หลักฐานการคงที่ของ AR (2)

พิจารณากระบวนการ AR ที่เป็นศูนย์กลาง (2)โดยที่เป็นกระบวนการเสียงสีขาวมาตรฐาน เพียงเพื่อประโยชน์ของความเรียบง่ายให้ฉันโทรและ a มุ่งเน้นไปที่รากของสมการลักษณะเฉพาะฉันได้ เงื่อนไขแบบคลาสสิกในตำรามีดังต่อไปนี้: ฉันพยายามที่จะแก้ปัญหาด้วยตนเอง (ด้วยความช่วยเหลือของ Mathematica) ความไม่เท่าเทียมกันในรากเช่นระบบได้รับเพียง

X_{t} = ϕ_{1} X_{t - 1} + ϕ_{2} X_{t - 2} + ϵ_{t}

$X_t=\phi_1X_{t-1}+\phi_2X_{t-2}+\epsilon_t$

ϵ_{t}

$\epsilon_t$

ϕ_{1} = b

$\phi_1=b$

ϕ_{2} = a

$\phi_{2}=a$

z_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} + 4 a}}{2 a}

$z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4a}}{2a}$

{\begin{cases} | a | < 1 \\ a \pm b < 1 \end{cases}

$\begin{cases}|a|<1 \\ a\pm b<1 \end{cases}$

{\begin{cases} | \frac{- b - \sqrt{b^{2} + 4 a}}{2 a} | > 1 \\ | \frac{- b + \sqrt{b^{2} + 4 a}}{2 a} | > 1 \end{cases}

$\begin{cases}|\frac{-b-\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1 \\ |\frac{-b+\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1\end{cases}$

a \pm b < 1

$a \pm b<1$ เงื่อนไขที่สาม ( ) สามารถกู้คืนได้โดยเพิ่มโซลูชันสองรายการก่อนหน้าให้กับแต่ละอื่น ๆ ที่ได้รับที่ผ่านการพิจารณาสัญญาณบางอย่างกลายเป็นหรือไม่ หรือฉันกำลังหาทางแก้ปัญหา?

| a | < 1

$|a|<1$

a + b + a - b < 2 \Rightarrow a < 1

$a+b+a-b<2 \Rightarrow a<1$

| a | < 1

$|a|<1$

self-study stationarity arma

— มาร์โก
แหล่งที่มา

ฉันเดาว่าสมการลักษณะที่คุณออกจากนั้นแตกต่างจากของฉัน ให้ฉันดำเนินการในไม่กี่ขั้นตอนเพื่อดูว่าเราเห็นด้วย

พิจารณาสมการ

λ^{2} - ϕ_{1} λ - ϕ_{2} = 0

$\lambda^2-\phi_1\lambda-\phi_2=0$

ถ้าเป็นรากของสมการคุณลักษณะ "มาตรฐาน"และการตั้งค่าจอแสดงผลจะได้รับจากการเขียนมาตรฐานใหม่ดังนี้: ดังนั้นเงื่อนไขทางเลือกสำหรับเสถียรภาพของคือรากทั้งหมดของจอแสดงผลแรกอยู่ภายในวงกลมหน่วย<1 $z$ $1-\phi_1 z-\phi_2 z^2=0$ $z^{-1}=\lambda$

\begin{array}{rcl} 1 - ϕ_{1} z - ϕ_{2} z^{2} & = & 0 \\ \Rightarrow z^{- 2} - ϕ_{1} z^{- 1} - ϕ_{2} & = & 0 \\ \Rightarrow λ^{2} - ϕ_{1} λ - ϕ_{2} & = & 0 \end{array}

$\begin{eqnarray*} 1-\phi_1 z-\phi_2 z^2&=&0\\ \Rightarrow z^{-2}-\phi_1 z^{-1}-\phi_2 &=&0\\ \Rightarrow \lambda^2-\phi_1\lambda -\phi_2 &=&0 \end{eqnarray*}$

A R (2)

$AR(2)$

| z | > 1 \Leftrightarrow | λ | = | z^{- 1} | < 1

$|z|>1 \Leftrightarrow |\lambda|=|z^{-1}|<1$

เราใช้การเป็นตัวแทนนี้เพื่อให้ได้รูปสามเหลี่ยมคงที่ของกระบวนการนั่นคือนั้นมีเสถียรภาพหากตรงตามเงื่อนไขสามข้อต่อไปนี้: $AR(2)$ $AR(2)$

$\phi_2<1+\phi_1$
$\phi_2<1-\phi_1$
$\phi_2>-1$

จำได้ว่าคุณสามารถเขียนรากของจอแสดงผลแรก (ถ้าเป็นจริง) เป็น เพื่อค้นหา สองเงื่อนไขแรก

λ_{1, 2} = \frac{φ_{1} \pm \sqrt{φ_{1}^{2} + 4 φ_{2}}}{2}

$\lambda_{1,2}=\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}$

จากนั้นคือเครื่องเขียน iffดังนั้น (ถ้าเป็นของจริง): ยิ่งใหญ่ของทั้งสองถูกล้อมรอบด้วย , หรือ: ,\ $AR(2)$ $|\lambda|<1$ $\lambda_i$

\begin{array}{rcl} - 1 < \frac{φ_{1} \pm \sqrt{φ_{1}^{2} + 4 φ_{2}}}{2} & < & 1 \\ \Rightarrow - 2 < φ_{1} \pm \sqrt{φ_{1}^{2} + 4 φ_{2}} & < & 2 \end{array}

$\begin{eqnarray*} -1<\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}&<&1\\ \Rightarrow -2<\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 \end{eqnarray*}$

λ_{i}

$\lambda_i$

ϕ_{1} + \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}} < 2

$\phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}<2$

\begin{array}{rcl} ϕ_{1} + \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}} & < & 2 \\ \Rightarrow \sqrt{ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}} & < & 2 - ϕ_{1} \\ \Rightarrow ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2} & < & (2 - ϕ_{1})^{2} \\ \Rightarrow ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2} & < & 4 - 4 ϕ_{1} + ϕ_{1}^{2} \\ \Rightarrow ϕ_{2} & < & 1 - ϕ_{1} \end{array}

$\begin{eqnarray*} \phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2\\ \Rightarrow \sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 - \phi_1\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&(2 - \phi_1)^2\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&4 - 4\phi_1+\phi_1^2\\ \Rightarrow \phi_2&<&1 - \phi_1 \end{eqnarray*}$

ϕ_{2} < 1 + ϕ_{1}

$\phi_2<1 + \phi_1$

ถ้าซับซ้อนแล้วและโมดูลัสกำลังสองของจำนวนเชิงซ้อนคือกำลังสองของจริงบวกกำลังสองของส่วนจินตภาพ ดังนั้น สิ่งนี้จะมีเสถียรภาพหากดังนั้นถ้าหรือตามที่แสดง (ข้อ จำกัดผลจากซ้ำซ้อนในมุมมองของและ ) $\lambda_i$ $\phi_1^2<-4\phi_2$

λ_{1, 2} = ϕ_{1} / 2 \pm i \sqrt{- (ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2})} / 2.

$\lambda_{1,2} = \phi_1/2\pm i\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2.$

λ^{2} = (ϕ_{1} / 2)^{2} + {(\sqrt{- (ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2})} / 2)}^{2} = ϕ_{1}^{2} / 4 - (ϕ_{1}^{2} + 4 ϕ_{2}) / 4 = - ϕ_{2} .

$\lambda^2 = (\phi_1/2)^2 + \left(\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2\right)^2 = \phi_1^2/4-(\phi_1^2+4\phi_2)/4 = -\phi_2.$

| λ | < 1

$|\lambda|<1$

- ϕ_{2} < 1

$-\phi_2<1$

ϕ_{2} > - 1

$\phi_2>-1$

ϕ_{2} < 1

$\phi_2<1$

ϕ_{2}^{2} < 1

$\phi_2^2<1$

ϕ_{2} < 1 + ϕ_{1}

$\phi_2<1+\phi_1$

ϕ_{2} < 1 - ϕ_{1}

$\phi_2<1-\phi_1$

พล็อตสามเหลี่ยมคงที่ยังระบุเส้นที่แยกความซับซ้อนจากรากที่แท้จริงเราได้

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

ผลิตใน R โดยใช้

phi1 <- seq(from = -2.5, to = 2.5, length = 51) 
plot(phi1,1+phi1,lty="dashed",type="l",xlab="",ylab="",cex.axis=.8,ylim=c(-1.5,1.5))
abline(a = -1, b = 0, lty="dashed")
abline(a = 1, b = -1, lty="dashed")
title(ylab=expression(phi[2]),xlab=expression(phi[1]),cex.lab=.8)
polygon(x = phi1[6:46], y = 1-abs(phi1[6:46]), col="gray")
lines(phi1,-phi1^2/4)
text(0,-.5,expression(phi[2]<phi[1]^2/4),cex=.7)
text(1.2,.5,expression(phi[2]>1-phi[1]),cex=.7)
text(-1.75,.5,expression(phi[2]>1+phi[1]),cex=.7)

— คริสโตฟฮันค์
แหล่งที่มา

นี่เป็นคำอธิบายที่ละเอียดมาก

— Marco

@Christoph: มีคำตอบที่พิมพ์ผิดหรือไม่? ดูที่สมการ 2 นอกจากนี้คุณหมายถึงอะไรด้วยกำลังสองของจำนวนเชิงซ้อน? หากแล้ว2iab คุณจะบอกว่าสแควร์ของจำนวนเชิงซ้อนได้อย่างไร "สแควร์ของจริงบวกสแควร์ของส่วนจินตภาพ"

λ^{2}

$\lambda^2$

z = a + b i

$z = a + bi$

z^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 i a b

$z^2 = a^2 - b^2 + 2iab$

— shani

ขอบคุณมากเลย! ฉันหมายถึงโมดูลัส sqaured ดูการแก้ไข

— Christoph Hanck

@ChristophHanck สิ่งที่เป็นของคุณใช้เวลาอยู่กับคำตอบ Aksakal ในทั้งสองหัวข้อ: 1และ2 ? พวกเขาขัดแย้งกับคำตอบของคุณหรือไม่และถ้าใช่คำตอบที่ถูกต้องคืออะไร

— Richard Hardy

ฉันคิดว่าเขาค่อนข้างถูกต้องเมื่อกำหนดความอ่อนแอแบบคงที่ว่าเป็นความมั่นคงในสองช่วงแรก บ่อยครั้งและในหัวข้อปัจจุบัน "stationarity" และ "การดำรงอยู่ของการเป็นตัวแทนเชิงสาเหตุ" คือการแสดงโดยไม่ต้องพึ่งพาอนาคต สิ่งที่คำตอบของฉันแสดงให้เห็นชัดเจนยิ่งขึ้นคือเงื่อนไขสำหรับการดำรงอยู่ของสิ่งหลัง

M A (\infty)

$MA(\infty)$

— Christoph Hanck