การประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดของความแปรปรวนร่วมของข้อมูลปกติแบบแปรปรวนคืออะไรเมื่อทราบค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน?

สมมติว่าเรามีตัวอย่างแบบสุ่มจากการแจกแจงปกติแบบ bivariate ซึ่งมีค่าศูนย์เป็นค่ากลางและค่าความแปรปรวนดังนั้นพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักเพียงค่าเดียวคือความแปรปรวนร่วม MLE ของความแปรปรวนร่วมคืออะไร? ฉันรู้ว่ามันควรจะเป็น $\frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n}x_j y_j$ แต่เราจะรู้ได้อย่างไร

— สเตซี่
แหล่งที่มา

ในฐานะผู้เริ่มต้นคุณไม่คิดว่ามันเป็นเรื่องที่ไม่ค่อยชัดเจนนักที่จะประมาณค่าเฉลี่ยด้วย

\bar{x}

$\bar{x}$ และ

\bar{y}

$\bar{y}$ เมื่ออันที่จริงแล้วเรารู้ว่ามันเป็น 0 และ 0

— โวล์ฟกัง

ไม่ชัดเจนมาก ยังไม่เห็นว่าสิ่งนี้สามารถติดตามได้อย่างง่ายดาย มันคล้ายกับความแปรปรวนตัวอย่าง แต่ทำไมมันถึงเป็น MLE (ยกเว้นว่ามันไม่ใช่และฉันทำผิดพลาดอีกครั้ง)

— สเตซี่

คุณลบ

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i - \bar y)$ ? การใช้สูตรนี้ไม่ได้หมายความว่าคุณจะพิจารณา

\bar{x}

$\bar x$ และ

\bar{y}

$\bar y$ เป็นค่าประมาณของค่าเฉลี่ย

— Stéphane Laurent

@ StéphaneLaurentใช่แล้วในสูตรเริ่มแรกคุณได้รับสูตรตามที่คุณเขียน

— Wolfgang

ตัวประมาณค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ (ซึ่งในกรณีของมาตรฐาน bivariate ปกติเท่ากับความแปรปรวนร่วม)

\tilde{r} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}

$\tilde r = \frac 1n\sum_{i=1}^nx_iy_i$

เป็นวิธีการประมาณช่วงเวลา, ความแปรปรวนร่วมตัวอย่าง ρ $\hat \rho$

ความหนาแน่นร่วมกันของสองตัวแปรมาตรฐานปกติที่มีค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ คือ $\rho$

f (x, y) = \frac{1}{2 π \sqrt{1 - ρ^{2}}} \exp {- \frac{x^{2} + y^{2} - 2 ρ x y}{2 (1 - ρ^{2})}}

$f(x,y) = \frac{1}{2 \pi \sqrt{1-\rho^2}} \exp\left\{-\frac{x^2 +y^2 -2\rho xy}{2(1-\rho^2)}\right\}$

และบันทึกความน่าจะเป็นของตัวอย่าง iid ขนาดคือ $n$

\ln L = - n \ln (2 π) - \frac{n}{2} \ln (1 - ρ^{2}) - \frac{1}{2 (1 - ρ^{2})} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2} - 2 ρ x_{i} y_{i})

$\ln L = -n\ln(2\pi) -\frac n2\ln(1-\rho^2) - \frac 1{2(1-\rho^2)}\sum_{i=1}^n(x_i^2 +y_i^2 -2\rho x_iy_i)$

(นี่คือสมมติฐานของ iid ที่เกี่ยวกับการดึงแต่ละครั้งจากประชากรสองมิติของหลักสูตร)

การหาอนุพันธ์เทียบกับและตั้งค่าเท่ากับศูนย์จะให้พหุนามแบบ 3 มิติเป็น : $\rho$ $\rho$

\hat{ρ} : n {\hat{ρ}}^{3} - (\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}) {\hat{ρ}}^{2} - (1 - \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i}^{2} + y_{i}^{2})) n \hat{ρ} - \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = 0

$\hat \rho: n\hat \rho^3 -\left(\sum_{i=1}^nx_iy_i\right)\hat\rho^2 -\left(1- \frac 1n\sum_{i=1}^n(x_i^2 +y_i^2) \right)n\hat \rho - \sum_{i=1}^nx_iy_i =0$

$\rho$

$(1/n)\sum_{i=1}^n(x_i^2 +y_i^2) = (1/n)S_2$ $X$ $Y$ $n$

\hat{ρ} : {\hat{ρ}}^{3} - \tilde{r} {\hat{ρ}}^{2} + [(1 / n) S_{2} - 1] \hat{ρ} - \tilde{r} = 0

$\hat \rho: \hat \rho^3 -\tilde r \hat \rho^2 + \big[(1/n)S_2-1\big]\hat \rho -\tilde r=0$

\Rightarrow \hat{ρ} ({\hat{ρ}}^{2} - \tilde{r} \hat{ρ} + [(1 / n) S_{2} - 1]) = \tilde{r}

$\Rightarrow \hat \rho\Big(\hat \rho^2 -\tilde r \hat \rho + \big[(1/n)S_2-1\big] \Big) = \tilde r$

$\hat \rho = \tilde r$ $(1/n)S_2 =2$

\hat{ρ} \neq \tilde{r}

$\hat \rho \neq \tilde r$

$\rho=0.6$ $n=1.000$

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = 522.05, S_{2} = 1913.28

$\sum_{i=1}^nx_iy_i = 522.05,\;\;S_2 = 1913.28$

ตัวประมาณเมธอดของ Moments ให้เรา

\tilde{r} = \frac{522.05}{1000} = 0.522

$\tilde r = \frac {522.05}{1000} = 0.522$

เกิดอะไรขึ้นกับความน่าจะเป็นบันทึก สายตาเรามี

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

ตัวเลขเรามี

\begin{array}{rrr} ρ & 1st deriv & lnL \\ 0.5 & - 70.92 & - 783.65 \\ 0.51 & - 59.41 & - 782.47 \\ 0.52 & - 47.7 & - 781.48 \\ 0.53 & - 35.78 & - 780.68 \\ 0.54 & - 23.64 & - 780.1 \\ 0.55 & - 11.29 & - 779.75 \\ 0.56 & 1.29 & - 779.64 \\ 0.57 & 14.1 & - 779.81 \\ 0.58 & 27.15 & - 780.27 \\ 0.59 & 40.44 & - 781.05 \\ 0.6 & 53.98 & - 782.18 \end{array}

$\begin{array}{| r | r | r |} \hline \hline ρ&\text{1st deriv}&\text{lnL}\\ \hline 0.5&-70.92&-783.65\\ 0.51&-59.41&-782.47\\ 0.52&-47.7&-781.48\\ 0.53&-35.78&-780.68\\ 0.54&-23.64&-780.1\\ 0.55&-11.29&-779.75\\ 0.56&1.29&-779.64\\ 0.57&14.1&-779.81\\ 0.58&27.15&-780.27\\ 0.59&40.44&-781.05\\ 0.6&53.98&-782.18\\ \hline \end{array}$

และเราจะเห็นว่าการเข้าสู่ระบบมีความน่าจะเป็นสูงสุดตาดก่อนที่ยังอนุพันธ์ที่ 1 กลายเป็นศูนย์0.558985) ไม่น่าประหลาดใจสำหรับค่าของไม่แสดง นอกจากนี้อนุพันธ์อันดับ 1 ก็ไม่มีรากอื่น $\rho=0.56$ $(\hat \rho = 0.558985)$ $\rho$

ดังนั้นการจำลองนี้สอดคล้องกับผลลัพธ์ที่ตัวประมาณโอกาสสูงสุดไม่เท่ากับวิธีการประมาณช่วงเวลา (ซึ่งเป็นค่าความแปรปรวนร่วมตัวอย่างระหว่างสอง rv's)

แต่ดูเหมือนว่า "ทุกคน" กำลังบอกว่ามันควร ... ดังนั้นใครบางคนควรมีคำอธิบาย

UPDATE

การอ้างอิงที่พิสูจน์ว่า MLE เป็นตัวประมาณเมธอดของ Moments: Anderson, TW, & Olkin, I. (1985) การประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดของพารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบหลายตัวแปรปกติ พีชคณิตเชิงเส้นและการประยุกต์, 70, 147-171
มันไม่สำคัญว่าที่นี่วิธีการและความแปรปรวนทั้งหมดมีอิสระที่จะแตกต่างกันและไม่คงที่?

... อาจจะใช่เพราะความคิดเห็นของ @ ผู้ชายในอีก (ลบตอนนี้) คำตอบที่บอกว่ามีกำหนดพารามิเตอร์ค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่ bivariate ปกติจะกลายเป็นสมาชิกคนหนึ่งของโค้งครอบครัวชี้แจง (และผลและคุณสมบัติบางอย่างเปลี่ยนแปลง) ... ซึ่งดูเหมือนจะเป็นวิธีเดียวที่สามารถกระทบยอดผลลัพธ์ทั้งสอง

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

นี่เป็นสิ่งที่น่าแปลกใจเล็กน้อย แต่หลังจากการไตร่ตรองแล้วก็น่าจะเกิดขึ้น ปัญหาจะสามารถซักค้านเป็นประมาณค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยในรูปแบบที่2) นี่ไม่ใช่โมเดลเชิงเส้นดังนั้นจึงไม่มีเหตุผลที่จะคาดหวังว่า MLE จะเป็นผลิตภัณฑ์แบบจุด ตรรกะเดียวกันแสดงให้เห็น (ฉันคิดว่า!) ว่าถ้าเรารู้เพียงดังนั้น MLE คือและถ้าเรารู้เพียง(Y) หากเราไม่รู้ว่าจะเกิดอะไรขึ้นเราจะได้ค่าประมาณ MOM ของคุณ

ρ

$\rho$

Y = ρ X + ϵ

$Y = \rho X + \epsilon$

ϵ \sim N (0, {\sqrt{1 - ρ^{2}}}^{2})

$\epsilon \sim \mathcal N(0, \sqrt{1 - \rho^2}^2)$

Var (X)

$\mbox{Var}(X)$

x^{'} y / x^{'} x

$x'y / x'x$

x^{'} y / y^{'} y

$x'y / y'y$

Var (Y)

$\mbox{Var}(Y)$

— ผู้ชาย

@guy: น่าสนใจมาก ฉันคิดว่าข้อโต้แย้งเหล่านี้หากขยายออกไปเล็กน้อยสมควรที่จะโพสต์เป็นคำตอบแยกต่างหาก!

— อะมีบา

@guy ฉันไม่คิดว่าสูตรนี้เทียบเท่ากันเพราะความน่าจะเป็นในการตั้งค่าการถดถอยมี square 2 ค่าสัมประสิทธิ์ที่แนบมากับไม่อยู่ในการกำหนดความหนาแน่น bivariate

ϵ^{2} = (y - ρ x)^{2} = y^{2} - 2 ρ x y + ρ^{2} x^{2}

$\epsilon^2=(y-\rho x)^2 = y^2 -2\rho xy + \rho^2 x^2$

ρ^{2}

$\rho^2$

x^{2}

$x^2$

— Alecos Papadopoulos

ฉันเดาy) ลองนึกภาพและดังนั้นคาดว่าจะมีค่าประมาณ

\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})

$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar x)(y_i - \bar y)$

n = 2

$n=2$

y_{1} = y_{2}

$y_1=y_2$

0

$0$

— Stéphane Laurent

@AlecosPapadopoulos 2 คำถูกยกเลิกโดยตัวส่วนดังนั้นคำเดียวจากข้อมูลที่มีส่วนในโอกาสในการบันทึกดั้งเดิมของคุณคือ2) แต่นี่ก็เป็นที่รู้จักกันในทันทีจากการแยกตัวประกอบ ,2) การอ้างสิทธิ์อื่น ๆ ของฉันไม่ถูกต้องเนื่องจากฉันไม่ได้ใส่คำว่าไว้ในนั้น

x^{2} + y^{2} - 2 ρ x y = (1 - ρ^{2}) x^{2} + (y - ρ x)^{2}

$x^2 + y^2 - 2\rho x y = (1 - \rho^2) x^2 + (y - \rho x)^2$

(1 - ρ^{2}) x^{2}

$(1 - \rho^2) x^2$

(1 - ρ^{2})

$(1 - \rho^2)$

(y - ρ x)^{2} / (1 - ρ^{2})

$(y - \rho x)^2 / (1 - \rho^2)$

X \sim N (μ_{X}, σ_{X}^{2})

$X \sim N(\mu_X, \sigma^2_X)$

[Y | X] \sim N (μ_{Y} + ρ_{X} \frac{σ_{Y}}{σ_{X}} (X - μ_{X}), σ_{Y | X}^{2} {\sqrt{1 - ρ^{2}}}^{2})

$[Y|X] \sim N(\mu_Y + \rho_X \frac{\sigma_Y}{\sigma_X} (X - \mu_X), \sigma^2_{Y|X} \sqrt{1 - \rho^2}^2)$

σ_{Y} / σ_{X}

$\sigma_Y/\sigma_X$

— ผู้ชาย

ภายใต้เงื่อนไขที่ระบุไว้ (และ ) ฟังก์ชันความน่าจะเป็นสำหรับตัวอย่างสุ่มขนาดคือ $\mu_X = \mu_Y = 0$ $\sigma_X = \sigma_Y = 1$ $n$

L (ρ | X, Y) = \frac{1}{(2 π [1 - ρ^{2}])^{n / 2}} \exp [- \frac{1}{2 (1 - ρ^{2})} (X^{'} X - 2 ρ X^{'} Y + Y^{'} Y)] .

$L(\rho\; |\; X, Y) = \frac{1}{(2\pi[1-\rho^2])^{n/2}}\exp \left[-\frac{1}{2(1-\rho^2)}(X'X - 2\rho X'Y + Y'Y)\right].$

ขณะนี้พบการเข้าสู่ระบบความน่าจะเป็นและใช้อนุพันธ์ที่เกี่ยวกับ\ถัดไปตั้งค่าเท่ากับ 0, แก้โร} แน่นอนคุณควรทำแบบทดสอบที่เหมาะสมเพื่อแสดงสิ่งที่คุณพบในความเป็นจริงสูงสุดทั่วโลก $\rho$ $\hat{\rho}$

— เดนนิส
แหล่งที่มา