การกระจายแบบไหนที่ส่งผลให้เพิ่มการแจกแจงพาเรโตสองครั้ง

ฉันสงสัยว่าผลการจัดจำหน่ายในสิ่งที่เพิ่มสอง (หรือมากกว่า) ชนิดหนึ่งในการกระจาย Pareto ของแบบฟอร์มalpha} จากการทดลองดูเหมือนว่ากฎหมายพลังงานสองโหมดซึ่งแสดงถึงความแตกต่างของอัลฟา $x^{-\alpha}$

distributions power-law pareto-distribution

— AMG
แหล่งที่มา

คำพูดสุดท้ายทำให้ดูเหมือนว่าคุณคิดว่าอัลฟ่าแตกต่างกันในการแจกแจง คุณกำลังจะแก้ไขโดเมน (หรือที่เรียกว่า "เครื่องชั่ง") ของการแจกแจงหรือไม่? การคำนวณทางคณิตศาสตร์อย่างรวดเร็วบ่งชี้ว่า PDF รวมเป็นหนึ่งในเงื่อนไขของมันผลิตภัณฑ์ของและความแตกต่างของการกระจายเบต้าในและการกระจายเบต้าใน x มันเป็นรูปแบบเดียวสำหรับ1 ผลลัพธ์นี้จะไม่มีขนาดใหญ่กว่าและดังนั้นจึงมีข้อ จำกัด เกี่ยวกับค่าที่เป็นไปได้ของพารามิเตอร์ที่คุณสนใจหรือไม่

x^{- α - β}

$x^{-\alpha-\beta}$

(- α, 1 - β)

$(-\alpha,1-\beta)$

1 - 1 / x

$1-1/x$

1 / x

$1/x$

0 < α < β < 1

$0\lt\alpha\lt\beta\lt 1$

α

$\alpha$

β

$\beta$

— whuber

บทความต่อไปนี้เสนอการขยายตัวของ CDF และวิธีการประมาณ: docs.isfa.fr/labo/2012.16.pdf

— RUser4512

แก้ไขให้อ่านง่ายขึ้นอีกเล็กน้อย การแจกแจงเพิ่มโดยการแปลง การกระจาย Pareto เป็นชิ้นส่วนที่กำหนดไว้ที่ชาญฉลาดเป็นสำหรับและ 0 สำหรับ<k การรวมสองฟังก์ชัน Paretoและคือ: $k^a x^{-a-1}$ $x\geq k$ $x<k$ $k^a x^{-a-1}$ $j^b x^{-b-1}$

a (- 1)^{- b} b k^{a} j^{b} Γ (a + b + 1) \times ({(\frac{1}{t - j})}^{a + b + 1}_{2} {\tilde{F}}_{1} (b + 1, a + b + 1; a + b + 2; \frac{t}{t - j}) - {(\frac{1}{k})}^{a + b + 1}_{2} {\tilde{F}}_{1} (b + 1, a + b + 1; a + b + 2; \frac{t}{k})),

$a (-1)^{-b} b k^a j^b \Gamma (a+b+1) \times \\ \left(\left(\frac{1}{t-j}\right)^{a+b+1} \, _2\tilde{F}_1\left(b+1,a+b+1;a+b+2;\frac{t}{t-j}\right)- \\ \left(\frac{1}{k}\right)^{a+b+1} \, _2\tilde{F}_1\left(b+1,a+b+1;a+b+2;\frac{t}{k}\right)\right),$

โดยที่และ 0 สำหรับซึ่งแม้ว่าเขตข้อมูลที่ซับซ้อนภายในคำนั้นมีค่าจริงนอก คือ Hypergeometric2F1 ย่อที่นี่ในรหัส Mathematica ไม่ใช่ตัวเลือกทั้งหมดสำหรับพารามิเตอร์ที่จะให้ฟังก์ชันความหนาแน่นค่าบวก นี่คือตัวอย่างของเมื่อพวกเขาเป็นบวก สำหรับการแจกแจงพาเรโต้ทั้งสองให้ a = 2, b = 3, j = 0.1 และ k = 0.3 และพล็อตของพวกเขาเป็นสีน้ำเงินสำหรับฟังก์ชัน {k, a} และสีส้มสำหรับฟังก์ชัน {j, b} การบิดของพวกมันคือกราฟ ซึ่งเมื่อหางถูกตรวจสอบดูเหมือน ว่าสีเขียวคือการบิด $j+k<x$ $x\leq j+k$ $\, _2\tilde{F}_1(w,x;y;z)$

จากคำถามของคุณคุณอาจถามเกี่ยวกับการเพิ่มการแจกแจงแบบพาเรโต้สองครั้ง ในกรณีนั้นพื้นที่ใต้เส้นโค้งเป็นสองดังนั้นผลรวมไม่ใช่ฟังก์ชันความหนาแน่นซึ่งจำเป็นต้องมีพื้นที่ใต้เส้นโค้งของหนึ่ง อย่างไรก็ตามถ้านั่นคือคำถามสำหรับช่วยให้ง่ายขึ้นซึ่งมีขีด จำกัด ของเท่านั้นหากและเป็น 0 หรือไม่สิ้นสุดในกรณีอื่นทั้งหมด กล่าวอีกนัยหนึ่งผลบวกเลขคณิตของการแจกแจงแบบพาเรโต้สองอันนั้นมีก้อยที่มีความแตกต่างระหว่างและเมื่อ $\frac{a k^a t^{-a-1}+b j^b t^{-b-1}}{t^{a-b-1}}$ $b>a>0$ $t^{-2 a} \left(b t^a j^b+a k^a t^b\right)$ $a k^a$ $b=2a$ $a$ $b$ $b=2a$ และผลรวมเลขคณิตไม่ได้เป็นฟังก์ชั่นความหนาแน่นและผลรวมจะต้องถูกปรับขนาดสำหรับสองความน่าจะเป็นเพื่อให้เป็นฟังก์ชันความหนาแน่น แม้ว่าการเพิ่มทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันความหนาแน่นเพื่อกำหนดฟังก์ชั่นความหนาแน่นอื่นจะเกิดขึ้นมันเป็นเรื่องผิดปกติ ตัวอย่างหนึ่งของสิ่งนี้เกิดขึ้นในเภสัชจลนศาสตร์ซึ่งผลรวมของการแจกแจงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลสองรายการหรือมากกว่านั้นใช้เพื่อกำหนดฟังก์ชันความหนาแน่น เพื่อทำให้เรื่องสั้นสั้นนั่นไม่ใช่สิ่งที่ฉันอยากจะแนะนำ $1=p+q$

หวังว่านี่จะตอบคำถามของคุณ หากไม่เป็นเช่นนั้นโปรดคัดค้านคำตอบของฉันหรือเพิ่มข้อมูลเพิ่มเติม

— คาร์ล
แหล่งที่มา

@ gung ขอบคุณสำหรับการทำความสะอาด มีมารยาทในการทำเช่นนี้สำหรับฉันไหม? มีใครได้รับชื่อเสียงที่ได้รับการจัดสรรเพื่อทำความสะอาด

— คาร์ล

ไม่เป็นไร @Carl หากชื่อเสียงของคุณคือ <2k (?) เมื่อคุณแนะนำการแก้ไข & ได้รับการอนุมัติคุณจะได้รับ +2 หลังจากนั้นคุณไม่ได้แก้ไขอะไรเลย ฉันไม่ต้องการตัวแทนจึงไม่มีปัญหา คำตอบของคุณที่นี่ดี (+1) ฉันเพิ่งแก้ไขเพื่อให้อ่านง่ายขึ้นเล็กน้อย

— gung - Reinstate Monica