จะพัฒนาสัญชาตญาณความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขได้อย่างไร

ในวิดีโอบรรยายจากสถิติของ Harvard 110: ความน่าจะเป็นที่พบได้ใน iTunes และ YouTube ฉันพบปัญหานี้ ฉันพยายามสรุปที่นี่:

สมมติว่าเราได้ไพ่สองใบสุ่มจากเด็คมาตรฐาน

1. ความน่าจะเป็นที่ไพ่ทั้งคู่เป็นเอซเนื่องจากเรามีอย่างน้อยหนึ่งเอซคืออะไร

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces, have\ ace)}{P(have\ ace)}$$

เนื่องจากมีอย่างน้อยหนึ่งเอซจะถูกบอกเป็นนัย ๆ ถ้าคุณมีเอซทั้งคู่การตัดกันสามารถลดลงเหลือเพียงแค่$P(both\ aces)$

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces)}{P(have\ ace)}$$

นี่เป็นเพียงแค่

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{4C2\ /\ 52C2}{1-48C2\ /\ 52C2}=\frac{1}{33}$$

2. ความน่าจะเป็นที่การ์ดทั้งสองเป็นเอซคืออะไรเนื่องจากเรามีเอซโพดำ

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{P(both\ aces, have\ ace\ of\ spades)}{P(have\ ace\ of\ spades)}$$

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{(3C1*1C1)\ /\ 52C2}{2!*\frac{51}{52}*\frac{1}{51}}=\frac{1}{17}$$

ตอนนี้มีตัวอย่างเหล่านี้ที่ฉันหลงทาง ...

เห็นได้ชัดว่าหลังเหมือนกับ$\frac{3}{51}$ซึ่งทำให้รู้สึก (กับฉัน) มากว่านี่จะเป็นคำตอบ หากคุณถูกบอกว่าคุณมีไพ่โพดำ (พูด) คุณก็รู้ว่ามีไพ่เอซ3ใบและการ์ดอีก51ใบ$3$$51$

แต่ในตัวอย่างก่อนหน้านี้คณิตศาสตร์ดูเหมือนว่าดี (และฉันเชื่อว่าผู้บรรยายจะไม่ยกตัวอย่างนี้ถ้ามันไม่ถูกต้อง ... ) แต่ฉันไม่สามารถเอาหัวล้อมรอบสิ่งนี้ได้

ฉันจะได้รับปรีชาสำหรับปัญหานี้ได้อย่างไร

เพื่อช่วยให้สัญชาตญาณพิจารณาภาพเหตุการณ์สองเหตุการณ์ (ชุดผลลัพธ์):

1. เหตุการณ์ปรับอากาศซึ่งเป็นข้อมูลที่ได้รับ

2. เหตุการณ์ที่มีเงื่อนไขซึ่งคุณต้องการค้นหา

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขพบได้โดยการแบ่งโอกาสที่สองด้วยโอกาสแรก

---

มีวิธีที่น่าจะเท่ากันในการจัดการไพ่สองใบโดยการสุ่ม วิธีที่สะดวกในการมองเห็นดีลเหล่านี้คือการวางพวกมันในตารางที่มีแถว (พูด) กำหนดไพ่ดีลแรกและคอลัมน์ไพ่ใบที่สองในดีล นี่คือส่วนหนึ่งของตารางนี้โดยมีจุดไข่ปลา ( ) กำหนดส่วนที่หายไป โปรดสังเกตว่าเนื่องจากไพ่สองใบไม่สามารถเหมือนกันจึงไม่มีรายการอยู่ในแนวทแยงมุมหลักของตาราง แถวและคอลัมน์เรียงลำดับจากเอซถึงกษัตริย์:$52 \times 51$$\cdots$

คำถามที่มุ่งเน้นไปที่เอซ ข้อมูล "เรามีอย่างน้อยหนึ่งเอซ" หาคู่ภายในสี่แถวแรกหรือสี่คอลัมน์แรก ในใจของเราเราสามารถเห็นภาพแผนผังโดยการระบายสีแถวและคอลัมน์เหล่านี้ ฉันทำให้พวกมันเป็นสีแดง แต่ที่เอซทั้งคู่ปรากฏขึ้นฉันได้ให้พวกมันดำ

มีคู่ของเอซทั้งหมดและคู่อื่นที่มีอย่างน้อยหนึ่งเอซรวมเป็นคู่ที่คุณมีเงื่อนไข โดยพื้นที่สีแดงและสีดำ เนื่องจากคู่เหล่านี้มีโอกาสเท่ากันโอกาสของอดีตคือ$2\times 6 = 12$$2\times (4\times 48) = 384$$12+384=396$

$$\frac{12}{396} = \frac{1}{33}.$$

มันคือเศษส่วนสีดำของพื้นที่สีแดง + ดำ

คำถามที่สองอ้างว่า "เรามีเอซโพดำ" สิ่งนี้สอดคล้องกับแถวและคอลัมน์แรกเท่านั้น:

ขณะนี้มีเพียงคู่ดังกล่าวที่มีสองเอซและคู่อื่น ๆ ที่มีเอซโพดำรวมทั้งสิ้นคู่ดังกล่าว การให้เหตุผลเหมือนก่อนโอกาสของสองเอซคือ$2\times 3 = 6$$2\times 48=96$$96+6 = 102$

$$\frac{6}{102} = \frac{1}{17}.$$

อีกครั้งคือเศษส่วนสีดำของพื้นที่สีแดง + ดำ

สำหรับการอ้างอิงตัวเลขสุดท้ายจะมีตัวเลขก่อนหน้าซึ่งแสดงเป็นสีชมพูและสีเทา การเปรียบเทียบภูมิภาคเหล่านี้แสดงให้เห็นว่าเกิดอะไรขึ้น: จากคำถามแรกไปยังคำถามที่สองจำนวนคู่ในเหตุการณ์การปรับ (สีชมพู) ลดลงเหลือประมาณหนึ่งในสี่ของการนับเดิม (สีแดง) ในขณะที่จำนวนคู่ของคำถามลดลง โดยครึ่งเดียวเท่านั้น (จากสีเทาเป็นสีดำถึง )$12$$6$

---

ฉันได้พบว่าตัวเลขแผนผังดังกล่าวมีประโยชน์แม้บางทีโดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพยายามที่จะเข้าใจแนวคิดที่น่าจะเป็นเรื่องซับซ้อนมากขึ้นเช่นการกรองของ aligbras ซิกมา

วิธีที่แตกต่างในการตั้งค่าปัญหาที่นำไปสู่การคำนวณที่สองคือ:

คุณจั่วไพ่สองใบจากเด็ค ความน่าจะเป็นของสองเอซคืออะไรเนื่องจากไพ่ใบแรกที่คุณวาดคือเอซ

การใช้ถ้อยคำนี้ทำให้เปรียบเทียบกับการคำนวณครั้งแรกได้ง่ายขึ้น โอกาสที่พื้นฐานของการเลือกเอซสองตัวนั้นไม่เปลี่ยนแปลง แต่เงื่อนไขที่จะมีไพ่ใบแรกในฐานะเอซนั้นมีข้อ จำกัด มากกว่าเงื่อนไขหากเป็นเอซ ซึ่งหมายความว่าในการคำนวณความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขชุดค่าผสมที่ต้องการจะเกิดขึ้นในตัวเลือกที่น้อยลงดังนั้นจึงมีความน่าจะเป็นที่มากขึ้น

ทั้งสองต่าง phrasings (เอซโพดำกับการ์ดใบแรกเหมือนเอซ) เพราะพวกเขาทำลายความสมมาตร / แลกเปลี่ยนได้ระหว่างเอซ: ชุดสูทหรือคำสั่งไม่สามารถแลกเปลี่ยนโดยพลการ

ในตอนแรกมันยากสำหรับฉันที่จะมีสัญชาตญาณบางอย่างเกี่ยวกับ

แนวคิดหนึ่งคือนำปัญหาไปสู่ขีด จำกัด ในกรณีนี้อย่างที่ Steve สังเกตเห็นปัญหาอย่างหนึ่งที่เหมือนกันคือเพื่อนบ้านของฉันมีลูกสองคนคุณรู้ว่าหนึ่งในนั้นคือเด็กผู้ชาย ความน่าจะเป็นที่เธอมีเด็กชายสองคนคืออะไร

ความคิดแรกของ Thje คือตกลงฉันมีเด็กชายหนึ่งคนเด็กอีกคนมีโอกาส 1/2 ที่จะเป็นผู้หญิงและ 1/2 เป็นเด็ก แต่ในกรณีนี้คุณไม่ได้รับข้อมูลทั้งหมดที่ให้ความจริงกับคุณ ( อย่างน้อยคุณก็มีเด็กชายคนหนึ่ง) เพราะโดยปริยายว่าเด็กคนนี้อาจเป็นเด็กที่อายุน้อยที่สุดที่เป็นเด็กผู้หญิงที่อายุมากที่สุดหรือผู้ที่อายุน้อยที่สุดหรือทั้งสองคนเป็นชายซึ่งหมายความว่าผลลัพธ์ที่เป็นไปได้เพียงอย่างเดียวเท่านั้น

อย่างที่ฉันบอกว่ามันง่ายกว่าที่จะแก้ปัญหาจนถึงขีด จำกัด ...

กรณีที่ 1: กรณีบทคัดย่อเหมือนกับ "เรามีเอซหนึ่งตัว" -> ในกรณีนี้จินตนาการว่าเพื่อนบ้านของฉันไม่มีลูก 2 คน แต่ 27 คนและคุณรู้ว่า 26 คนเป็นเด็กผู้ชายความน่าจะเป็นของมันเกือบจะเป็นศูนย์ ในกรณีนี้เป็นที่ชัดเจนว่าข้อมูลนี้ให้ข้อมูลมากมายกับคุณว่าเด็กที่ยังมีชีวิตอยู่นั้นน่าจะเป็นเด็กผู้หญิง คุณจะมีกรณีหนึ่งกรณีที่มีเด็กชาย 27 คนสมมติว่า tuple (b, b, b, b, b, b ... , b) และ 27 คดีที่มีผู้หญิง 1 คนและเด็กชาย 26 คน (g, b, b , b ... ), (b, g, b, b, b ... ) ดังนั้นความน่าจะเป็นของเด็กชายทั้งหมดคือ 1/27 โดยทั่วไปจะเป็น 1 / (N + 1)

case2: ข้อมูลคอนกรีต นี่จะเหมือนกับ "เรามีเอซโพดำ" หรือ "เรามีไพ่ใบแรกเป็นเอซ" ในกรณีนี้จินตนาการว่าเพื่อนบ้านของเรามีลูก 26 คนเด็กชายทุกคนและกำลังตั้งครรภ์ที่ 27 ความน่าจะเป็นที่วันที่ 27 จะเป็นเด็กผู้ชายคืออะไร?

ด้วย case2 ฉันค่อนข้างมั่นใจว่าเราทุกคนสามารถเข้าใจสัญชาตญาณที่จำเป็นสำหรับปัญหาความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขแบบนี้

หากคุณต้องการที่จะร่ำรวยคุณต้องเดิมพันในกรณีแรกที่มีเด็กผู้ชาย 26 คนและคนที่ 27 เพราะการขาดข้อมูลที่เป็นรูปธรรมหมายถึงพลังงานที่น่าจะเป็นไปได้สำหรับเด็กที่เหลือในขณะที่ในกรณีที่สองเอนโทรปีมีขนาดใหญ่มาก ข้อมูลไม่ทราบที่จะเดิมพัน

ฉันหวังว่านี่จะเป็นประโยชน์

วิธีหนึ่งที่สามารถบอกคำตอบคือ 3/51 โดยไม่ต้องคำนวณ?

ถ้าคุณเอาเอซโพดำมาก่อน ฉันรู้ว่าการ์ดใดบ้างที่อยู่ในแพ็คเกจ ดังนั้นจึงมี 3 เอซบนไพ่ 51 ใบ ดังนั้นสำหรับอันที่สองคุณมีโอกาส 3/51 ที่จะมีเอซสองตัว

และจะเข้าใจความแตกต่างระหว่างสองสถานการณ์ได้อย่างไรอย่างสังหรณ์ใจ?

เป็นเพราะ "มีหนึ่งแต้ม" รวมอยู่ใน "มีสองเอซ" แต่ "มีเอซโพดำ" ไม่รวมอยู่ใน "มีสองเอซ" นี่คือความแตกต่าง

อันที่จริงถ้าคุณมีสองเอซคุณมี แต่ไม่อาจเป็นเอซโพดำดังนั้นมันจึงไม่น่าจะเป็นแบบเดียวกัน

คำตอบนี้มีไว้สำหรับโพสต์อื่นซึ่งถูกย้ายในหนึ่งนี้ ..