับ CDF(z) ค่าตามแนวติดตั้งจะได้รับโดย{i} ประมาณ 95% ความเชื่อมั่น "ซองจดหมาย" บริเวณเส้นติดตั้งจึง{(i)}) $X_{(i)}$
$S E (X_{(ผม)}) = \frac{\hat{σ}}{พี (Z_{ผม})} \sqrt{\frac{P_{ผม} (1 - P_{ผม})}{n}}$ $\mathrm{SE}(X_{(i)})=\frac{\hat{\sigma}}{p(z_i)}\sqrt{\frac{P_i(1-P_i)}{n}}$ $p(z)$ $P(z)$ $\widehat{X}_{(i)}=\hat{\mu}+\hat{\sigma}z_{i}$ $\widehat{X}_{(i)}\pm 2\times \mathrm{SE}(X_{(i)})$

จากนั้นเราก็ต้องยอมรับว่าประมาณโดยซิก}) $f(F^{-1}(p))$ $(p(z_i)/\hat{\sigma})$

[1] Fox, J. (2008),
การวิเคราะห์การถดถอยเชิงประยุกต์และโมเดลเชิงเส้นทั่วไป, 2 เอ็ด ,
ปราชญ์สิ่งพิมพ์, Inc

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา