ฉันจะวิเคราะห์ด้วยวิธีพิสูจน์ได้อย่างไรว่าการแบ่งจำนวนเงินแบบสุ่มส่งผลให้เกิดการแจกแจงแบบเลขชี้กำลัง (เช่นรายได้และความมั่งคั่ง)

ในบทความปัจจุบันในวิทยาศาสตร์นี้มีการเสนอต่อไปนี้:

สมมติว่าคุณแบ่งรายได้ 500 ล้านคนจาก 10,000 คน มีทางเดียวเท่านั้นที่จะให้ทุกคนมีส่วนร่วมได้ 50,000 หุ้น ดังนั้นหากคุณกำลังหารายได้แบบสุ่มความเท่าเทียมนั้นเป็นไปได้ยากมาก แต่มีวิธีนับไม่ถ้วนที่จะมอบเงินจำนวนมากให้กับคนจำนวนน้อยและคนจำนวนมากมีน้อยหรือไม่มีเลย ตามจริงแล้วทุกวิธีที่คุณสามารถแบ่งรายได้ส่วนใหญ่ผลิตรายได้แบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

ฉันทำสิ่งนี้ด้วยรหัส R ต่อไปนี้ซึ่งดูเหมือนว่าจะยืนยันผล:

library(MASS)

w <- 500000000 #wealth
p <- 10000 #people

d <- diff(c(0,sort(runif(p-1,max=w)),w)) #wealth-distribution
h <- hist(d, col="red", main="Exponential decline", freq = FALSE, breaks = 45, xlim = c(0, quantile(d, 0.99)))

fit <- fitdistr(d,"exponential")
curve(dexp(x, rate = fit$estimate), col = "black", type="p", pch=16, add = TRUE)

คำถามของฉันฉัน
จะวิเคราะห์พิสูจน์ได้อย่างไรว่าการกระจายตัวที่เกิดขึ้นนั้นมีความหมายอย่างแน่นอน

ภาคผนวก
ขอบคุณสำหรับคำตอบและความคิดเห็นของคุณ ฉันคิดเกี่ยวกับปัญหาและคิดหาเหตุผลอย่างง่าย ๆ ดังต่อไปนี้ โดยทั่วไปแล้วสิ่งต่อไปนี้จะเกิดขึ้น (ระวัง: การคาดการณ์ล่วงหน้ามากเกินไป): คุณชอบตามจำนวนและโยนเหรียญ (ลำเอียง) ทุกครั้งที่คุณได้รับเช่นหัวหน้าคุณแบ่งจำนวนเงิน คุณแจกจ่ายพาร์ติชันที่เป็นผลลัพธ์ ในกรณีที่ไม่ต่อเนื่องเหรียญที่ทอยตามการกระจายแบบทวินามพาร์ติชั่นนั้นถูกกระจายแบบเรขาคณิต แอนะล็อกต่อเนื่องคือการแจกแจงปัวซองและการแจกแจงเอ็กซ์โพเนนเชียลตามลำดับ! (ด้วยเหตุผลเดียวกันมันก็กลายเป็นความชัดเจนอย่างสังหรณ์ใจว่าทำไมการกระจายแบบเรขาคณิตและเลขชี้กำลังมีสมบัติของความจำเสื่อม - เพราะเหรียญไม่มีหน่วยความจำเช่นกัน)

ในการทำให้ปัญหาง่ายขึ้นให้ลองพิจารณากรณีที่ค่าอนุญาตของการแบ่งปันของแต่ละบุคคลนั้นไม่ต่อเนื่องเช่นจำนวนเต็ม เท่ากันเราสามารถจินตนาการถึงการแบ่ง "แกนรายได้" ในช่วงเวลาที่เท่ากันและประมาณค่าทั้งหมดที่ตกลงไปในช่วงเวลาที่กำหนดโดยจุดกึ่งกลาง

แสดงถึงรายได้รวมเป็น , ค่าที่อนุญาตเป็น , จำนวนคนทั้งหมดเป็นและสุดท้าย, จำนวนคนที่มีส่วนแบ่งเป็น , เงื่อนไขต่อไปนี้ น่าจะพอใจ: และ s x s N x s n s C 1 ( { n s } ) ≡ ∑ s n s - N = 0 , C 2 ( { n s } ) ≡ ∑ s n s x s - X = $X$$s$$x_{s}$$N$$x_{s}$$n_{s}$

$$\begin{equation} C_{1} (\{n_{s}\})\equiv\sum_{s} n_{s} - N = 0, \end{equation}$$ $$\begin{equation} C_{2} (\{n_{s}\})\equiv \sum_{s} n_{s} x_{s} - X = 0. \end{equation}$$

ขอให้สังเกตว่าหลายวิธีในการแบ่งการแชร์สามารถแสดงถึงการกระจายแบบเดียวกัน ตัวอย่างเช่นหากเราพิจารณาแบ่ง$ 4 ระหว่างคนสองคนการให้$ 3 ถึง Alice และ$ 1 ถึง Bob และในทางกลับกันทั้งสองจะให้การแจกแจงที่เหมือนกัน เนื่องจากการแบ่งเป็นแบบสุ่มการกระจายที่มีจำนวนสูงสุดของวิธีที่สอดคล้องกันเพื่อแบ่งการแบ่งปันมีโอกาสที่ดีที่สุดที่จะเกิดขึ้น

เพื่อให้ได้การแจกแจงแบบนี้เราต้องขยาย ภายใต้ข้อ จำกัด ทั้งสองข้างต้น วิธีการคูณลากรองจ์เป็นวิธีการที่ยอมรับได้สำหรับเรื่องนี้ นอกจากนี้เราสามารถเลือกทำงานกับแทนด้วยตัวเองเนื่องจาก " " เป็นฟังก์ชั่นการเพิ่มเสียงเดียว นั่นคือ โดยที่เป็นตัวคูณของลากรองจ์ แจ้งให้ทราบว่าตามสูตรของสเตอร์ลิง ,

$$\begin{equation} W(\{n_{s}\}) \equiv \frac{N!}{\prod_{s} n_{s}!}, \end{equation}$$ $\ln W$$W$$\ln$ $$\begin{equation} \frac{\partial \ln W}{\partial n_{s}} = \lambda_{1} \frac{\partial C_{1}}{\partial n_{s}} + \lambda_{2} \frac{\partial C_{1}}{\partial n_{s}} = \lambda_{1} + \lambda_{2} x_{s}, \end{equation}$$ $\lambda_{1,2}$ $$\begin{equation} \ln n! \approx n\ln n - n, \end{equation}$$ นำไปสู่ ดังนั้น จากนั้นตามมาว่า ซึ่งเป็นการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล หนึ่งสามารถรับค่าของตัวคูณ Lagrange โดยใช้ข้อ จำกัด จากข้อ จำกัด แรก $$\begin{equation} \frac{d\ln n!}{dn} \approx \ln n. \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{\partial \ln W}{\partial n_{s}} \approx -\ln n_{s}. \end{equation}$$ $$\begin{equation} n_{s} \approx \exp\big(-\lambda_{1} - \lambda_{2} x_{s}\big), \end{equation}$$ $$\begin{equation} \begin{split} N &= \sum_{s} n_{s} \approx \sum_{s} \exp\big(-\lambda_{1} - \lambda_{2} x_{s}\big)\\ &\approx \frac{1}{\Delta x} \int_{0}^{\infty} \exp\big(-\lambda_{1} - \lambda_{2} x\big) \,\,dx\\ &=\frac{1}{\lambda_{2}\Delta x}\exp\big(-\lambda_{1}\big), \end{split} \end{equation}$$ ที่ใดคือระยะห่างระหว่างค่าที่อนุญาต ในทำนองเดียวกัน ดังนั้นเรามี $\Delta x$ $$\begin{equation} \begin{split} X &= \sum_{s} n_{s}x_{s} \approx \sum_{s} x_{s}\,\exp\big(-\lambda_{1} - \lambda_{2} x_{s}\big)\\ &\approx \frac{1}{\Delta x} \int_{0}^{\infty} x\,\exp\big(-\lambda_{1} - \lambda_{2} x\big) \,\,dx\\ &=\frac{1}{\lambda_{2}^{2}\,\Delta x}\exp\big(-\lambda_{1}\big). \end{split} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \exp\big(-\lambda_{1}\big) = \frac{N^{2} \Delta x}{X}, \end{equation}$$ และ ว่านี่เป็นจำนวนสูงสุดจริงๆแทนที่จะเป็นจุดต่ำสุดหรือจุดอานคุณสามารถเห็นได้จาก Hessian แห่ง . เนื่องจากเป็นเส้นตรงในมันจึงเหมือนกับ : และ $$\begin{equation} \lambda_{2} = \frac{N}{X}. \end{equation}$$ $\ln W - \lambda_{1} C_{1} - \lambda_{2} C_{2}$$C_{1,2}$$n_{s}$$\ln W$ $$\begin{equation} \frac{\partial^{2} \ln W}{\partial n_{s}^{2}} = -\frac{1}{n_{s}} < 0, \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{\partial^{2} \ln W}{\partial n_{s}\partial n_{r}} = 0 \quad (s\neq r). \end{equation}$$ ดังนั้นรัฐ Hessian จึงเป็นส่วนที่เว้าและสิ่งที่เราได้พบนั้นมีค่าสูงสุด

ฟังก์ชันคือการกระจายตัวของการแจกแจง สำหรับการแจกแจงโดยทั่วไปเราสังเกตว่าใกล้เคียงกับค่าที่เป็นไปได้มากที่สุดควรแคบพอ จะเห็นได้จากรัฐว่าเงื่อนไขนี้จำนวน1 (เป็นเงื่อนไขที่สูตรของสเตอร์ลิงน่าเชื่อถือ) ดังนั้นหากต้องการดูการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลพาร์ติชันในแกนรายได้ (ตรงกับถังขยะในฮิสโตแกรมของ OP) ควรกว้างพอดังนั้นจำนวนคนในพาร์ติชั่น กว่าความสามัคคี ตรงหางซึ่งมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เงื่อนไขนี้จะถูกกำหนดให้ล้มเหลวเสมอ$W(\{n_{s}\})$$W(\{n_{s}\})$$n_{s}\gg 1$$n_{s}$

หมายเหตุ:นี่เป็นวิธีที่นักฟิสิกส์เข้าใจการกระจาย Boltzmannในกลศาสตร์เชิงสถิติ การกระจายการชี้แจงเป็นหลักที่แน่นอนสำหรับกรณีนี้ในขณะที่เราพิจารณา{23}$N\sim 10^{23}$

ในความเป็นจริงคุณสามารถพิสูจน์ได้ว่ามันไม่ได้เป็นเลขชี้กำลังเกือบจะเป็นเรื่องเล็กน้อย:

คำนวณความน่าจะเป็นที่หุ้นที่ให้ไว้มีค่ามากกว่าล้าน เปรียบเทียบกับความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มอธิบายมากกว่าล้าน$500$$500$

อย่างไรก็ตามมันไม่ยากเกินไปที่จะเห็นว่าสำหรับตัวอย่างช่องว่างที่เหมือนกันของคุณว่าควรใกล้เคียงกับเลขชี้กำลัง

พิจารณากระบวนการปัวซง - เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นโดยการสุ่มไปตามมิติ จำนวนเหตุการณ์ต่อหน่วยของช่วงเวลานั้นมีการแจกแจงแบบปัวซองและช่องว่างระหว่างเหตุการณ์เป็นแบบเอ็กซ์โปเนนเชียล

หากคุณใช้ช่วงเวลาคงที่เหตุการณ์ในกระบวนการปัวซองที่อยู่ในนั้นจะถูกกระจายอย่างสม่ำเสมอในช่วงเวลา ดูที่นี่

[อย่างไรก็ตามโปรดทราบว่าเนื่องจากช่วงเวลามี จำกัด คุณไม่สามารถสังเกตเห็นช่องว่างขนาดใหญ่กว่าความยาวช่วงเวลาและช่องว่างที่เกือบจะมีขนาดใหญ่นั้นจะไม่น่าเป็นไปได้ (พิจารณาตัวอย่างเช่นในช่วงหน่วย - ถ้าคุณเห็นช่องว่าง 0.04 และ 0.01 ช่องว่างถัดไปที่คุณเห็นไม่สามารถใหญ่กว่า 0.95)]

ดังนั้นนอกเหนือจากผลของการจำกัดความสนใจไปยังช่วงเวลาคงที่เกี่ยวกับการกระจายของช่องว่าง (ซึ่งจะลดลงสำหรับมีขนาดใหญ่, จำนวนคะแนนในช่วงเวลา) คุณคาดหวังว่าช่องว่างเหล่านั้นจะถูกแจกแจงชี้แจง$n$

ตอนนี้ในรหัสของคุณคุณกำลังหารช่วงหน่วยด้วยการใส่ชุดแล้วหาช่องว่างในสถิติการสั่งซื้อต่อเนื่อง ที่นี่ช่วงเวลาของหน่วยไม่ใช่เวลาหรือพื้นที่ แต่แสดงถึงมิติของเงิน (ลองนึกภาพเงินที่ 50,000 ล้านเซ็นต์ที่วางไว้ตั้งแต่ต้นจนจบและเรียกระยะทางที่ครอบคลุมช่วงหน่วยนั้น ๆ ยกเว้นที่นี่เรามีเศษเสี้ยวของหนึ่งเซ็นต์) เราวางเครื่องหมายและแบ่งช่วงเป็น "การแบ่งปัน" เนื่องจากการเชื่อมต่อระหว่างกระบวนการปัวซงและจุดเครื่องแบบในช่วงเวลาหนึ่งช่องว่างในสถิติการเรียงลำดับของเครื่องแบบจะมีแนวโน้มที่จะดูทวีคูณตราบใดที่ไม่เล็กเกินไป$n$$n+1$$n$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งช่องว่างใด ๆ ที่เริ่มต้นในช่วงเวลาที่วางไว้เหนือกระบวนการปัวซงมีโอกาสที่จะ "ตรวจสอบ" (มีประสิทธิภาพตัดให้สั้นกว่าที่ควรจะเป็น) โดยการวิ่งเข้าสู่จุดสิ้นสุดของช่วงเวลา

$\hspace{1cm}$

ช่องว่างที่ยาวกว่ามีแนวโน้มที่จะทำเช่นนั้นมากกว่าช่องว่างที่สั้นกว่าและช่องว่างที่มากขึ้นในช่วงเวลาหมายความว่าความยาวของช่องว่างเฉลี่ยต้องลดลงนั่นคือช่องว่างสั้น ๆ แนวโน้มนี้ที่จะ 'ถูกตัดออก' จะมีผลต่อการกระจายของช่องว่างที่ยาวนานกว่าสั้นกว่า (และไม่มีโอกาสที่ช่องว่างใด ๆ ที่ จำกัด ในช่วงเวลานั้นจะเกินความยาวของช่วงเวลา - ดังนั้นการกระจายขนาดช่องว่างควรลดลงอย่างราบรื่น เป็นศูนย์ที่ขนาดของช่วงเวลาทั้งหมด)

ในแผนภาพช่วงเวลาที่ยาวที่สุดของปลายถูกตัดให้สั้นลงและช่วงเวลาที่สั้นกว่าที่จุดเริ่มต้นก็จะสั้นลงเช่นกัน ผลกระทบเหล่านี้ทำให้เราห่างจากการยกกำลังแบบทวีคูณ

(ในความเป็นจริงการกระจายตัวของช่องว่างระหว่างสถิติการสั่งซื้อเครื่องแบบ Beta (1, n).)$n$

ดังนั้นเราควรเห็นการกระจายตัวที่ดูเอ็กซ์โพเนนเชียลในค่าเล็ก ๆ แล้วก็เอ็กซ์โพเนนเชียลน้อยกว่าค่าที่มากขึ้นเนื่องจากความหนาแน่นของค่าที่มากที่สุดจะย่อตัวเร็วขึ้น$n$

นี่คือการจำลองการกระจายตัวของช่องว่างสำหรับ n = 2:

ไม่ได้อธิบายอย่างมาก

แต่สำหรับ n = 20 มันเริ่มที่จะดูใกล้ ๆ ในความเป็นจริงเป็นเติบโตขนาดใหญ่ก็จะมีการประมาณกันโดยชี้แจงที่มีค่าเฉลี่ย1}$n$$\frac{1}{n+1}$

หากนั่นคือเลขชี้กำลังด้วยค่าเฉลี่ย 1/21 แล้วจะเหมือนกัน ... แต่เราเห็นได้ว่ามันไม่ใช่:$\exp(-21x)$

ความไม่สม่ำเสมอของค่าต่ำนั้นสอดคล้องกับค่ามากของช่องว่าง - ซึ่งเราคาดหวังจากการอภิปรายข้างต้นเนื่องจากผลของการ "ตัด" กระบวนการปัวซงถึงช่วง จำกัด หมายความว่าเราไม่เห็น ช่องว่างที่ใหญ่ที่สุด แต่เมื่อคุณใช้ค่ามากขึ้นเรื่อย ๆ มันจะพุ่งเข้าหาหางและผลลัพธ์ก็จะเริ่มมีลักษณะใกล้เคียงกันมากขึ้น ที่จอแสดงผลที่เทียบเท่าจะยากที่จะแยกความแตกต่างจากเครื่องแบบ - ช่องว่าง (คิดเป็นสัดส่วนของเงิน) ควรจะใกล้เคียงกับการแจกแจงแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลยกเว้นค่าที่ไม่น่าเป็นไปได้และมีค่ามากที่สุด$n=10000$

ลองสมมุติว่าเงินนั้นหารด้วยอนันต์เพื่อเราสามารถจัดการกับจำนวนจริงแทนที่จะเป็นจำนวนเต็ม

จากนั้นการกระจายตัวแบบสม่ำเสมอของแบ่งพาร์ติชันทั่วบุคคลจะให้ความหนาแน่นของส่วนบุคคลสำหรับแต่ละสำหรับและความน่าจะเป็นสะสมสำหรับแต่ละบุคคลของ$t=500000000$$n=10000$

$$p(x)=\frac{n-1}{t}\left(1-\frac{x}{t}\right)^{n-2}$$ $0 \le x \le t$ $$P(X \le x)=1 - \left(1-\frac{x}{t}\right)^{n-1}.$$

หากคุณต้องการใช้สิ่งนี้ให้ใช้การแจกแจงร่อแร่เพื่อจัดสรรจำนวนสุ่มให้กับบุคคลใด ๆ จากนั้นลดถึงและเป็นและทำซ้ำ โปรดทราบว่าเมื่อสิ่งนี้จะทำให้การกระจายส่วนบุคคลที่สม่ำเสมอในจำนวนที่เหลืออยู่เท่าที่ทุกคนคาดหวัง เมื่อคุณให้เงินที่เหลือทั้งหมดให้กับคนที่เหลืออยู่คนเดียว$X$$t$$t-X$$n$$n-1$$n=2$$n=1$

การแสดงออกเหล่านี้เป็นพหุนามมากกว่าชี้แจง แต่สำหรับขนาดใหญ่คุณอาจจะพบว่ามันยากที่จะแยกแยะผลกระทบจากการกระจายชี้แจงกับพารามิเตอร์ใกล้กับ{t} การกระจายเป็น asymptotically ชี้แจงเพราะเป็น\ $n$$\frac{n}{t}$$\left(1-\frac{y}{m}\right)^{m} \to \exp(-y)$$m \to \infty$

ในการพูดว่า "สมมติว่าคุณแบ่งรายได้ 500 ล้านคนจาก 10,000 คน" นั้นมีลักษณะเฉพาะที่ไม่เพียงพอที่จะตอบคำถาม มีกระบวนการสุ่มที่แตกต่างกันมากมายที่สามารถใช้ในการจัดสรรเงินจำนวนคงที่ให้กับคนจำนวนคงที่และแต่ละคนจะมีลักษณะของตัวเองสำหรับการกระจายผล นี่คือกระบวนการกำเนิดสามอย่างที่ฉันสามารถนึกได้และการแจกแจงความมั่งคั่งที่แต่ละคนสร้างขึ้น

library(MASS)

w <- 500000000 #wealth
p <- 10000 #people

วิธีที่ 1 โพสต์โดย OP:

เลือกหมายเลข 'p' จาก [0, w) อย่างสม่ำเสมอโดยการสุ่ม เรียงลำดับเหล่านี้ ผนวก '0' ที่ด้านหน้า แจกจำนวนเงินดอลล่าร์ที่แสดงโดยความแตกต่างระหว่างองค์ประกอบต่อเนื่องในรายการนี้

d <- diff(c(0,sort(runif(p-1,max=w)),w)) #wealth-distribution
h <- hist(d, col="red", main="Exponential decline", freq = FALSE, breaks = 45,
     xlim = c(0, quantile(d, 0.99)))
fit <- fitdistr(d,"exponential")
curve(dexp(x, rate = fit$estimate), col = "black", type="p", 
      pch=16, add = TRUE)

วิธีที่ 2:

เลือกหมายเลข 'p' จาก [0, w) อย่างสม่ำเสมอโดยการสุ่ม พิจารณา 'น้ำหนัก' เหล่านี้ดังนั้น 'w' จึงไม่สำคัญในขั้นนี้ ทำให้น้ำหนักปกติ แจกจำนวนเงินดอลล่าร์ที่แสดงด้วยเศษส่วนของ 'w' ที่สอดคล้องกับน้ำหนักแต่ละอัน

d <- runif(p,max=w) #weigh-distribution
d <- d/sum(d)*w #wealth-distribution
h <- hist(d, col="red", main="pretty uniform", freq = FALSE, breaks = 45, 
          xlim = c(0, quantile(d, 0.99)))

วิธีที่ 3:

เริ่มต้นด้วย 'p' 0s w ครั้งเพิ่ม 1 เข้ากับหนึ่งในนั้นเลือกอย่างสม่ำเสมอ

d <- rep(0, p)
for( i in 1:5000000){ ## for-loops in R are terrible, but this gives the idea.
    k <- floor(runif(1, max=p)) + 1    
    d[k] = (d[k] + 1)
}
h <- hist(d, col="red", main="kinda normalish?", freq = FALSE, breaks = 45,
          xlim = c(0, quantile(d, 0.99)))

ให้ฉันเพิ่มบางอย่างเกี่ยวกับภาคผนวกของคุณ

ในกรณีอย่างต่อเนื่องตามที่ Glen_b และ Henry กำหนดให้ PDF ที่แน่นอนสำหรับจำนวนเงินที่แต่ละคนได้รับคือ start โดยที่คือจำนวนคนและคือจำนวนเงินทั้งหมด

$$\begin{equation} p(x) = \frac{N-1}{X}\left(1-\frac{x}{X}\right)^{N-2}, \end{equation}$$ $N$$X$

ในกรณีที่ไม่ต่อเนื่องสมมติว่ามีเหรียญจะแจกจ่ายความน่าจะเป็นสำหรับบุคคลใดบุคคลหนึ่งที่จะได้รับเหรียญคือ เมื่อมีสองกรณีที่เห็นด้วยกัน สำหรับมีขนาดใหญ่เพียงพอและตราบใดที่เราอยู่ห่างจากหางพวกมันดูเหมือนการแจกแจงแบบเลขชี้กำลัง$M$$m$ M»N

$$\begin{equation} p(m) = \frac{N-1}{M+1}\prod_{j=0}^{N-3}\left(1-\frac{m}{M-j}\right)^{N-2}. \end{equation}$$ $M\gg N$$N$

ในทั้งสองกรณีขณะที่เราสุ่มตัวอย่างครั้งจากการแจกแจงความน่าจะเป็นที่แท้จริงนี้จะมีข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับขนาดตัวอย่างที่แน่นอน$N$

อย่างไรก็ตามการทำการวิเคราะห์ข้อผิดพลาดนั้นไม่ตรงไปตรงมาเพราะตัวอย่างที่แตกต่างกันในกรณีนี้ไม่เป็นอิสระ พวกเขาจะต้องรวมยอดรวมและจำนวนคนแรกที่ได้รับมีผลต่อการกระจายความน่าจะเป็นสำหรับคนที่สองเป็นต้น

คำตอบก่อนหน้าของฉันไม่ได้รับจากปัญหานี้ แต่ฉันคิดว่ามันจะมีประโยชน์ที่จะเห็นว่ามันสามารถแก้ไขได้ในวิธีการนี้

การวิเคราะห์ทางทฤษฎีที่ดีทำได้โดยคำตอบที่ upvote อย่างไรก็ตามนี่คือมุมมองเชิงประจักษ์ที่เรียบง่ายของฉันว่าทำไมการแจกแจงแบบเลขชี้กำลัง

เมื่อคุณกระจายเงินแบบสุ่มลองพิจารณาว่าคุณทำมันทีละตัว ให้ S เป็นผลรวมดั้งเดิม

สำหรับผู้ชายคนแรกคุณต้องเลือกจำนวนสุ่มระหว่าง 0 ถึง S ดังนั้นโดยเฉลี่ยคุณจะเลือก S / 2 และยังคงอยู่กับ S / 2

สำหรับผู้ชายคนที่สองคุณจะเลือกสุ่มระหว่าง 0 และโดยเฉลี่ยแล้ว S / 2 ดังนั้นโดยเฉลี่ยคุณจะเลือก S / 4 และอยู่กับ S / 4

ดังนั้นคุณจะต้องแบ่งผลรวมออกเป็นครึ่งทุกครั้ง (การพูดเชิงสถิติ)

แม้ว่าในตัวอย่างของชีวิตจริงคุณจะไม่ได้รับค่าที่ลดลงครึ่งหนึ่งอย่างต่อเนื่อง แต่นี่ก็แสดงให้เห็นว่าเหตุใดจึงควรคาดหวังว่าการแจกแจงจะแจกแจงแบบเลขชี้กำลัง