ความแปรปรวนร่วมของเวกเตอร์สุ่มหลังจากการแปลงเชิงเส้น

ถ้าเป็นเวกเตอร์แบบสุ่มและเป็นเมทริกซ์คงที่ใครบางคนสามารถอธิบายได้ว่าทำไม$\mathbf {Z}$$A$

$$\mathrm{cov}[A \mathbf {Z}]= A \mathrm{cov}[\mathbf {Z}]A^\top.$$

สำหรับการสุ่ม (คอลัมน์) เวกเตอร์มีค่าเฉลี่ยเวกเตอร์เมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมจะถูกกำหนดเป็น\ operatorname {cov} (\ mathbf {Z}) = E [( \ mathbf {Z} - \ mathbf {m}) (\ mathbf {Z} - \ mathbf {m}) ^ T] ดังนั้นเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของA \ mathbf {Z}ซึ่งมีค่าเฉลี่ยของเวกเตอร์คือA \ mathbf {m} , ได้รับโดย \ start {align} \ operatorname {cov} (A \ mathbf {Z}) & = E [( A \ mathbf {Z} -A \ mathbf {m}) (A \ mathbf {Z} -A \ mathbf {m}) ^ T] \\ & = E [A (\ mathbf {Z} - \ mathbf {m }) (\ mathbf {Z} - \ mathbf {m}) ^ TA ^ T] \\ & = AE [(\ mathbf {Z} - \ mathbf {m}) (\ mathbf {Z} - \ mathbf {m }) ^ T] A ^ T \\ & = A \ operatorname {cov} (\ mathbf {Z}) A ^ T \ end {} ชิดm = E [ Z ] cov ( Z ) = E [ ( Z - m ) ( Z - m ) T ] A Z A m cov ( A Z$\mathbf Z$$\mathbf{m} = E[\mathbf{Z}]$$\operatorname{cov}(\mathbf{Z}) = E[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]$$A\mathbf{Z}$$A\mathbf{m}$

$$\begin{align}\operatorname{cov}(A\mathbf{Z}) &= E[(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})(A\mathbf{Z}-A\mathbf{m})^T]\\ &= E[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T]\\ &= AE[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T\\ &= A\operatorname{cov}(\mathbf{Z})A^T. \end{align}$$

ฉันจะเพิ่มคำตอบโดย Dilip Sarwate ว่าผลลัพธ์เดียวกันยังมีไว้สำหรับการแปลงรูปแบบ : c o v ( Z A T ) = A c o v ( Z ) A $\mathbf{Z}A^T$

$$\mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T) = A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T$$

ใช้วิธีการเดียวกัน:

$$\begin{align} \mathrm{cov}(\mathbf{Z}A^T)&=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)(\mathbf{Z}A^T-\mathbf{m}A^T)^T] \\ &=\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})A^TA(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T] \\ &=\mathbb{E}[A(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^TA^T] \\ &=A\mathbb{E}[(\mathbf{Z}-\mathbf{m})(\mathbf{Z}-\mathbf{m})^T]A^T \\ &=A\mathrm{cov}(\mathbf{Z})A^T \\ \end{align}$$

ใช้ในขั้นตอนที่ (3): A B T B A $AB^TBA^T=BAA^TB^T$

$$\begin{align}AB^TBA^T &= \left(\left(AB^TBA^T\right)^T\right)^T \\ &= \left(BA^TAB^T\right)^T \\ &= B\left(BA^TA\right)^T \\ &= BAA^TB^T \end{align}$$