@ คำตอบของ NRH สำหรับคำถามนี้ให้การพิสูจน์ที่ดีและเรียบง่ายเกี่ยวกับความเอนเอียงของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง ที่นี่ฉันจะคำนวณความคาดหวังของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง (คำถามที่สองของผู้โพสต์ดั้งเดิม) อย่างชัดเจนจากตัวอย่างที่กระจายแบบปกติที่จุดอคตินั้นชัดเจน
ตัวอย่างความแปรปรวนที่เป็นกลางจากชุดของจุดคือx1, . . . , xn
s2= 1n - 1Σi = 1n( xผม- x¯¯¯)2
ถ้า 's มีการกระจายตามปกติมันเป็นความจริงที่ว่าxผม
( n - 1 ) s2σ2∼ χ2n - 1
σ2χ2k
p(x)=(1/2)k/2Γ(k/2)xk/2−1e−x/2
s
E(s)=σ2n−1−−−−−√E(s2(n−1)σ2−−−−−−−−√)=σ2n−1−−−−−√∫∞0x−−√(1/2)(n−1)/2Γ((n−1)/2)x((n−1)/2)−1e−x/2 dx
s2(n−1)σ2−−−−−−√χ2χ2
E(s)=σ2n−1−−−−−√∫∞0(1/2)(n−1)/2Γ(n−12)x(n/2)−1e−x/2 dx=σ2n−1−−−−−√⋅Γ(n/2)Γ(n−12)∫∞0(1/2)(n−1)/2Γ(n/2)x(n/2)−1e−x/2 dx=σ2n−1−−−−−√⋅Γ(n/2)Γ(n−12)⋅(1/2)(n−1)/2(1/2)n/2∫∞0(1/2)n/2Γ(n/2)x(n/2)−1e−x/2 dxχ2n density
χ2n
E(s)=σ⋅2n−1−−−−−√⋅Γ(n/2)Γ(n−12)
s
σ−E(s)=σ(1−2n−1−−−−−√⋅Γ(n/2)Γ(n−12))∼σ4n
n→∞
nnσ=11/4n