ความสัมพันธ์ที่ไม่ใช่ศูนย์หมายถึงการพึ่งพาอาศัยกันหรือไม่?

เรารู้ถึงความจริงที่ว่าสหสัมพันธ์แบบศูนย์ไม่มีนัยยะถึงความเป็นอิสระ ฉันสนใจว่าความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นศูนย์หมายถึงการพึ่งพาหรือไม่ - เช่นถ้า$\text{Corr}(X,Y)\ne0$สำหรับตัวแปรสุ่มบางตัวและเราสามารถพูดโดยทั่วไปว่า ?$X$$Y$$f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$

ใช่เป็นเพราะ

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \text{Cov}(X,Y)\ne0$$

$$\Rightarrow E(XY) - E(X)E(Y) \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int xf_X(x) dx\int yf_Y(y)dy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xyf_{X,Y}(x,y)dxdy -\int \int xyf_X(x) f_Y(y)dxdy \ne 0$$

$$\Rightarrow \int \int xy \big[f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y)\big]dxdy \ne 0$$

ซึ่งจะเป็นไปไม่ได้ถ้า\} ดังนั้น$f_{X,Y}(x,y) -f_X(x) f_Y(y) =0,\;\; \forall \{x,y\}$

$$\text{Corr}(X,Y)\ne0 \Rightarrow \exists \{x,y\}:f_{X,Y}(x,y) \ne f_X(x) f_Y(y)$$

คำถาม: จะเกิดอะไรขึ้นกับตัวแปรสุ่มที่ไม่มีความหนาแน่น

ให้และYแทนตัวแปรสุ่มเช่นE [ X 2 ]และE [ Y 2 ] มี จำกัด จากนั้นE [ X Y ] , E [ X ]และE [ Y ]ทั้งหมดจะมี จำกัด$X$$Y$$E[X^2]$$E[Y^2]$$E[XY]$$E[X]$$E[Y]$

การ จำกัด การความสนใจของเราตัวแปรสุ่มดังกล่าวให้ แสดงว่าคำว่าXและYมีอิสระตัวแปรสุ่มและ$A$$X$$Y$คำว่า Xและ Yมีuncorrelatedตัวแปรสุ่ม, ที่อยู่, E [ X Y ] = E [ X ] E [ Y ] . จากนั้นเราก็รู้ว่า Aหมายถึง Bซึ่งก็คือตัวแปรสุ่มอิสระคือตัวแปรสุ่มที่ไม่เกี่ยวข้อง แน่นอนหนึ่งคำจำกัดความ$B$$X$$Y$$E[XY] = E[X]E[Y]$$A$$B$ของตัวแปรสุ่มอิสระคือ เท่ากับE [ g ( X ) ] E [ h ( Y ) ]สำหรับฟังก์ชันที่วัดได้ทั้งหมดg ( ⋅ ) และh ( ⋅ ) ) โดยปกติจะแสดงเป็น $E[g(X)h(Y)]$$E[g(X)]E[h(Y)]$$g(\cdot)$$h(\cdot)$ แต่

$$A \implies B.$$ เทียบเท่ากับตรรกะ ¬ $A \implies B$นั่นคือ$\neg B \implies \neg A$

ความสัมพันธ์ตัวแปรสุ่มขึ้นอยู่กับตัวแปรสุ่ม

ถ้า , E [ X ]หรือE [ Y ]ไม่ จำกัด หรือไม่มีอยู่ก็เป็นไปไม่ได้ที่จะบอกว่าXและYไม่มีความสัมพันธ์หรือไม่อยู่ในความหมายดั้งเดิมของตัวแปรสุ่มที่ไม่เกี่ยวข้องซึ่งเป็นตัวแปรสำหรับ ซึ่งE [ X Y ] = E [ X ] E [ Y ] ตัวอย่างเช่น XและYอาจเป็นตัวแปรสุ่มแบบสุ่มของ Cauchy (ซึ่งไม่มีค่าเฉลี่ย$E[XY]$$E[X]$$E[Y]$$X$$Y$$E[XY] = E[X]E[Y]$$X$$Y$) พวกเขาเป็นตัวแปรสุ่มที่ไม่มีความสัมพันธ์กันในความหมายดั้งเดิมหรือไม่?

นี่คือการพิสูจน์ทางตรรกะอย่างหมดจด ถ้าจำเป็นต้องใช้¬ B → ¬ Aเนื่องจากทั้งสองมีค่าเท่ากัน ดังนั้นหาก¬ Bแล้ว¬ ตอนนี้แทนที่Aด้วยอิสรภาพและBด้วยสหสัมพันธ์$A\rightarrow B$$\neg B \rightarrow \neg A$$\neg B$$\neg A$$A$$B$

ลองนึกถึงข้อความว่า "หากภูเขาไฟระเบิดจะมีความเสียหาย" ตอนนี้คิดเกี่ยวกับกรณีที่ไม่มีความเสียหาย เห็นได้ชัดว่าภูเขาไฟไม่ได้ปะทุหรือเราจะมีเงื่อนไข

ในทำนองเดียวกันคิดเกี่ยวกับกรณี "ถ้าอิสระแล้วไม่ใช่ความสัมพันธ์X , Y " ตอนนี้พิจารณากรณีที่X , Yมีความสัมพันธ์ เห็นได้ชัดว่าพวกเขาไม่สามารถเป็นอิสระเพราะถ้าพวกเขาพวกเขาก็จะมีความสัมพันธ์ สรุปการพึ่งพาอาศัยกัน$X,Y$$X,Y$$X,Y$