สถิติของ Chi Squared ของ Pearson ประมาณว่าการกระจายตัวของ Chi Squared อย่างไร

ดังนั้นหากได้รับสถิติ Chi Squared ของ Pearson สำหรับตารางรูปแบบของมันคือ:$1 \times N$

จากนั้นสิ่งนี้จะประมาณการกระจาย Chi-Squared ที่มีอิสระขององศาเมื่อขนาดตัวอย่างมีขนาดใหญ่ขึ้น $\chi_{n-1}^2$$n-1$$N$

สิ่งที่ฉันไม่เข้าใจก็คือวิธีการประมาณ asymptotic นี้ทำงานอย่างไร ฉันรู้สึกเหมือน 's ในหารจะถูกแทนที่ด้วย{} นับได้ว่าจะให้คุณสำหรับ(0,1) แต่แน่นอนว่ามันมีอิสระแบบองศาไม่ใช่ดังนั้นจึงมีบางอย่างที่ชัดเจนเกิดขึ้น$E_i$$\frac{s_i^2}{n_i}$$\chi_n^2 = \sum_{i=1}^nZ_i^2$$Z_i\sim n(0,1)$$n$$n-1$

ฉันจะกระตุ้นสิ่งนี้อย่างสังหรณ์ใจและระบุว่ามันเกิดขึ้นได้อย่างไรสำหรับกรณีพิเศษของสองกลุ่มโดยสมมติว่าคุณมีความสุขที่จะยอมรับการประมาณค่าปกติกับทวินาม

หวังว่ามันจะเพียงพอสำหรับคุณที่จะเข้าใจว่าทำไมมันถึงทำงานได้ดี

คุณกำลังพูดถึงความเหมาะสมของไคสแควร์ สมมติว่ามีกลุ่ม (คุณมีมันเป็นแต่มีเหตุผลที่ฉันมักจะชอบเรียกมันว่า )n $k$$n$$k$

ในโมเดลที่ใช้สำหรับสถานการณ์นี้การนับ ,เป็นหลายค่าฉัน= 1 , 2 , . . , $O_i$$i=1,2,...,k$

ให้O_i การนับมีเงื่อนไขในผลรวม (ยกเว้นในบางสถานการณ์ที่ค่อนข้างหายาก); และมีบางชุด prespecified ของความน่าจะเป็นสำหรับแต่ละประเภทซึ่งรวมไป1 N p i , i = 1 , 2 , … , k $N=\sum_{i=1}^k O_i$$N$$p_i, i=1, 2, \ldots,k$$1$

เช่นเดียวกับทวินามนั่นก็คือการประมาณค่าปกติแบบเชิงสัญลักษณ์สำหรับ multinomials แน่นอนถ้าคุณพิจารณาเฉพาะจำนวนในเซลล์ที่ระบุ ("ในหมวดหมู่นี้" หรือไม่) มันก็จะเป็นแบบทวินาม เช่นเดียวกับทวินามความแปรปรวนของการนับ (เช่นเดียวกับโควาเรียสของพวกเขาในพหุนาม) เป็นหน้าที่ของและ ; คุณไม่ได้ประเมินความแปรปรวนแยกกัน$N$$p$

นั่นคือถ้านับที่คาดว่าจะมีขนาดใหญ่พอเวกเตอร์ของการนับจะอยู่ที่ประมาณปกติที่มีค่าเฉลี่ยE_iอย่างไรก็ตามเนื่องจากการนับมีเงื่อนไขในการกระจายจะลดลง (มีอยู่ในไฮเปอร์เพลนของมิติเนื่องจากการระบุของการนับเป็นการแก้ไขส่วนที่เหลือ) ความแปรปรวน - ความแปรปรวนร่วมเมทริกซ์มีรายการในแนวทแยงและปิดองค์ประกอบในแนวทแยงและมันเป็นของอันดับเพราะความเสื่อม$E_i=Np_i$$N$$k-1$$k-1$$Np_i(1-p_i)$$-Np_ip_j$$k-1$

เป็นผลให้สำหรับแต่ละเซลล์และคุณสามารถเขียน(1-p_i)}} อย่างไรก็ตามข้อตกลงนั้นขึ้นอยู่กับ (มีความสัมพันธ์เชิงลบ) ดังนั้นหากคุณหาผลรวมกำลังสองของเหล่านั้นมันจะไม่มีการ (เหมือนที่มันเป็นตัวแปรมาตรฐานที่เป็นอิสระ) แต่เราสามารถสร้างชุดของตัวแปรอิสระจากต้นฉบับซึ่งเป็นอิสระและยังคงปกติ (ปกติเชิงเส้นกำกับ) ถ้าเราสรุปของพวกเขา (มาตรฐาน) สี่เหลี่ยมที่เราต้องการได้รับ{k-1} มีวิธีการสร้างชุด$\text{Var}(O_i)=Np_i(1-p_i)$$z_i = \frac{O_i-E_i}{\sqrt{E_i(1-p_i)}}$$z_i$$\chi^2_k$$k-1$$k$$\chi^2_{k-1}$$k-1$ ตัวแปรอย่างชัดเจน แต่โชคดีที่มีช็อตคัตที่เรียบร้อยมาก ๆ ที่จะหลีกเลี่ยงความพยายามจำนวนมากและให้ผลลัพธ์ที่เหมือนกัน (ค่าเดียวกันของสถิติ) ราวกับว่าเรามีปัญหา

พิจารณาเพื่อความง่ายความดีของความพอดีกับสองประเภท (ซึ่งตอนนี้เป็นทวินาม) ความน่าจะเป็นของการอยู่ในเซลล์แรกคือและในเซลล์ที่สองคือ1-P มีการสังเกตในเซลล์แรกและในเซลล์ที่สอง$p_1=p$$p_2=1-p$$X = O_1$$N-X=O_2$

สังเกตการนับเซลล์แรกเป็น asymptotically(1-P)) เราสามารถสร้างมาตรฐานเป็น(1-P)}} จากนั้นมีค่าประมาณ (asymptotically )$X$$\text{N}(Np,Np(1-p))$$z=\frac{X-Np}{\sqrt{Np(1-p)}}$$z^2 = \frac{(X-Np)^2}{Np(1-p)}$$\sim \chi^2_1$$\sim \chi^2_1$

สังเกตว่า

$\sum_{i=1}^2 \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i} = \frac{[X-Np]^2}{Np}+ \frac{[(N-X)-(N-Np)]^2}{N(1-p)}= \frac{[X-Np]^2}{Np}+ \frac{[X-Np]^2}{N(1-p)}=(X-Np)^2[\frac{1}{Np}+ \frac{1}{N(1-p)}]$P)}]

แต่

$\frac{1}{Np}+ \frac{1}{N(1-p)} =\frac{Np+N(1-p)}{Np.N(1-p)} = \frac{1}{Np(1-p)}$(1-P)}

ดังนั้นซึ่งเป็นเราเริ่มต้นด้วย - ซึ่ง asymptotically จะเป็นตัวแปรสุ่มการพึ่งพาระหว่างเซลล์ทั้งสองเป็นเช่นนั้นโดยการดำน้ำโดยแทนที่จะเป็นเราชดเชยการพึ่งพาระหว่างทั้งสองอย่างแน่นอนและได้รับตัวแปรสุ่มแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสประมาณปกติ$\sum_{i=1}^2 \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i} =\frac{(X-Np)^2}{Np(1-p)}$$z^2$$\chi^2_1$$E_i$$E_i(1-p_i)$

ผลรวมของการพึ่งพาแบบเดียวกันนั้นได้รับการดูแลโดยวิธีเดียวกันเมื่อมีมากกว่าสองประเภท - โดยการรวมแทนในทุก ๆคำศัพท์คุณจะชดเชยผลกระทบจากการพึ่งพาอาศัยกันอย่างแน่นอนและได้รับผลรวมเทียบเท่ากับผลรวมของบรรทัดฐานอิสระ$\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$$\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i(1-p_i)}$$k$$k-1$

มีหลากหลายวิธีในการแสดงสถิติที่มีการแจกแจงแบบ asymptoticallyสำหรับขนาดใหญ่(มันครอบคลุมในหลักสูตรสถิติระดับปริญญาตรีบางหลักสูตรและสามารถพบได้ในตำราระดับปริญญาตรีจำนวนหนึ่ง) แต่ฉันไม่ต้องการที่จะนำคุณไปไกลเกินกว่าระดับที่คำถามของคุณแนะนำ อันที่จริงการค้นพบนั้นง่ายต่อการค้นหาในบันทึกบนอินเทอร์เน็ตเช่นมีการสืบทอดสองแบบที่แตกต่างกันในพื้นที่ประมาณสองหน้าที่นี่$\chi^2_{k-1}$$k$

ต้นฉบับhttp://sites.stat.psu.edu/~~Vต้นฉบับหน้าเดียว ~~hunter/asymp/lectures/p175to184.pdf ที่อ้างอิงโดยผู้ใช้ @Glen_b ในที่สุดแสดงให้เห็นว่าสถิติสามารถเขียนใหม่เป็นHotelling ด้วยอันดับความแปรปรวนร่วม = (ดูสมการที่ 9.6) จากนั้นเราอาจเรียกใช้ผลลัพธ์แบบคลาสสิกของSJ Sepanski (1994)เพื่อให้ได้การแจกแจงเชิงซีมโทติคในรูปแบบไคสแควร์ที่มีองศาอิสระ$T^2$$k-1$k - 1$k-1$