Welch-Satterthwaite df สามารถแสดงให้เห็นว่าเป็นค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกที่ปรับขนาดของสององศาอิสระโดยมีน้ำหนักเป็นสัดส่วนกับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่สอดคล้องกัน
การแสดงออกเดิมอ่าน:
νW=(s21n1+s22n2)2s41n21ν1+s42n22ν2
โปรดทราบว่าคือความแปรปรวนโดยประมาณของฉันTHตัวอย่างค่าเฉลี่ยหรือตารางของฉัน -th ข้อผิดพลาดมาตรฐานของค่าเฉลี่ย ให้r = r 1 / rri=s2i/niithi (อัตราส่วนของความแปรปรวนโดยประมาณของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง)r=r1/r2
νW=(r1+r2)2r21ν1+r22ν2=(r1+r2)2r21+r22r21+r22r21ν1+r22ν2=(r+1)2r2+1r21+r22r21ν1+r22ν2
ปัจจัยแรกคือซึ่งเพิ่มจาก1ที่r = 0ถึง2ที่r = 1แล้วลดลงเป็น1ที่r = ∞ ; มันสมมาตร1+sech(log(r))1r=02r=11r=∞logr.
The second factor is a weighted harmonic mean:
H(x––)=∑ni=1wi∑ni=1wixi.
of the d.f., where wi=r2i are the relative weights to the two d.f.
Which is to say, when r1/r2 is very large, it converges to ν1. When r1/r2 is very close to 0 it converges to ν2. When r1=r2 you get twice the harmonic mean of the d.f., and when s21=s22 you get the usual equal-variance t-test d.f., which is also the maximum possible value for νW.
--
With an equal-variance t-test, if the assumptions hold, the square of the denominator is a constant times a chi-square random variate.
The square of the denominator of the Welch t-test isn't (a constant times) a chi-square; however, it's often not too bad an approximation. A relevant discussion can be found here.
A more textbook-style derivation can be found here.