เมทริกซ์ที่แน่นอนกึ่งบวกทุกตัวสอดคล้องกับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมหรือไม่?

มันเป็นที่รู้จักกันดีว่าเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมจะต้องแน่นอนกึ่งบวกอย่างไรก็ตามเป็นจริงสนทนา?

นั่นคือเมทริกซ์แน่นอนกึ่งบวกทุกตัวนั้นตรงกับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมหรือไม่?

ไปตามคำจำกัดความของ PD และ PSD ที่นี่ใช่ฉันคิดอย่างนั้นเพราะเราสามารถทำได้โดยการก่อสร้าง ฉันจะสมมติว่าอาร์กิวเมนต์ง่ายกว่าเล็กน้อยที่คุณหมายถึงเมทริกซ์ที่มีองค์ประกอบจริง แต่ด้วยการเปลี่ยนแปลงที่เหมาะสมมันจะขยายไปถึงเมทริกซ์ที่ซับซ้อน

ให้เป็นเมทริกซ์ PSD ที่แท้จริง จากคำจำกัดความที่ฉันเชื่อมโยงกับมันจะเป็นแบบสมมาตร จริงใด ๆ สมมาตรบวกแน่นอนเมทริกซ์สามารถเขียนเป็น T ซึ่งสามารถทำได้โดยถ้ากับฉากและเส้นทแยงมุมและเป็นเมทริกซ์ขององค์ประกอบรากที่ชาญฉลาดของDดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องมีตำแหน่งเต็ม$A$$A$$A = LL^T$$L=Q\sqrt{D}Q^T$$A=QDQ^T$$Q$$D$$\sqrt{D}$$D$

ให้เป็นตัวแปรสุ่มเวกเตอร์ของมิติที่เหมาะสมด้วยเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม (ซึ่งง่ายต่อการสร้าง)$Z$$I$

จากนั้นมีความแปรปรวนเมทริกซ์$LZ$$A$

[อย่างน้อยก็ในทางทฤษฎี ในทางปฏิบัติมีประเด็นเกี่ยวกับตัวเลขหลายอย่างที่ต้องจัดการหากคุณต้องการผลลัพธ์ที่ดีและ - เนื่องจากปัญหาปกติของการคำนวณจุดลอยตัว - คุณจะได้สิ่งที่คุณต้องการโดยประมาณ นั่นคือความแปรปรวนประชากรคำนวณมักจะไม่ตรง แต่สิ่งนี้เป็นปัญหาเสมอเมื่อเราคำนวณสิ่งต่าง ๆ จริง ๆ ]$LZ$ $A$