เป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างทำไมประมาณการลำเอียงของ


57

จากบทความของ Wikipedia เกี่ยวกับการประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง SD

s=1n1i=1n(xix¯)2

เป็นตัวประมาณอคติของ SD ของประชากร มันระบุว่า )E(s2)E(s2)

NB ตัวแปรสุ่มมีความเป็นอิสระและแต่ละxiN(μ,σ2)

คำถามของฉันคือสองเท่า:

  • หลักฐานของความเอนเอียงคืออะไร?
  • เราคำนวณความคาดหวังของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างได้อย่างไร

ความรู้ด้านคณิตศาสตร์ / สถิติของฉันอยู่ในระดับปานกลางเท่านั้น


4
คุณจะพบว่าทั้งสองคำถามมีคำตอบในบทความวิกิพีเดียในการจัดจำหน่ายจิ
whuber

คำตอบ:


57

@ คำตอบของ NRH สำหรับคำถามนี้ให้การพิสูจน์ที่ดีและเรียบง่ายเกี่ยวกับความเอนเอียงของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง ที่นี่ฉันจะคำนวณความคาดหวังของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง (คำถามที่สองของผู้โพสต์ดั้งเดิม) อย่างชัดเจนจากตัวอย่างที่กระจายแบบปกติที่จุดอคตินั้นชัดเจน

ตัวอย่างความแปรปรวนที่เป็นกลางจากชุดของจุดคือx1,...,xn

s2=1n1i=1n(xix¯)2

ถ้า 's มีการกระจายตามปกติมันเป็นความจริงที่ว่าxi

(n1)s2σ2χn12

σ2χk2

p(x)=(1/2)k/2Γ(k/2)xk/21ex/2

s

E(s)=σ2n1E(s2(n1)σ2)=σ2n10x(1/2)(n1)/2Γ((n1)/2)x((n1)/2)1ex/2 dx

s2(n1)σ2χ2χ2

E(s)=σ2n10(1/2)(n1)/2Γ(n12)x(n/2)1ex/2 dx=σ2n1Γ(n/2)Γ(n12)0(1/2)(n1)/2Γ(n/2)x(n/2)1ex/2 dx=σ2n1Γ(n/2)Γ(n12)(1/2)(n1)/2(1/2)n/20(1/2)n/2Γ(n/2)x(n/2)1ex/2 dxχn2 density

χn2

E(s)=σ2n1Γ(n/2)Γ(n12)

s

σE(s)=σ(12n1Γ(n/2)Γ(n12))σ4n
n

nnσ=11/4n

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่


(4n)1

คุณได้ลองทำมาโครนี้เป็นอย่างมาก ครั้งแรกที่ฉันเห็นโพสต์เมื่อประมาณหนึ่งนาทีที่แล้วฉันคิดว่าจะแสดงอคติโดยใช้กฎของเซ่น แต่มีคนทำไปแล้ว
Michael Chernick

2
แน่นอนว่านี่เป็นวิธีรอบการแข่งขันเพื่อแสดงให้เห็นว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีอคติ - ฉันส่วนใหญ่ตอบคำถามที่สองของผู้โพสต์ดั้งเดิม: "เราคำนวณความคาดหวังส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้อย่างไร"
มาโคร

2
sσk

2
skk

43

s2=1n1i=1n(xix¯)2
σ2
E(s2)<E(s2)=σ
s2σ2

18

Sn=i=1n(XiX¯n)2n1,
SnVar[Sn]0
0<Var[Sn]=E[Sn2]E2[Sn]E2[Sn]<E[Sn2]E[Sn]<E[Sn2]=σ.
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.