ชี้แจงเกี่ยวกับการตีความช่วงความเชื่อมั่นหรือไม่

ความเข้าใจปัจจุบันของฉันเกี่ยวกับแนวคิด "ช่วงความเชื่อมั่นที่มีระดับความเชื่อมั่น " คือถ้าเราพยายามคำนวณช่วงความเชื่อมั่นหลายครั้ง (แต่ละครั้งที่มีตัวอย่างสด) มันจะมีพารามิเตอร์ที่ถูกต้องของ เวลา.1 - $1 - \alpha$$1 - \alpha$

แม้ว่าฉันจะรู้ว่านี่ไม่เหมือนกับ "ความน่าจะเป็นที่พารามิเตอร์จริงอยู่ในช่วงเวลานี้" แต่มีบางอย่างที่ฉันต้องการชี้แจง

[การอัพเดทที่สำคัญ]

ก่อนที่เราจะคำนวณช่วงความมั่นใจ 95% มีความน่าจะเป็น 95% ที่ช่วงเวลาที่เราคำนวณจะครอบคลุมพารามิเตอร์จริง หลังจากที่เราคำนวณช่วงความเชื่อมั่นและได้รับช่วงเวลาเฉพาะเราจะไม่สามารถพูดสิ่งนี้ได้อีกต่อไป เราไม่สามารถสร้างข้อโต้แย้งที่ไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนักซึ่งเรามั่นใจได้ว่า 95% ของพารามิเตอร์ที่แท้จริงจะอยู่ใน ; เพราะถ้าเราทำได้มันจะขัดแย้งกับตัวอย่างโต้แย้งเช่นนี้: อะไรคือช่วงความมั่นใจ[ a , b $[a,b]$$[a,b]$

ฉันไม่ต้องการอภิปรายเรื่องปรัชญาของความน่าจะเป็น แต่ฉันกำลังมองหาคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำว่าทำไมและทำไมถึงเห็นช่วงเวลาเฉพาะการเปลี่ยนแปลง (หรือไม่เปลี่ยน) ความน่าจะเป็น 95% ที่เรามีก่อนที่จะเห็นช่วงเวลานั้น หากคุณยืนยันว่า "หลังจากที่ได้เห็นช่วงเวลาที่ความคิดของความน่าจะไม่ทำให้รู้สึก" จากนั้นปรับให้ทำงานในการตีความของความน่าจะเป็นในการที่มันไม่เข้าท่า$[a,b]$

อย่างแม่นยำมากขึ้น:

สมมติว่าเราตั้งโปรแกรมคอมพิวเตอร์เพื่อคำนวณช่วงความมั่นใจ 95% คอมพิวเตอร์ทำการบดตัวเลขคำนวณช่วงเวลาและปฏิเสธที่จะแสดงช่วงเวลาให้ฉันจนกว่าฉันจะป้อนรหัสผ่าน ก่อนที่ฉันจะป้อนรหัสผ่านและดูช่วงเวลา (แต่หลังจากที่คอมพิวเตอร์คำนวณไปแล้ว) ความน่าจะเป็นที่ช่วงเวลานั้นจะมีพารามิเตอร์ที่แท้จริงคืออะไร มันเป็น 95% และส่วนนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับการถกเถียง : นี่เป็นการตีความความน่าจะเป็นที่ฉันสนใจสำหรับคำถามนี้ (ฉันรู้ว่ามีประเด็นทางปรัชญาที่สำคัญที่ฉันระงับและนี่คือเจตนา)

แต่ทันทีที่ฉันพิมพ์รหัสผ่านและทำให้คอมพิวเตอร์แสดงช่วงเวลาที่คำนวณความน่าจะเป็น (ที่ช่วงเวลานั้นมีพารามิเตอร์จริง) อาจเปลี่ยนได้ การอ้างสิทธิ์ใด ๆ ที่ความน่าจะเป็นนี้ไม่เคยเปลี่ยนแปลงจะขัดแย้งกับตัวอย่างด้านบน ในตัวอย่างตัวอย่างนี้ความน่าจะเป็นอาจเปลี่ยนจาก 50% เป็น 100% แต่ ...

• มีตัวอย่างใดบ้างที่ความน่าจะเป็นเปลี่ยนไปเป็นอย่างอื่นที่ไม่ใช่ 100% หรือ 0% (แก้ไข: และถ้าเป็นเช่นนั้นจะมีอะไรบ้าง)

• มีตัวอย่างใดบ้างที่ความน่าจะเป็นไม่เปลี่ยนแปลงหลังจากเห็นช่วงเวลาเฉพาะ (เช่นความน่าจะเป็นที่พารามิเตอร์จริงอยู่ในยังคง 95%) หรือไม่[ a , b $[a,b]$$[a,b]$

• ความน่าจะเป็นจะเปลี่ยนแปลงโดยทั่วไปอย่างไรและหลังจากที่เห็นคอมพิวเตอร์พ่นอย่างไร$[a,b]$

[แก้ไข]

ขอบคุณสำหรับคำตอบที่ดีและการอภิปรายที่เป็นประโยชน์!

ฉันคิดว่าปัญหาพื้นฐานคือสถิติบ่อยสามารถกำหนดความน่าจะเป็นให้กับสิ่งที่สามารถมีความถี่ในระยะยาว ไม่ว่าค่าที่แท้จริงของพารามิเตอร์จะอยู่ในช่วงเวลาใดช่วงเวลาหนึ่งหรือไม่ไม่มีความถี่ในการทำงานนานเนื่องจากเราสามารถทำการทดลองได้เพียงครั้งเดียวดังนั้นคุณจึงไม่สามารถกำหนดความน่าจะเป็นประจำให้กับมันได้ ปัญหาเกิดขึ้นจากการนิยามความน่าจะเป็น หากคุณเปลี่ยนคำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบเบย์แล้วปัญหาจะหายไปทันทีเนื่องจากคุณไม่ได้เชื่อมโยงกับการอภิปรายเรื่องความถี่ในระยะยาวอีกต่อไป

ดูคำตอบของคำถามที่เกี่ยวข้องที่นี่ :

" นักบวชประจำคือคนที่เชื่อว่า probabilies เป็นตัวแทนของความถี่ในระยะยาวซึ่งเหตุการณ์เกิดขึ้นถ้าจำเป็นเขาจะประดิษฐ์ประชากรที่สมมติขึ้นซึ่งสถานการณ์เฉพาะของคุณอาจได้รับการพิจารณาเป็นตัวอย่างแบบสุ่มเพื่อให้เขาสามารถพูดคุยเกี่ยวกับความถี่ในระยะยาวได้ คุณถามคำถามเขาเกี่ยวกับสถานการณ์เฉพาะเขาจะไม่ให้คำตอบโดยตรง แต่ให้ออกแถลงการณ์เกี่ยวกับประชากร (อาจเป็นจินตภาพ) แทน "

ในกรณีของช่วงความมั่นใจคำถามที่เราต้องการถามปกติ (ยกเว้นกรณีที่เรามีปัญหาในการควบคุมคุณภาพ) คือ "ให้ข้อมูลตัวอย่างนี้คืนค่าช่วงเวลาที่เล็กที่สุดที่มีค่าจริงของพารามิเตอร์ที่มีความน่าจะเป็น X" อย่างไรก็ตามผู้ทำการทดสอบไม่สามารถทำได้เนื่องจากการทดลองนั้นทำเพียงครั้งเดียวดังนั้นจึงไม่มีความถี่ที่สามารถใช้ในการกำหนดความน่าจะเป็นได้ ดังนั้นผู้ที่ใช้บ่อยจะต้องคิดค้นประชากรของการทดลอง (ซึ่งคุณไม่ได้ทำ) ซึ่งการทดลองที่คุณทำนั้นถือเป็นตัวอย่างแบบสุ่ม จากนั้นผู้ให้คำตอบจะให้คำตอบโดยอ้อมเกี่ยวกับการทดลองที่สมมติขึ้นแทนที่จะตอบคำถามโดยตรงที่คุณต้องการถามเกี่ยวกับการทดลองหนึ่ง ๆ

โดยพื้นฐานแล้วมันเป็นปัญหาเกี่ยวกับภาษาคำจำกัดความที่บ่อยของประชากรไม่อนุญาตให้มีการอภิปรายถึงความน่าจะเป็นของมูลค่าที่แท้จริงของพารามิเตอร์ที่อยู่ในช่วงเวลาหนึ่ง นั่นไม่ได้หมายความว่าสถิติผู้ใช้บ่อยนั้นไม่ดีหรือไม่มีประโยชน์ แต่เป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบข้อ จำกัด

เกี่ยวกับการอัพเดทครั้งใหญ่

ฉันไม่แน่ใจว่าเราสามารถพูดได้ว่า "ก่อนที่เราจะคำนวณช่วงความมั่นใจ 95% มีความน่าจะเป็น 95% ที่ช่วงเวลาที่เราคำนวณจะครอบคลุมพารามิเตอร์จริง" ภายในกรอบบ่อยๆ มีการอนุมานโดยนัยที่นี่ว่าความถี่ระยะยาวซึ่งค่าที่แท้จริงของพารามิเตอร์อยู่ในช่วงความเชื่อมั่นที่สร้างโดยวิธีการเฉพาะบางอย่างก็คือความน่าจะเป็นที่ค่าที่แท้จริงของพารามิเตอร์จะอยู่ในช่วงความมั่นใจสำหรับตัวอย่างเฉพาะ ของข้อมูลที่เรากำลังจะใช้ นี่เป็นการอนุมานที่สมเหตุสมผลอย่างสมบูรณ์ แต่มันเป็นการอนุมานแบบเบย์ไม่ใช่ความบ่อยครั้งเนื่องจากความน่าจะเป็นที่ค่าที่แท้จริงของพารามิเตอร์อยู่ในช่วงความเชื่อมั่นที่เราสร้างขึ้นสำหรับตัวอย่างเฉพาะของข้อมูลที่ไม่มี freqency ในระยะยาว เรามีตัวอย่างข้อมูลเพียงตัวอย่างเดียวเท่านั้น

อย่างไรก็ตามเราสามารถ "ทำการโต้แย้งที่ไม่เกิดขึ้นบ่อยครั้งซึ่งเรามั่นใจว่า 95% ของพารามิเตอร์ที่แท้จริงจะอยู่ใน [a, b]" นั่นคือสิ่งที่ช่วงเวลาที่เชื่อถือได้ของ Bayesian และสำหรับปัญหามากมายที่ช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือของ Bayesian ตรงกับช่วงความมั่นใจเป็นประจำ

"ฉันไม่ต้องการที่จะทำให้การอภิปรายเกี่ยวกับปรัชญาของความน่าจะเป็น" นี้น่าเศร้าที่หลีกเลี่ยงไม่ได้เหตุผลที่คุณไม่สามารถกำหนดความน่าจะเป็นประจำว่าค่าที่แท้จริงของสถิติอยู่ในช่วงความมั่นใจหรือไม่นั้นเป็นผลโดยตรง ของปรัชญาความน่าจะเป็นที่เกิดขึ้นบ่อยครั้ง ผู้ใช้บ่อยสามารถกำหนดความน่าจะเป็นให้กับสิ่งต่าง ๆ ที่มีความถี่ในระยะยาวได้ซึ่งเป็นวิธีที่ผู้ใช้บ่อยกำหนดความน่าจะเป็นในปรัชญาของพวกเขา นั่นไม่ได้ทำให้ปรัชญาบ่อยนักผิด แต่สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจขอบเขตที่กำหนดโดยคำจำกัดความของความน่าจะเป็น

"ก่อนที่ฉันจะป้อนรหัสผ่านและดูช่วงเวลา (แต่หลังจากที่คอมพิวเตอร์ได้คำนวณไปแล้ว) ความน่าจะเป็นที่ช่วงเวลานั้นจะมีพารามิเตอร์ที่แท้จริงคืออะไร 95% และส่วนนี้ไม่ได้สำหรับการอภิปราย:" นี่ ไม่ถูกต้องหรืออย่างน้อยคุณก็ออกจากกรอบการทำงานของสถิติบ่อยครั้งและได้ทำการอนุมานแบบเบย์ซึ่งเกี่ยวข้องกับระดับความน่าเชื่อถือในความจริงของข้อความแทนที่จะเป็นความถี่ในระยะยาว อย่างไรก็ตามอย่างที่บอกไปก่อนหน้านี้มันเป็นการอนุมานที่สมเหตุสมผลและเป็นธรรมชาติอย่างสมบูรณ์

ไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงก่อนหรือหลังการป้อนรหัสผ่านเนื่องจากเหตุการณ์ niether สามารถกำหนดความน่าจะเป็นได้บ่อยครั้ง สถิติของผู้ใช้บ่อยสามารถตอบโต้ได้ง่ายเนื่องจากเรามักต้องการถามคำถามเกี่ยวกับความน่าเชื่อถือของข้อความที่เกี่ยวข้องกับเหตุการณ์บางอย่าง แต่สิ่งนี้อยู่นอกความหมายของสถิติที่ใช้บ่อยและนี่คือจุดเริ่มต้นของการตีความขั้นตอนที่ใช้บ่อย

การอัปเดตที่สำคัญคำตอบใหม่ที่สำคัญ ให้ฉันพยายามระบุจุดนี้ให้ชัดเจนเพราะปัญหาอยู่ตรงไหน:

"ถ้าคุณให้เหตุผลว่า" หลังจากที่ได้เห็นช่วงเวลาความคิดของความน่าจะเป็นไม่มีเหตุผลอีกต่อไป "ถ้าอย่างนั้นก็ให้เราทำงานในการตีความความน่าจะเป็นที่มันสมเหตุสมผล"

กฎของความน่าจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่แบบจำลองของคุณสำหรับจักรวาลนั้น คุณยินดีที่จะประเมินความเชื่อก่อนหน้าของคุณเกี่ยวกับพารามิเตอร์โดยใช้การแจกแจงความน่าจะเป็นหรือไม่? การอัปเดตการกระจายความน่าจะเป็นนั้นหลังจากเห็นข้อมูลเป็นสิ่งที่สมเหตุสมผลหรือไม่ หากคุณคิดว่าเป็นอย่างนั้นคุณสามารถทำให้งบเช่นx) การกระจายก่อนหน้าของฉันสามารถแสดงถึงความไม่แน่นอนของฉันเกี่ยวกับสถานะที่แท้จริงของธรรมชาติไม่ใช่แค่การสุ่มตามที่เข้าใจกันโดยทั่วไป - นั่นคือถ้าฉันกำหนดการกระจายก่อนหน้านี้ให้กับจำนวนลูกบอลสีแดงในโกศซึ่งไม่ได้หมายความว่า ของลูกบอลสีแดงสุ่ม มันคงที่ แต่ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับเรื่องนี้$P(\theta\in [L(X), U(X)]| X=x)$

หลายคนรวมทั้งผมได้กล่าวนี้ แต่ถ้าคุณไม่เต็มใจที่จะเรียกตัวแปรสุ่มแล้วงบไม่ได้ มีความหมาย ถ้าฉันเป็นนักบวชฉันกำลังรักษาเป็นปริมาณคงที่และฉันไม่สามารถบอกความน่าจะเป็นได้ ทำไม? เพราะมันได้รับการแก้ไขและการตีความความน่าจะเป็นของฉันอยู่ในแง่ของความถี่ในระยะยาว จำนวนลูกบอลสีแดงในโกศไม่เคยเปลี่ยนแปลง คือสิ่งที่คือ ถ้าฉันดึงลูกบอลออกมาสองสามลูกฉันก็จะมีตัวอย่างแบบสุ่ม ฉันสามารถถามว่าจะเกิดอะไรขึ้นถ้าฉันสุ่มตัวอย่างแบบสุ่ม - กล่าวคือฉันสามารถพูดเกี่ยวกับP ( θ ∈ [ L ( X ) , U ( X ) ] | X = x ) θ θ θ P ( θ ∈ [ L ( X ) , U ( X ) ] $\theta$$P(\theta\in [L(X), U(X)]| X=x)$$\theta$$\theta$$\theta$$P(\theta\in [L(X), U(X)])$ เนื่องจากช่วงเวลาขึ้นอยู่กับตัวอย่างซึ่งเป็นแบบสุ่ม (รอ!)

แต่คุณไม่ต้องการที่ คุณต้องการ - ความน่าจะเป็นที่ช่วงเวลานี้ที่ฉันสร้างขึ้นด้วยตัวอย่างที่สังเกต (และตอนนี้คงที่) ของฉันมีพารามิเตอร์ อย่างไรก็ตามเมื่อคุณมีเงื่อนไขในจากนั้นสำหรับฉันบ่อยนักไม่มีอะไรเหลือสุ่มและคำสั่ง doesn ' ทำให้รู้สึกในทางที่มีความหมายใด ๆX = x P ( θ ∈ [ L ( X ) , U ( X ) ] | X = x $P(\theta\in [L(X), U(X)]| X=x)$$X=x$$P(\theta\in [L(X), U(X)]| X=x)$

หลักการเดียว (IMO) ในการสร้างข้อความเกี่ยวกับคือการหาปริมาณความไม่แน่นอนของเราเกี่ยวกับพารามิเตอร์ที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็น (ก่อน) อัปเดตการแจกจ่ายด้วยข้อมูลใหม่ผ่านทาง Bayes Theorem วิธีการอื่นที่ฉันได้เห็นก็คือการประมาณค่าที่ไม่น่าสนใจสำหรับ Bayes แน่นอนคุณไม่สามารถทำได้จากมุมมองของผู้ใช้บ่อย$P(\theta\in [L(X), U(X)]| X=x)$

ไม่ได้หมายความว่าคุณไม่สามารถประเมินขั้นตอนการดำเนินการแบบดั้งเดิมจากมุมมองแบบเบย์ (บ่อยครั้งที่ช่วงความเชื่อมั่นเป็นเพียงช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือภายใต้ชุดนักบวชเช่น) หรือการประเมินตัวประมาณค่าแบบเบส์ / ช่วงเวลาที่เชื่อถือได้ (ฉันคิดว่ามันสามารถ) มันไม่ได้หมายความว่าสถิติแบบคลาสสิก / บ่อยครั้งไม่มีประโยชน์เพราะมันไม่ใช่ มันคือสิ่งที่เป็นและเราไม่ควรพยายามทำให้มากขึ้น

คุณคิดว่ามันสมเหตุสมผลหรือไม่ที่จะให้การกระจายพารามิเตอร์ก่อนหน้านี้เป็นตัวแทนของความเชื่อของคุณเกี่ยวกับจักรวาล? ดูเหมือนว่าจากความคิดเห็นของคุณที่คุณทำ จากประสบการณ์ของฉันคนส่วนใหญ่จะเห็นด้วย (นั่นเป็นเรื่องตลกเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่ฉันทำในความคิดเห็นของฉันที่ @G คำตอบของ Jay Kerns) ถ้าเป็นเช่นนั้นกระบวนทัศน์แบบเบย์ยังมีตรรกะวิธีที่สอดคล้องกันที่จะทำให้งบที่เกี่ยวกับx) วิธีการที่ใช้บ่อยไม่ได้เป็นเช่นนั้น$P(\theta\in [L(X), U(X)]| X=x)$

ตกลงตอนนี้คุณกำลังพูด! ฉันโหวตให้ลบคำตอบก่อนหน้านี้เพราะไม่เหมาะสมกับคำถามที่อัปเดตที่สำคัญนี้

ในคำถามใหม่ที่ได้รับการอัปเดตด้วยคอมพิวเตอร์ที่คำนวณช่วงความเชื่อมั่น 95% ภายใต้การตีความบ่อยครั้งของออร์โธดอกซ์นี่คือคำตอบสำหรับคำถามของคุณ:

1. เลขที่
2. เลขที่
3. เมื่อสังเกตช่วงเวลามันจะไม่สุ่มอีกต่อไปและจะไม่เปลี่ยนแปลง (อาจเป็นช่วงเวลา ) แต่จะไม่เปลี่ยนแปลงเช่นกันและไม่เคยเปลี่ยน (อาจเป็น ) ความน่าจะเป็นเปลี่ยนจาก 95% เป็น 0% เพราะ 95% ของช่วงเวลาที่คอมพิวเตอร์คำนวณครอบคลุม 7 แต่ 100% ของช่วงเวลาไม่ครอบคลุม 7θ θ = 7 [ 1 , 3 $[1,3]$$\theta$$\theta = 7$$[1,3]$

(โดยวิธีการในโลกแห่งความจริงผู้ทดลองไม่เคยรู้ว่าซึ่งหมายความว่าผู้ทดลองไม่สามารถรู้ได้ว่าความน่าจะเป็นที่แท้จริงครอบคลุมถึงเป็นศูนย์หรืออย่างใดอย่างหนึ่ง (S) เขาเท่านั้น บอกว่ามันจะต้องเป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง) นั่นบวกกับผู้ทดลองสามารถบอกได้ว่า 95% ของช่วงเวลาของคอมพิวเตอร์ครอบคลุมแต่เรารู้แล้ว[ 1 , 3 ] θ $\theta = 7$$[1,3]$$\theta$$\theta$

จิตวิญญาณของคำถามของคุณช่วยให้เค้ากลับไปสังเกตการณ์ความรู้และวิธีการที่เกี่ยวข้องกับที่โกหก ที่ (น่าจะ) เป็นเหตุผลที่คุณได้พูดคุยเกี่ยวกับรหัสผ่านที่เกี่ยวกับคอมพิวเตอร์คำนวณช่วงเวลาของคุณโดยไม่เห็นว่ามันยังฯลฯ ฉันเคยเห็นในความคิดเห็นของคุณเพื่อตอบว่าดูเหมือนว่าไม่น่าพอใจ / ไม่ถูกต้องที่จะต้องกระทำเพื่อ 0 หรือ 1 หลังจากทั้งหมดทำไมเราไม่เชื่อว่ามันคือ 87% หรือหรือแม้แต่ 99% ?? ? แต่นั่นคือพลัง - และพร้อมกันที่ส้นเท้าของ Achilles - ของกรอบงานบ่อย ๆ : ความรู้ / ความเชื่อตามอัตวิสัยของผู้สังเกตการณ์นั้นไม่เกี่ยวข้อง สิ่งที่สำคัญคือความถี่สัมพัทธ์ในระยะยาว ไม่มีอะไรเพิ่มเติมไม่น้อยไปกว่านี้15 /$\theta$$15/16$

ในฐานะ BTW สุดท้าย: หากคุณเปลี่ยนการตีความความน่าจะเป็น (ซึ่งคุณตั้งใจจะเลือกที่จะไม่ทำกับคำถามนี้) ดังนั้นคำตอบใหม่คือ:

1. ใช่.
2. ใช่.
3. ความน่าจะเป็นเปลี่ยนแปลงได้เนื่องจากความน่าจะเป็น = ความรู้เชิงอัตวิสัยหรือระดับความเชื่อและความรู้ของผู้สังเกตการณ์เปลี่ยนไป เราเป็นตัวแทนของความรู้ที่มีการแจกแจงก่อนหน้า / หลังและเมื่อข้อมูลใหม่พร้อมใช้งาน morphs เดิมจะเข้าสู่ยุคหลัง (ผ่านกฎของเบย์)

(แต่สำหรับการเปิดเผยอย่างเต็มรูปแบบการตั้งค่าที่คุณอธิบายนั้นไม่ตรงกับการตีความเชิงอัตนัยเป็นอย่างดีตัวอย่างเช่นเรามักจะมีช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือ 95% ก่อนที่จะเปิดคอมพิวเตอร์แล้ว ช่วงหลังที่น่าเชื่อถือ 95% ของเราซึ่งโดยปกติแล้วจะน่าสนใจมากกว่าช่วงก่อน ๆ )

ฉันจะโยนสองเซ็นต์ของฉัน (อาจ redigesting บางคำตอบเดิม) สำหรับผู้ที่ใช้บ่อยช่วงความมั่นใจนั้นสำคัญมากคือตัวแปรสุ่มสองมิติ: หากคุณต้องการทำการทดสอบซ้ำอีกครั้งหนึ่งพันล้านครั้งช่วงความเชื่อมั่นที่คุณจะประเมิน (เช่น: คำนวณจากข้อมูลที่คุณพบใหม่ในแต่ละครั้ง) จะแตกต่างกันไปในแต่ละครั้ง . ดังนั้นสองขอบเขตของช่วงเวลาจึงเป็นตัวแปรสุ่ม

จากนั้น 95% CI หมายถึงไม่มีอะไรมากไปกว่าความเชื่อมั่น (จากสมมติฐานทั้งหมดของคุณที่นำไปสู่ ​​CI นี้ถูกต้อง) ว่าชุดตัวแปรสุ่มนี้จะมีค่าที่แท้จริง (นิพจน์ที่พบบ่อยมาก) ใน 95% ของคดี

คุณสามารถคำนวณช่วงความมั่นใจได้อย่างง่ายดายสำหรับค่าเฉลี่ย 100 เสมอจากการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน จากนั้นหากคุณวาด 10,000 ค่า 100 ค่าจากการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานและแต่ละครั้งคำนวณช่วงความมั่นใจสำหรับค่าเฉลี่ยคุณจะเห็นว่า 0 อยู่ในนั้นประมาณ 9500 ครั้ง

ความจริงที่ว่าคุณได้สร้างช่วงความเชื่อมั่นเพียงครั้งเดียว (จากข้อมูลจริงของคุณ) จะลดความน่าจะเป็นของค่าจริงที่อยู่ในช่วงเวลานั้นเป็น 0 หรือ 1 แต่มันไม่เปลี่ยนความน่าจะเป็นของช่วงความมั่นใจเป็น ตัวแปรสุ่มที่มีค่าจริง

ดังนั้นกำไร: ความน่าจะเป็นของช่วงเวลาความเชื่อมั่นใด ๆ (เช่นโดยเฉลี่ย) 95% ที่มีค่าจริง (95%) ไม่เปลี่ยนแปลงและความน่าจะเป็นของช่วงเวลาใดช่วงหนึ่ง (CI หรืออะไรก็ตาม) ที่มีค่าจริง (0 หรือ 1) ความน่าจะเป็นของช่วงเวลาที่คอมพิวเตอร์รู้ แต่คุณไม่ได้เป็น 0 หรือ 1 (เพราะมันเป็นช่วงเวลาเฉพาะ) แต่เนื่องจากคุณไม่รู้ ((และตามปกติแล้ว) ไม่สามารถคำนวณช่วงเวลาเดียวกันนี้ซ้ำได้ หลายต่อหลายครั้งอีกครั้งจากข้อมูลเดียวกัน) สิ่งที่คุณต้องทำคือความน่าจะเป็นของช่วงเวลาใด ๆ

เหตุผลที่ช่วงความเชื่อมั่นไม่ได้ระบุ "ความน่าจะเป็นที่พารามิเตอร์ที่แท้จริงอยู่ในช่วงเวลา" นั้นเป็นเพราะเมื่อระบุช่วงเวลาแล้วพารามิเตอร์จะอยู่ในนั้นหรือไม่ก็ได้ อย่างไรก็ตามสำหรับช่วงความมั่นใจ 95% คุณมีโอกาส 95% ในการสร้างช่วงความมั่นใจที่มีค่า นี่เป็นแนวคิดที่ค่อนข้างเข้าใจยากดังนั้นฉันจึงอาจไม่ชัดเจน ดูhttp://frank.itlab.us/datamodel/node39.htmlสำหรับการชี้แจงเพิ่มเติม

ฉันไม่คิดว่าผู้ถี่ถ้วนจะพูดว่ามีความน่าจะเป็นของค่าจริง (ประชากร) ของสถิติที่อยู่ในช่วงความมั่นใจสำหรับตัวอย่างเฉพาะ ไม่ว่าจะเป็นหรือไม่ แต่ไม่มีความถี่ในการรันนานสำหรับเหตุการณ์เฉพาะเพียงจำนวนประชากรของเหตุการณ์ที่คุณจะได้รับจากการทำงานซ้ำ ๆ ของกระบวนการทางสถิติ นี่คือเหตุผลที่เราต้องยึดติดกับข้อความเช่น "95% ของช่วงความเชื่อมั่นดังนั้นการสร้างจะมีค่าที่แท้จริงของสถิติ" แต่ไม่ใช่ "มีความน่าจะเป็น ap% ที่ค่าจริงอยู่ในช่วงความเชื่อมั่นที่คำนวณสำหรับเรื่องนี้โดยเฉพาะ ตัวอย่าง". สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของ p มันเป็นไปไม่ได้โดยนิยามความหมายของความเป็นไปได้ที่เกิดขึ้นจริง Bayesian สามารถสร้างข้อความเช่นนั้นโดยใช้ช่วงเวลาที่น่าเชื่อถือได้

$E$$[a,b]$

$\tilde E$$(L(X), U(X))$

แก้ไข: @G Jay Kerns ทำให้การโต้แย้งดีกว่าฉันและพิมพ์เร็วขึ้นดังนั้นอาจเป็นไปตาม :)

$E$$[a, b]$$E$$C$$C'$$P(E|C) = P(E)$$P(E|C') = P(E)$

$P(E|C) = 1$$P(E|C') = 0$

มีคำอธิบายมากมายที่นี่ที่ฉันไม่มีเวลาอ่าน แต่ฉันคิดว่าคำตอบสำหรับคำถามพื้นฐานอาจสั้นและหวาน มันเป็นความแตกต่างระหว่างความน่าจะเป็นที่ไม่มีเงื่อนไขในข้อมูล ความน่าจะเป็นที่ 1-alpha ก่อนรวบรวม dats คือความน่าจะเป็นที่กระบวนการที่กำหนดไว้อย่างดีจะรวมพารามิเตอร์ไว้ด้วย หลังจากที่คุณรวบรวมข้อมูลและทราบช่วงเวลาเฉพาะที่คุณสร้างช่วงเวลาได้รับการแก้ไขและเนื่องจากพารามิเตอร์เป็นค่าคงที่ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขนี้อาจเป็น 0 หรือ 1 แต่เนื่องจากเราไม่ทราบค่าที่แท้จริงของพารามิเตอร์ หลังจากรวบรวมข้อมูลแล้วเราไม่ทราบว่าเป็นค่าใด

ส่วนขยายของโพสต์โดย Michael Chernick คัดลอกความคิดเห็นในแบบฟอร์ม:

มีข้อยกเว้นทางพยาธิวิทยาสำหรับสิ่งนี้ซึ่งสามารถเรียกว่าการประเมินที่สมบูรณ์แบบ สมมติว่าเรามีกระบวนการตอบกลับอัตโนมัติลำดับแรกที่กำหนดโดย X (n) = pX (n-1) + en มันคงที่ดังนั้นเราจึงรู้ว่า p ไม่ใช่ 1 หรือ -1 และ <1 มีค่าสัมบูรณ์ ตอนนี้ en ถูกกระจายอย่างอิสระเหมือนกันกับการกระจายแบบผสมมีความน่าจะเป็นเป็นบวก q ที่ en = 0

มีข้อยกเว้นทางพยาธิวิทยาสำหรับสิ่งนี้ซึ่งสามารถเรียกว่าการประเมินที่สมบูรณ์แบบ สมมติว่าเรามีกระบวนการตอบกลับอัตโนมัติลำดับแรกที่กำหนดโดย X (n) = pX (n-1) + en มันคงที่ดังนั้นเราจึงรู้ว่า p ไม่ใช่ 1 หรือ -1 และ <1 มีค่าสัมบูรณ์

ตอนนี้ en มีการกระจายอย่างเป็นอิสระเหมือนกันกับการกระจายแบบผสมมีความเป็นไปได้ในเชิงบวก q ที่ en = 0 และด้วยความน่าจะเป็น 1-Q มันมีการแจกแจงแบบต่อเนื่องอย่างแน่นอน (กล่าวว่าความหนาแน่นไม่เป็นศูนย์ในช่วงเวลา รวบรวมข้อมูลจากอนุกรมเวลาตามลำดับและสำหรับแต่ละคู่ที่ต่อเนื่องกันประมาณค่า p โดย X (i) / X (i-1) ตอนนี้เมื่อ ei = 0 อัตราส่วนจะเท่ากับ p อย่างแน่นอน

เนื่องจาก q มากกว่า 0 ในที่สุดอัตราส่วนจะทำซ้ำค่าและค่านั้นจะต้องเป็นค่าที่แน่นอนของพารามิเตอร์ p เพราะถ้าไม่ใช่ค่าของ ei ซึ่งไม่ใช่ 0 จะทำซ้ำด้วยความน่าจะเป็น 0 และ ei / x (i -1) จะไม่ทำซ้ำ

ดังนั้นกฎการหยุดแบบต่อเนื่องคือการสุ่มตัวอย่างจนกว่าอัตราส่วนจะทำซ้ำอย่างแน่นอนจากนั้นใช้ค่าซ้ำเป็นประมาณการของ p เนื่องจากมันเป็นช่วงเวลาใด ๆ ที่คุณสร้างที่อยู่ตรงกลางที่การประเมินนี้มีความน่าจะเป็น 1 ซึ่งรวมถึงพารามิเตอร์ที่แท้จริง แม้ว่านี่จะเป็นตัวอย่างทางพยาธิวิทยาที่ไม่สามารถใช้งานได้จริง แต่ก็มีกระบวนการสุ่มอยู่กับคุณสมบัติที่เราต้องการสำหรับการแจกแจงความผิด

ข้อสังเกตสองข้อเกี่ยวกับคำถามและคำตอบมากมายที่อาจช่วยได้

ความสับสนส่วนหนึ่งมาจากการทำคณิตศาสตร์ให้ลึกซึ้งในทฤษฎีความน่าจะเป็นซึ่งบางครั้งก็ไม่ได้อยู่บนพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่มั่นคงจนกระทั่งประมาณปี 1940 มันกลายเป็นสิ่งที่ประกอบด้วยพื้นที่ตัวอย่างพื้นที่น่าจะเป็น ฯลฯ

ก่อนอื่นคุณได้กล่าวว่าหลังจากการพลิกเหรียญเรารู้ว่ามีความน่าจะเป็น 0% มันไม่ได้เกิดขึ้นหากมันเกิดขึ้น ณ จุดนี้มันไม่มีเหตุผลที่จะพูดถึงความน่าจะเป็น เกิดอะไรขึ้นและเรารู้ ความน่าจะเป็นเกี่ยวกับสิ่งที่ไม่รู้จักในอนาคตไม่ใช่สิ่งที่รู้ในปัจจุบัน

ในฐานะที่เป็นข้อพิสูจน์เล็ก ๆ น้อย ๆ เกี่ยวกับความน่าจะเป็นที่ศูนย์หมายถึงอะไรให้ลองพิจารณาสิ่งนี้: เราถือว่าการนับที่ยุติธรรมนั้นมีความน่าจะเป็นที่ 0.5 ของหัวที่กำลังมา ซึ่งหมายความว่ามีโอกาส 100% ในการขึ้นมาทั้งหัวหรือก้อยเนื่องจากผลลัพธ์เหล่านั้นเป็น MECE (ไม่เกิดร่วมกันและมีความสมบูรณ์ครบถ้วน) มันมีการเปลี่ยนแปลงเป็นศูนย์ร้อยละอย่างไรก็ตามจากการคำนวณหัวและก้อย : ความคิดของเราเกี่ยวกับ 'หัว' และ 'ก้อย' คือสิ่งที่พวกเขาเป็นเอกสิทธิ์ร่วมกัน ดังนั้นนี่จึงมีโอกาสเป็นศูนย์ร้อยละเพราะมันเป็นไปไม่ได้ในวิธีที่เราคิด (หรือนิยาม) 'การโยนเหรียญ' และมันเป็นไปไม่ได้ก่อนและหลังการโยน

ในฐานะที่เป็นข้อพิสูจน์ต่อไปนี้อะไรที่ไม่โดยความหมายเป็นไปไม่ได้เป็นไปได้. ในโลกแห่งความเป็นจริงฉันเกลียดเมื่อทนายถามว่า "เป็นไปไม่ได้ที่คุณจะลงนามในเอกสารนี้และลืมไปเลย" เพราะคำตอบคือ 'ใช่' เสมอโดยธรรมชาติของคำถาม สำหรับเรื่องนั้นคำตอบก็คือ 'ใช่' สำหรับคำถามที่ว่า "มันเป็นไปไม่ได้ที่คุณจะถูกส่งผ่าน dematerialization ไปยังดาวเคราะห์ Remulak 4 และถูกบังคับให้ทำอะไรบางอย่างแล้วส่งกลับโดยไม่มีความทรงจำ? โอกาสที่อาจจะต่ำมาก แต่สิ่งที่เป็นไปไม่ได้เป็นไปไม่ได้ ในแนวคิดทั่วไปของความน่าจะเป็นเมื่อเราพูดถึงการโยนเหรียญมันอาจเกิดขึ้นได้ มันอาจขึ้นมาหาง; และมันอาจจะยืนอยู่บนปลาย (หรืออย่างใดอย่างหนึ่งเช่นถ้าเราถูกลอบเข้าไปในยานอวกาศในขณะที่วางยาและนำขึ้นสู่วงโคจร) ลอยอยู่ในอากาศตลอดไป แต่ก่อนหรือหลังการโยน ก้อยในเวลาเดียวกัน: เป็นผลลัพธ์ที่ไม่เกิดร่วมกันในพื้นที่ตัวอย่างของการทดสอบ (ค้นหา 'ช่องว่างตัวอย่างความน่าจะเป็น' และ 'ซิกม่า - อัลจีบรา')

ประการที่สองในปรัชญา Bayesian / Frequentist ทั้งหมดนี้ในช่วงความเชื่อมั่นมันเป็นเรื่องจริงที่เกี่ยวข้องกับความถี่หากมีใครทำหน้าที่เป็นผู้ปฏิบัติบ่อย ๆ ดังนั้นเมื่อเราบอกว่าช่วงความเชื่อมั่นของค่าเฉลี่ยตัวอย่างและค่าประมาณคือ 95% เราไม่ได้บอกว่าเรามั่นใจได้ 95% ว่าค่า 'จริง' อยู่ระหว่างขอบเขต เรากำลังบอกว่าถ้าเราสามารถทำซ้ำการทดลองนี้ซ้ำแล้วซ้ำอีก 95% ของเวลาที่เราจะพบว่าค่าเฉลี่ยนั้นแท้จริงระหว่างขอบเขต เมื่อเราทำมันด้วยการวิ่งครั้งเดียวเรากำลังใช้ช็อตคัททางจิตและบอกว่า 'เรามั่นใจได้ 95% ว่าเราถูกต้อง'

ในที่สุดอย่าลืมว่าการตั้งค่ามาตรฐานคือการทดสอบสมมติฐานตามการทดสอบ ถ้าเราต้องการทราบว่าฮอร์โมนการเจริญเติบโตของพืชทำให้พืชโตเร็วขึ้นหรือไม่บางทีเราอาจกำหนดขนาดเฉลี่ยของมะเขือเทศหลังจากการเจริญเติบโต 6 เดือน จากนั้นเราก็ทำซ้ำ แต่ด้วยฮอร์โมนและได้ขนาดโดยเฉลี่ย สมมติฐานของเราคือ 'ฮอร์โมนไม่ได้ทำงาน' และเราจะทำการทดสอบว่า แต่ถ้าพืชทดสอบมีขนาดใหญ่กว่าโดยเฉลี่ยด้วยความมั่นใจ 99% นั่นหมายความว่า 'จะมีการเปลี่ยนแปลงแบบสุ่มเสมอเนื่องจากพืชและวิธีการชั่งน้ำหนักที่ถูกต้อง แต่ปริมาณสุ่มที่จะอธิบายสิ่งนี้จะเกิดขึ้นน้อยกว่าหนึ่ง เวลาเป็นร้อย "

ปัญหานี้มีลักษณะเป็นความสับสนของความน่าจะเป็นก่อนและหลังหรืออาจเป็นเพราะความไม่พอใจที่ไม่รู้ว่าการกระจายตัวของตัวแปรสุ่มบางอย่าง

ปรับอากาศ

$n$$1$$n$$X$$Y$$X$$Y$$P(X=x \land Y=y) = 1/(n(n-1))$$x,y \in N := \{1,\dots,n\}$$x \neq y$$P(X=x)=1/n$$P(Y=x)=1/n$$x \in N$

$t$$P(X=x)=1/n$$x \in N$$x \in N$$X=x$$P(X=x \vert Y=t) = P(X=x \land Y=t) / P(Y=t)$$x \neq t$$1/(n-1)$$x = t$$0$$X=x$$Y=t$$X=x$$X=x$$Y=t$$P(X=x)=P(Y=x)=1/n$$x \in N$

การไม่ จำกัด เงื่อนไขในหลักฐานหมายถึงการเพิกเฉยต่อหลักฐาน อย่างไรก็ตามเราสามารถกำหนดได้เฉพาะสิ่งที่สามารถแสดงได้ในโมเดลความน่าจะเป็น ในตัวอย่างของเราที่มีสองลูกจากโกศเราไม่สามารถกำหนดสภาพอากาศหรือความรู้สึกของเราในวันนี้ ในกรณีที่เรามีเหตุผลที่เชื่อได้ว่าเป็นหลักฐานที่เกี่ยวข้องกับการทดสอบเราต้องเปลี่ยนแบบจำลองของเราก่อนเพื่อให้เราสามารถแสดงหลักฐานนี้ว่าเป็นเหตุการณ์ทางการ

$C$$C = 1 \Longleftrightarrow X < Y$$P(C=1) = 1/2$$t$$P(C=1 \vert Y=t) = (t-1) / (n-1)$$P(C=1 \vert Y=1) = 0$$C=1$$P(C=1 \vert Y=n) = 1$$C=1$$P(C=1) = 1/2$

ช่วงความเชื่อมั่น

$X = (X_1, \dots, X_n)$$n$$(l,u)$$\gamma$$X$$l$$u$$\mathbb{R}^n$$\theta \in \mathbb{R}$$P(l(X) \leq \theta \leq u(X)) \geq \gamma$

$C$$(l,u)$$C = 1 \Longleftrightarrow l(X) \leq \theta \leq u(X)$$P(C=1) \geq \gamma$

$x = (x_1,\dots,x_n) \in \mathbb{R}^n$$x_i$$X_i$$i$$C=1$$\delta := P(C=1 \vert X = x)$$0$$1$$(C = 1 \land X = x) \Longleftrightarrow ((l(x) \leq \theta \leq u(x)) \land X = x)$$l(x) \leq \theta \leq u(x)$$\delta=0$$l(x) \leq \theta \leq u(x)$$X=x$$\delta=1$$l(x)$$u(x)$$x$$\delta \in \{0,1\}$

$P(C=1) \geq \gamma$$C=1$$x$$[l(x),u(x)]$$[l(x),u(x)]$$\theta$$\gamma$จะหมายถึงการยอมรับหลักฐานนี้และในขณะเดียวกันก็ไม่สนใจ

เรียนรู้มากขึ้นรู้น้อยลง

$\delta$$X$$Y$$x \in \mathbb{R}$$P(X=x)$$P(Y=x)$$P(X=x \land Y=y)$$x,y \in \mathbb{R}$$(X,Y)$

$Y=7$$X$$P(X=x)$$x$$(x,7)$$x \in \mathbb{R}$$x$$P(X=x)$$Y=7$$Y=7$$7$$P(X=x)$$X=x$$P(X=x \vert Y=7) = P(X=x \land Y=7) / P(Y=7)$

$Y$$X$

ถ้าฉันบอกว่าความน่าจะเป็นที่นิกส์ได้คะแนนระหว่าง xbar - 2sd (x) และ xbar + 2sd (x) ประมาณ 0.95 ในบางเกมในอดีตที่ผ่านมานั่นเป็นคำสั่งที่สมเหตุสมผลเนื่องจากมีการแจกแจงบางส่วนเกี่ยวกับคะแนนบาสเกตบอล . หากฉันรวบรวมข้อมูลเกี่ยวกับคะแนนที่ให้ตัวอย่างเกมและคำนวณช่วงเวลานั้นความน่าจะเป็นที่พวกเขาทำคะแนนในช่วงเวลานั้นในวันที่กำหนดในอดีตนั้นมีค่าเป็นศูนย์หรือหนึ่งอย่างชัดเจนและคุณสามารถ google ผลลัพธ์ของเกมเพื่อค้นหา ความคิดเพียงอย่างเดียวของการรักษาความเป็นไปได้ที่ไม่เป็นศูนย์หรือความน่าจะเป็นอย่างหนึ่งต่อผู้ที่มาจากการสุ่มตัวอย่างซ้ำ ๆ และการรับรู้การประมาณช่วงเวลาของตัวอย่างเฉพาะคือจุดมหัศจรรย์ที่มันเกิดขึ้นหรือไม่ได้รับการประมาณช่วงเวลาของตัวอย่างนั้น . ไม่ใช่จุดที่คุณพิมพ์รหัสผ่าน

นี่คือสิ่งที่ Dikran โต้แย้งข้างต้นและฉันโหวตคำตอบของเขาแล้ว จุดที่ตัวอย่างที่เกิดซ้ำนั้นไม่ได้รับการพิจารณาก็คือประเด็นในกระบวนทัศน์ของผู้ที่ไม่น่าจะเป็นไปได้ที่ไม่ต่อเนื่องไม่ใช่เมื่อคุณพิมพ์รหัสผ่านตามตัวอย่างด้านบนหรือเมื่อคุณ google ผลลัพธ์ในตัวอย่างของฉัน นิกส์เกม แต่จุดเมื่อจำนวนตัวอย่างของคุณ = 1

การสร้างแบบจำลอง

$\mathcal{S} = (\Omega,\Sigma,P)$$E \in \Sigma$$P(E)$$E$$\mathcal{S}$$\mathcal{S}$

ขั้นตอนที่ (1) อาจอนุญาตให้เพิ่มอีก ความเหมาะสมของการสร้างแบบจำลองบางครั้งสามารถทดสอบได้โดยการเปรียบเทียบความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างกับสิ่งที่เราคาดหวังอย่างสังหรณ์ใจ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการดูความน่าจะเป็นที่ขอบเขตหรือเงื่อนไขบางอย่างอาจช่วยให้ทราบว่าการสร้างแบบจำลองนั้นเหมาะสมอย่างไร

$X_1, \dots, X_n \sim \mathrm{Dist}(\theta)$${\theta \in \mathbb{R}}$

เครื่องมือประมาณช่วงความเชื่อมั่น

$\gamma$$L$$R$$\mathbb{R}^n$$P(L(X) \leq \theta \leq R(X)) \geq \gamma$$X = (X_1, \dots, X_n)$$L(X)$$R(X)$$x \in \mathbb{R}^n$$L(x) \leq \theta \leq R(x)$

การตั้งค่า

$\gamma_1$$\gamma_2$$\gamma_1 < \gamma_2$ความน่าจะเป็นที่สูงขึ้นของการเป็นตั๋วที่ชนะมากกว่าหนึ่งเมื่อพวกเขาถูกวาด การตั้งค่าเกี่ยวกับการสังเกตที่แตกต่างกัน (ตั๋วสองใบในตัวอย่างนี้) ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติความน่าจะเป็นของกระบวนการสุ่มที่สร้างการสังเกตได้ดี โปรดทราบว่าเราไม่ได้กล่าวว่าตั๋วใด ๆ มีโอกาสสูงที่จะเป็นตั๋วที่ชนะ หากเราเคยพูดเช่นนั้นด้วย "ความน่าจะเป็น" ในแง่ภาษาพูดซึ่งอาจหมายถึงอะไรดังนั้นจึงควรหลีกเลี่ยงที่นี่

$0.95$

ตัวอย่างด้วยการเรียบง่ายก่อน

$\theta$$P(\theta=0) = P(\theta=1) = 1/2$$\vartheta \in \mathbb{R}$$\theta = \vartheta$$X_1, \dots, X_n \sim \mathcal{N}(\vartheta, 1)$$L,R$$\gamma$$\vartheta \in \mathbb{R}$$P(L(X) \leq \vartheta \leq R(X) \vert \theta = \vartheta) \geq \gamma$${P(L(X) \leq \theta \leq R(X)) \geq \gamma}$

$x \in \mathbb{R}^n$$(X_1, \dots, X_n)$$\theta$$L(x)$$R(x)$$P(L(x) \leq \theta \leq R(x) \vert X = x)$$f_\mu$$n$$\mu$$\sigma=1$

$\theta$$x$$x$$\{\mu_0,\mu_1\} = \{0,1\}$

หากเราสามารถพูดว่า "ความน่าจะเป็นที่พารามิเตอร์จริงตั้งอยู่ในช่วงความมั่นใจนี้" เราจะไม่คำนึงถึงขนาดของตัวอย่าง ไม่ว่าตัวอย่างจะมีขนาดใหญ่เพียงใดตราบใดที่ค่าเฉลี่ยเท่ากันช่วงเวลาของความมั่นใจก็จะกว้างเท่ากัน แต่เมื่อเราพูดว่า "ถ้าฉันทำซ้ำ 100 ครั้งแล้วฉันจะคาดหวังว่าใน 95 กรณีที่พารามิเตอร์ที่แท้จริงจะอยู่ภายในช่วง" เราจะคำนึงถึงขนาดของขนาดตัวอย่าง . ยิ่งขนาดตัวอย่างใหญ่เท่าใดความแปรปรวนก็จะน้อยลงโดยประมาณ ดังนั้นมันจะไม่แตกต่างกันมากและเมื่อเราทำซ้ำขั้นตอน 100 ครั้งเราไม่จำเป็นต้องมีช่วงเวลาที่มีขนาดใหญ่เพื่อให้แน่ใจว่าใน 95 กรณีนั้นพารามิเตอร์จริงอยู่ในช่วงเวลา